?2．1 直線的傾斜角與斜率
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：直線的傾斜角
平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．
規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1．要清楚定義中含有的三個(gè)條件
①直線向上方向；
②軸正向；
③小于的角．
2．從運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)來(lái)看，直線的傾斜角是由軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角．
3．傾斜角的范圍是．當(dāng)時(shí)，直線與x軸平行或與x軸重合．
4．直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對(duì)應(yīng)．
5．已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點(diǎn)和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．
知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜率
1．定義：
傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，，；
（2）直線與x軸垂直時(shí)，，k不存在．
由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．
2．直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系
由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率小于零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．
知識(shí)點(diǎn)三：斜率公式
已知點(diǎn)、，且與軸不垂直，過(guò)兩點(diǎn)、的直線的斜率公式．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1．對(duì)于上面的斜率公式要注意下面五點(diǎn)：
（1）當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；
（2）與、的順序無(wú)關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時(shí)交換，但分子與分母不能交換；
（3）斜率可以不通過(guò)傾斜角而直接由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得；
（4）當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；
（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率而得到．
2．斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問(wèn)題：
（1）由、點(diǎn)的坐標(biāo)求的值；
（2）已知及中的三個(gè)量可求第四個(gè)量；
（3）已知及、的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）可求；
（4）證明三點(diǎn)共線．
知識(shí)點(diǎn)四：兩直線平行的條件
設(shè)兩條不重合的直線的斜率分別為．若，則與的傾斜角與相等．由，可得，即．
因此，若，則．
反之，若，則．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1．公式成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為；②不重合；
2．當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時(shí)，的傾斜角都是，則．
知識(shí)點(diǎn)五：兩直線垂直的條件
設(shè)兩條直線的斜率分別為．若，則．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1．公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；
2．當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩條直線也垂直．
【題型歸納目錄】
題型一：直線的傾斜角與斜率定義
題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系
題型三：已知兩點(diǎn)求斜率、已知斜率求參數(shù)
題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍
題型五：直線平行
題型六：直線垂直
題型七：直線平行、垂直在幾何問(wèn)題的應(yīng)用
【典型例題】
題型一：直線的傾斜角與斜率定義
例1．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（???????）
A．若直線的傾斜角為，則
B．直線的傾斜角的取值范圍為
C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為
D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
【答案】ACD
【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角的取值范圍是，即，所以，
當(dāng)時(shí)直線的斜率，故A、C均錯(cuò)誤；B正確；
對(duì)于D：若直線的斜率，此時(shí)直線的傾斜角為，故D錯(cuò)誤；
故選：ACD
例2．（2022·重慶南開中學(xué)高一期末）過(guò)，兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（???????）
A．45 B．60° C．120° D．135°
【答案】D
【解析】由已知直線的斜率為，，
所以傾斜角．
故選：D
例3．（2022·四川資陽(yáng)·高一期末）直線的傾斜角為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直線的斜率為，所以傾斜角．
故選：D．
例4．（2022·江蘇·高二）下列命題中正確的是（???????）．
A．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為
B．若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
C．平行于x軸的直線的傾斜角為
D．若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為
【答案】D
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，故A不正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，斜率為，傾斜角為，故B不正確；
對(duì)于C，平行于x軸的直線的傾斜角為，故C不正確；
對(duì)于D，若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為是正確的.
故選：D
例5．（2022·江蘇·高二）下列命題中，錯(cuò)誤的是______．（填序號(hào)）
①若直線的傾斜角為，則；
②若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大；
③若直線的傾斜角為，則直線的斜率為．
【答案】①②③
【解析】對(duì)于①中，根據(jù)直線傾斜角的概念，可得直線的傾斜角為，則，所以①錯(cuò)誤；
對(duì)于②中，當(dāng)傾斜角，直線的傾斜角越大，則直線的斜率越大，且；
當(dāng)傾斜角，直線的傾斜角越大，則直線的斜率越大，但，所以②錯(cuò)誤；
對(duì)于③中，根據(jù)直線斜率的概念，可得當(dāng)且時(shí)，直線的斜率為，所以③錯(cuò)誤.
故答案為：①②③.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）傾斜角的概念中含有三個(gè)條件：①直線向上的方向；②x軸的正方向；③小于平角的正角．
（2）傾斜角是一個(gè)幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對(duì)于x軸正方向的傾斜程度．
（3）平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等．
（4）確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可．
題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系
例6．（2022·上海市建平中學(xué)高一期末）設(shè)直線、的斜率分別為、，傾斜角分別為、，若，則|___．
【答案】
【解析】由，且，即，
若，則，而，故，即；
同理，可得.
綜上，|.
故答案為：
例7．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，則直線傾斜角的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
，
，
，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
得，
故答案為：.
例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（???????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由斜率的定義可知，.
故選：A．
例9．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高一期末）直線的傾斜角的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，可得，
所以的取值范圍為
故選：D
例10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)、（）兩點(diǎn)，求直線l的傾斜角的取值范圍.
【解析】∵直線l過(guò)，兩點(diǎn)，
∴直線l的斜率為，
設(shè)直線l的傾斜角為，則，且，
解得或
∴直線l的傾斜角的取值范圍是.
例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求經(jīng)過(guò)（其中）、兩點(diǎn)的直線的傾斜角的取值范圍．
【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，傾斜角，
當(dāng)時(shí)，，即傾斜角為銳角；
綜上得：．
例12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，，．
(1)求直線AB，BC，AC的斜率和傾斜角；
(2)若D為的AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD的傾斜角的取值范圍．
【解析】（1）由斜率公式，得，，，因?yàn)樾甭实扔趦A斜角的正切值，且傾斜角的范圍是 ，所以直線AB的傾斜角為0，直線BC的傾斜角為，直線AC的傾斜角為．
（2）如圖，當(dāng)直線CD繞點(diǎn)C由CA逆時(shí)針轉(zhuǎn)到CB時(shí)，直線CD與線段AB恒有交點(diǎn)，即D在線段AB上，此時(shí)由增大到，所以的取值范圍為，即直線CD的傾斜角的取值范圍為．

【方法技巧與總結(jié)】
由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率小于零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．
題型三：已知兩點(diǎn)求斜率、已知斜率求參數(shù)
例13．（多選題）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）若經(jīng)過(guò)和的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的值可能為（???????）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】BCD
【解析】由題意得，即，所以，
故選：BCD．
例14．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線過(guò)兩點(diǎn)且傾斜角為，則的值為_____.
【答案】
【解析】因直線的傾斜角為，則其斜率，
又由，，
則的斜率，
則有．
故答案為：.
例15．（2022·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知點(diǎn)，則直線的傾斜角是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，所以，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
所以.
故選：A.
例16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線過(guò)點(diǎn)，其傾斜角為，現(xiàn)將直線繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的傾斜角為，則的值為（???????）
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【解析】由題，，直線的傾斜角為，故
故選：B
例17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線與軸?軸分別交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，則的斜率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，，則，解得：，，，
.
故選：D.
例18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若三點(diǎn)共線，則a的值為_________．
【答案】
【解析】由三點(diǎn)共線
故

故答案為：.
例19．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若??三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的值為___________.
【答案】
【解析】由題設(shè)，，則，可得.
故答案為：
例20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)B，若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．
【答案】或
【解析】設(shè)或，
∴或，
∴或，
∴或，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為或．
故答案為：或．
例21．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)，若直線的斜率，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】若在軸上，則可設(shè)，，解得：，；
若在軸上，則可設(shè)，，解得：，；
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
例22．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）（1）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)??，若直線AC的斜率是直線BC的斜率的3倍，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）已知直線的斜率為，直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的斜率.
【解析】（1）由，即，解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意，故m的值是1或2；
（2）設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為.
由已知，，則直線的斜率為.
例23．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，且直線PQ的斜率為1，求實(shí)數(shù)m的值．
【解析】由題意，直線PQ的斜率
解得：
【方法技巧與總結(jié)】
由于直線上任意兩點(diǎn)的斜率都相等，因此A，B，C三點(diǎn)共線A，B，C中任意兩點(diǎn)的斜率相等（如）．
斜率是反映直線相對(duì)于x軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因．
題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍
例24．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】如圖，

函數(shù)，表示線段其中，，
的幾何意義為線段上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率的倍，
，，

的取值范圍是；
故答案為：
例25．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)的直線l與以點(diǎn)，為端點(diǎn)的線段AB相交，則直線l的斜率的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，．

因?yàn)橹本€與線段有交點(diǎn)，
由圖可知直線的斜率的取值范圍是．
故答案為：．
例26．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線與以、為端點(diǎn)的線段有交點(diǎn)，求直線的傾斜角的取值范圍．
【答案】
【解析】如圖所示，因?yàn)?，，?br /> 可得，，
要使得直線與以、為端點(diǎn)的線段有交點(diǎn)，
設(shè)直線的傾斜角為，其中，則滿足或，
解得或，即直線的傾斜角的取值范圍.
故答案為：.

例27．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，若直線與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直線過(guò)點(diǎn)，
畫出圖象如下圖所示，
，，
由于直線與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線與線段有公共點(diǎn)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，
根據(jù)圖象可知的取值范圍是，
所以的取值范圍是.
故選：A

例28．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，若直線l過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（???????）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【解析】直線的斜率，直線的斜率，
因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，
結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是或．
故選：A．

例29．（2022·全國(guó)·高二）設(shè)點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段AB相交，則直線的斜率k的取值范圍是（　　）
A．或 B．
C． D．以上都不對(duì)
【答案】A
【解析】如圖所示，直線PB，PA的斜率分別為，

結(jié)合圖形可知或
故選：A
例30．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，若直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直線過(guò)點(diǎn)且斜率為，與連接兩點(diǎn)，的線段有公共點(diǎn)，
由圖，可知，，
當(dāng)時(shí)，直線與線段有交點(diǎn)．
故選：B．

例31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，點(diǎn)是線段（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 ________．
【答案】[1，2]
【解析】設(shè)，則可以看成過(guò)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率.
當(dāng)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線的斜率由增大到，如圖所示.

又，，所以，即的取值范圍是[1，2].
故答案為：[1，2]
例32．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在線段上運(yùn)動(dòng)，已知，則的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】表示線段上的點(diǎn)與連線的斜率，
因?yàn)?br /> 所以由圖可知的取值范圍是．
故答案為：

例33．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由題設(shè)，表示上對(duì)應(yīng)點(diǎn)與所成直線的斜率范圍，

如圖，，則，，故的取值范圍是.
故答案為：
【方法技巧與總結(jié)】
直線的傾斜角是從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度，而直線的斜率及斜率公式則從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度，把二者緊密地結(jié)合在一起就是數(shù)形結(jié)合．利用它可以較為簡(jiǎn)便地解決一些綜合問(wèn)題，如過(guò)定點(diǎn)的直線與已知線段是否有公共點(diǎn)的問(wèn)題，可先作出草圖，再結(jié)合圖形考慮．
一般地，若已知，，，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，過(guò)點(diǎn)的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時(shí)，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時(shí)，在與的兩邊．
題型五：直線平行
例34．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行．
(1)的傾斜角為60°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；
(2)平行于y軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．
【解析】（1）由題意，知直線的斜率，直線的斜率，所以，所以或與重合．
（2）由題意，知是y軸所在的直線，所以．
例35．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（???????）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】D
【解析】充分性：直線與平行，但是和都沒(méi)有斜率，即當(dāng)和都垂直于軸時(shí)，與仍然平行，但是，此時(shí)不滿足直線與的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直線與的斜率相等，則直線與平行或重合，故必要性不成立；
綜上，“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的既非充分又非必要條件.
故選：D
例36．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線和直線平行，則直線和直線的位置關(guān)系是（???????）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【答案】B
【解析】因?yàn)橹本€和直線平行，
所以，
故直線為，與直線平行
故選：B
例37．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知直線，．若，則實(shí)數(shù)的值為（???????）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】由題意得，，解得.經(jīng)驗(yàn)證符合題意.
故選：D.
例38．（2022·四川自貢·高一期末（文））若直線與直線平行，則（???????）
A．或0 B． C．1或0 D．1
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，，此時(shí)兩直線垂直，不平行，不合題意，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹本€與直線平行，
所以，解得，
綜上，，
故選：D
例39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題
①若，則斜率；???②若斜率，則；
③若，則傾斜角；④若傾斜角，則；
其中正確命題的個(gè)數(shù)是______．
【答案】
【解析】因?yàn)榕c為兩條不重合的直線，且它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，.
①由于斜率都存在，若，則，此命題正確；
②因?yàn)閮芍本€的斜率相等即斜率，得到傾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命題正確；
③因?yàn)?，根?jù)兩直線平行，得到，此命題正確；
④因?yàn)閮芍本€的傾斜角，根據(jù)同位角相等，得到，此命題正確；
所以正確的命題個(gè)數(shù)是4．
故答案為：．
例40．（2022·湖南·炎陵縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線l1：x＋my－2m－2＝0，直線l2：mx＋y－1－m＝0，當(dāng)時(shí)，m＝_________
【答案】1
【解析】因?yàn)椋倚甭室欢ù嬖?，所以，即?br /> 又因?yàn)?，為兩條不同的直線，所以，所以
故答案為：1
例41．（2022·貴州遵義·高三開學(xué)考試（文））直線：，：，若，則________．
【答案】2
【解析】由題設(shè)，，則，
所以或，
當(dāng)，：，：重合，不合題設(shè)；
當(dāng)，：，：平行，滿足題設(shè)；
故.
故答案為：2
【方法技巧與總結(jié)】
判定兩條不重合的直線是否平行的依據(jù)是：當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時(shí)，只需看它們的斜率是否相等即可，反過(guò)來(lái)，兩條直線平行，則隱含著這兩條直線的斜率相等（當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時(shí)）．
判定兩條直線是否平行，只要研究?jī)蓷l直線的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情況，以及兩條直線是否重合．
題型六：直線垂直
例42．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各組直線是否垂直，并說(shuō)明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【解析】(1)設(shè)兩條直線，的斜率分別為，，則，，
因?yàn)?，所以?br /> (2)設(shè)兩條直線，的斜率分別為，，則，，
因?yàn)?，所以?br /> (3)由兩個(gè)方程，可知軸，軸，所以．
例43．（2022·湖北十堰·高二階段練習(xí)）關(guān)于直線：，：，若，則__________.
【答案】
【解析】若，則，解得.
故答案為：.
例44．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線與直線垂直，直線的斜率為，則直線的傾斜角為______．
【答案】
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，
因?yàn)橹本€與直線垂直，直線的斜率為，則，
因?yàn)?，因此?
故答案為：.
例45．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l1與l2的斜率k1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，若l1⊥l2，則b=_____．
【答案】
【解析】因?yàn)樾甭蔾1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，所以，
因?yàn)閘1⊥l2，所以，即，
故答案為：
例46．（2022·四川資陽(yáng)·高一期末）已知直線與互相垂直，則（???????）
A． B． C．1 D．1或
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€與互相垂直，
所以，解得.
故選：C
例47．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是（???????）．
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【答案】B
【解析】由題意，同理，，，，
三角形是直角三角形．
故選：B．
【方法技巧與總結(jié)】
利用直線平行與垂直的條件解題，主要利用其斜率的關(guān)系，當(dāng)然，在解題時(shí)要特別注意斜率不存在的情況，以及分類討論的思想．
題型七：直線平行、垂直在幾何問(wèn)題的應(yīng)用
例48．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）用坐標(biāo)法證明：菱形的對(duì)角線互相垂直.
【解析】以AB為x軸，過(guò)A作AB的垂線為y軸，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)分別為


因?yàn)樗倪呅问橇庑危?br /> 由，
所以，菱形的對(duì)角線互相垂直.
例49．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).
【解析】由題，，
所以kAC=2，，kBC=－3，
設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），分以下三種情況：
①當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以，，，
得x=7，y=5，即
②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，有kCD=kAB，kAD=kBC，
所以，，
得x=－1，y=9，即
③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以，
得x=3，y=－3，即
所以D的坐標(biāo)為或或.
例50．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次是，，，，其中，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．
【解析】四邊形是矩形．證明如下：
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
所以，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形．
又，
所以，所以四邊形是矩形．
又，，
令，即，無(wú)解，
所以與不垂直，故四邊形是矩形．
例51．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，其中且.試判斷四邊形的形狀.
【解析】由斜率公式，得，
，
，
，
，
.
∴，，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形.
又，∴.
又，∴與不垂直，
∴四邊形為矩形.
例52．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，.
（1）若，，，可以構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，判斷，，，構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.
【解析】（1）由題意得，
，，設(shè).
若四邊形是平行四邊形，則，，
即，解得，即.
若四邊形是平行四邊形，
則，，
即，解得，即.
若四邊形是平行四邊形，
則，，
即，解得，即.
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.
（2）若的坐標(biāo)為（-1，6），
因?yàn)?，?br /> 所以，所以，
所以平行四邊形為菱形.
若的坐標(biāo)為（7，2），
因?yàn)?，?br /> 所以，所以平行四邊形不是菱形.
若的坐標(biāo)為（3，-2），因?yàn)?，直線的斜率不存在，所以平行四邊形不是菱形.
因此，平行四邊形為菱形,平行四邊形,不是菱形.
例53．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)，，，是否存在點(diǎn)A，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】設(shè)點(diǎn)．若，則，
解得，
點(diǎn)．
若，則，解得，
點(diǎn)
【方法技巧與總結(jié)】
解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用幾何圖形的幾何性質(zhì)，并用解析幾何中的相關(guān)知識(shí)解決．
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．已知點(diǎn)，則直線的傾斜角是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，所以，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
所以.
故選：A.
2．若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（　?。?br />
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
【答案】D
【解析】直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.
直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，
因此k1＜k3＜k2.
故選:D.
3．若直線與直線平行，則（???????）
A．或0 B． C．1或0 D．1
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，，此時(shí)兩直線垂直，不平行，不合題意，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹本€與直線平行，
所以，解得，
綜上，，
故選：D
4．“”是“直線與直線垂直”的（???????）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】直線與直線垂直,
則，解得：或，
所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.
故選：B.
5．已知，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，
所以由圖可知，或，
因?yàn)榛颍?br /> 所以或，
故選：D

6．直線過(guò)點(diǎn)，其傾斜角為，現(xiàn)將直線繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的傾斜角為，則的值為（???????）
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【解析】由題，，直線的傾斜角為，故
故選：B
7．已知正的頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)在第一象限，若點(diǎn)是內(nèi)部及其邊界上一點(diǎn)，則的最大值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正的頂點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一象限，故頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
可看作內(nèi)部及其邊界上一點(diǎn)與點(diǎn)的連線斜率，
當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線的斜率最大，故的最大值為
故選：B.

8．三名同學(xué)相約在暑期進(jìn)行了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，同去某工廠加工同一種產(chǎn)品，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中的橫、縱坐標(biāo)分別為第名同學(xué)上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為第名同學(xué)下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，，記為第名同學(xué)在這一天平均每小時(shí)加工的產(chǎn)品個(gè)數(shù)，則中最大的（???????）

A． B． C． D．不能確定
【答案】B
【解析】設(shè),，
根據(jù)題意可知表示第名同學(xué)早上的工作時(shí)間，表示第名同學(xué)早上的加工零件數(shù)；
同理，表示第名同學(xué)下午的工作時(shí)間，表示第名同學(xué)下午的加工零件數(shù).
所以，
因此，可理解為線段中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率（如圖）

因此，由圖可以看出最大
故選：B
二、多選題
9．下列命題中，是假命題的是（???????）
A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大
B．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為
C．若直線傾斜角，則斜率的取值范圍是
D．若直線的斜率為，則直線的傾斜角為
【答案】ABD
【解析】A. 若直線的傾斜角是銳角，則斜率大于零，若直線的傾斜角是鈍角，則斜率小于零，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. 若直線的傾斜角為直角，則直線沒(méi)有斜率，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C. 若直線傾斜角，則斜率的取值范圍是，所以該選項(xiàng)正確；
D. 若直線的斜率為，則但是直線的傾斜角為不是，而是，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABD
10．已知直線，其中，下列說(shuō)法正確的是（???????）
A．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直
B．若直線與直線平行，則
C．直線的傾斜角一定大于
D．當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等
【答案】AC
【解析】A：當(dāng)時(shí)，直線的方程為，可化為：，所以該直線的斜率為1，
直線的斜率為，因?yàn)?，所以這兩條直線互相垂直，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；
B：由直線與直線平行，可得或，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；
C：直線方程可化為：，設(shè)直線的傾斜角為，
所以，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；
D：當(dāng)時(shí)，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋灾本€在兩坐標(biāo)軸上的截距不相等，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，
故選：AC
11．已知點(diǎn)到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值可以為（???????）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【解析】由點(diǎn)，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)，且，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)的中點(diǎn)，可得，解得；
當(dāng)直線時(shí)，可得，即，
綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或，
故選：AB.
12．設(shè)集合，，且，則正實(shí)數(shù)a的取值可以為（???????）
A．4 B．1 C．2 D．
【答案】BD
【解析】∵，
∴．
將點(diǎn)代入，得，解得(舍去)或．
又當(dāng)時(shí)，可變形為，
當(dāng)直線與平行時(shí)，
有，解得或(舍去)
當(dāng)或時(shí)，符合題意.
故選：BD
三、填空題
13．已知在直角坐標(biāo)系中，等邊中與原點(diǎn)重合，若的斜率為，則的斜率可能為______.
【答案】或
【解析】設(shè)的傾斜角，的傾斜角，
如圖所示：

或

則或，.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
故答案為：或
14．若函數(shù)所表示直線的傾斜角為，則的值為______．
【答案】
【解析】直線的斜率為
又
故答案為：
15．若直線，的夾角為，則m的值為___________.
【答案】0
【解析】直線的斜率為-1，傾斜角為，由題知，直線與的夾角為，所以直線的傾斜角為或0（舍），所以.
故答案為：0.
16．直線的傾斜角的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】若，則直線方程為，即傾斜角；
若，則直線方程為，即，
∵，∴或，
即或，解得
綜上可得.
故答案為：
四、解答題
17．已知直線，，分別求實(shí)數(shù)的值，使得：
(1)；
(2)．
【解析】(1)由得：，解得：或.
(2)由得：，解得：.
18．（1）若直線l的傾斜角，求直線l斜率k的范圍；
（2）若直線l的斜率，求直線l傾斜角的范圍.
【解析】（1）因?yàn)?，，，?br /> 結(jié)合正切函數(shù)在的單調(diào)性得，
（2）直線l的斜率，，，
結(jié)合正切函數(shù)在的單調(diào)性得.
19．下面三條直線l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m的取值集合.
【解析】（1）當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)：由，
解得l1和l2的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，
由A在l3上可得2×－3m×＝4，
解得m＝或m＝－1.
（2）至少兩條直線平行或重合時(shí)：l1、l2、l3至少兩條直線斜率相等，
當(dāng)m＝4時(shí)，l1//l2；
當(dāng)m＝－時(shí)，l1//l3；
若l2//l3，則需有＝，m2＝－不可能.
綜合（1）、（2）可知，m＝－1，－，，4時(shí)，這三條直線不能組成三角形
∴m的取值集合是.
20．已知點(diǎn)，，，.
（1）若直線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線傾斜角的取值范圍.
【解析】（1），，
，
解得或，
當(dāng)時(shí)，與重合，舍去.
當(dāng)時(shí)，，與不共線，
所以符合題意.
（2）由于，所以，所以直線的斜率存在，
且，
所以直線傾斜角的取值范圍是.
21．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).
(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線MN的傾斜角為銳角？
(2)當(dāng)m為何值時(shí)，直線MN的傾斜角為鈍角？
(3)直線MN的傾斜角可能為直角嗎？
【解析】(1)若傾斜角為銳角，則斜率大于0，
即k＝＝>0，
解得m>－2.
(2)若傾斜角為鈍角，則斜率小于0，
即k＝＝

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2.1 直線的傾斜角與斜率

版本： 人教A版 (2019)

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