?拓展四：立體幾何的翻折問題

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，圖像的翻折是立體問題中的一類典型問題，是連接平面幾何與空間幾何的紐帶，成為立體幾何中考查分析能力與創(chuàng)新能力的好素材，備受命題者的青睞。立體幾何翻折問題是指將平面圖形沿著平面圖形中的某條或幾條線段將平面圖形翻折，使之變成空間幾何體，以此為載體，考查空間中點(diǎn)、線、面之間的相互關(guān)系，或角度與距離關(guān)系?，F(xiàn)將翻折問題中的幾類常見題型進(jìn)行剖析，以其對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考能有所幫助。
立體幾何解題的根本思想是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，解決翻折問題時(shí)，首先要根據(jù)題目的要求正確畫出由平面圖形折成的空間圖形，即由平面圖形轉(zhuǎn)化成空間圖形。在解題過程中，往往根據(jù)問題的需要再把空間圖形還原成平面圖形，對(duì)比平面圖形和空間圖形，找準(zhǔn)翻折的起點(diǎn)與翻折的程度，弄清翻折過程中的變與不變的量進(jìn)行求解，這是處理翻折問題的關(guān)鍵。




認(rèn)知規(guī)律：
確定翻折前后變與不變的關(guān)系
畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決
確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置
所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)．因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算


考點(diǎn)一 翻折后位置關(guān)系的判斷
解題的前提和必要步驟是分析清楚翻折前平面圖形的結(jié)構(gòu)特征，以及翻折前后圖形中變與不變的量，特別要注意不變中的直角。
【例1-1】【多選】如圖，為正方形的邊上異于點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折成，使得平面平面，則下列說法中正確的有（???????）

A．在平面內(nèi)存在直線與平行
B．在平面內(nèi)存在直線與垂直
C．在平面內(nèi)存在直線與平面平行
D．存在點(diǎn)，使得直線平面

變式1：【多選】在矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下述選項(xiàng)正確的是（???????）
A．是定值
B．點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)
C．存在某個(gè)位置，使
D．存在某個(gè)位置，使平面
變式2：已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面圖形中，，．現(xiàn)將矩形CDEF沿CD進(jìn)行如圖所示的翻折，滿足面ABCD垂直于面CDEF．設(shè)，，若面DBN，則實(shí)數(shù)的值為______．

考點(diǎn)二 翻折后角度的計(jì)算
翻折后首先要確定線段的長(zhǎng)度與角度中不變的量，再計(jì)算變化的量，其次確定關(guān)鍵點(diǎn)的位置。

【例2-1】如圖把正方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，O是原正方形ABCD的中心，求折紙后∠EOF的大小．





【例2-2】如圖(1)，平面四邊形ABCD中，CD＝4，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，將三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，如圖(2)，平面PBD⊥平面BCD，E為PD中點(diǎn)．
(1)求證：PD⊥CE；
(2)求直線BE與平面PCD所成角的正弦值．


變式1：如圖（1），△BCD中，AD是BC邊上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中點(diǎn)，將△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的圖形如圖（2）．

(1)求證：AB⊥CD；
(2)求直線AE與平面BCE所成角的正弦值．





【例2-3】如圖（），在直角梯形中，，，且，取的中點(diǎn)，連結(jié)，并將沿著翻折，翻折后，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，如圖（）.

(1)求證：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.







變式1：如圖，在等腰直角三角形中,分別是上的點(diǎn)，且分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連接

(1)證明：平面；
(2)在翻折的過程中，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.


變式2：如圖1，在等邊中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿足，記.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，連接MB，MC得到圖2，點(diǎn)N為MC的中點(diǎn)．

(1)當(dāng)EN∥平面MBD時(shí)，求λ的值；
(2)試探究：隨著λ值的變化，二面角B-MD-E的大小是否改變？如果改變，請(qǐng)說明理由；如果不改變，請(qǐng)求出二面角的正弦值大?。?br />








考點(diǎn)三 翻折后距離的計(jì)算
處理翻折問題時(shí)，一定要將翻折前后的圖形相對(duì)照進(jìn)行分析，找準(zhǔn)翻折前后中的不變量，弄清哪些要在原平面圖形中進(jìn)行計(jì)算，哪些要在翻折后的立體圖形中進(jìn)行計(jì)算，這是處理翻折問題的一般性方法。

【例3-1】已知四邊形中，，為線段上靠近的三等分點(diǎn).現(xiàn)沿將四邊形進(jìn)行翻折，使得平面平面，得到四棱錐，并使.

（1）求證：；
（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.



變式1：如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，對(duì)角線，將△沿著對(duì)角線BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一點(diǎn)M，且平面ABCD，．

(1)求證：平面平面ABD；
(2)求點(diǎn)M到平面ABE的距離；
(3)求二面角的正弦值．


變式2：如圖，在梯形中，，，，現(xiàn)將沿翻折成直二面角．

(1)證明：平面；
(2)記的重心為，若異面直線與所成角的余弦值為，在側(cè)面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求出點(diǎn)到平面的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．





考點(diǎn)四 翻折問題的綜合應(yīng)用
【例4-1】【多選】如圖，直角梯形中，，E是邊中點(diǎn)，將沿翻折，得到四棱錐，在翻折的程中，下列說法正確的是（???????）

A．面 B．
C．三棱錐體積的最大值是 D．點(diǎn)C到面距離的最大值是
變式1：【多選】已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，（如圖1所示），將沿對(duì)角線AC折起到的位置（如圖2所示），點(diǎn)P為棱BD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，D重合），則下列說法正確的是（???????）

A．四面體ABCD體積的最大值為1
B．無論如何翻折，都有
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C到平面PAB的距離為
D．三棱錐的體積與點(diǎn)P的位置無關(guān)

變式2：【多選題】如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，DA＝DC＝，將四邊形沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，以下結(jié)論正確的是（????????????）

A．兩條異面直線AB與CD所成角的范圍是
B．P為線段CD上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），當(dāng)CD⊥AB時(shí)，
C．三棱錐D?ABC的體積最大值為
D．當(dāng)二面角D?AC?B的大小為時(shí)，三棱錐D?ABC的外接球表面積為

變式3：【多選】在矩形中，是的中點(diǎn)，將沿翻折，直至點(diǎn)落在邊上.當(dāng)翻折到的位置時(shí)，連接，如圖所示，則下列說法正確的是（???????）

A．四棱錐體積的最大值為
B．設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為
C．不存在某一翻折位置，使得
D．是的中點(diǎn)，無論翻折到什么位置，都有平面


題組A基礎(chǔ)過關(guān)練
1．如圖，將一張三角形紙片沿著BC邊上的高AD翻折后豎立在桌面上，則折痕AD所在直線與桌面所成的角等于（?????）

A． B． C． D．

2．如圖所示為等腰直角三角形，為斜邊的中點(diǎn)，，、分別落在邊、上，且滿足，若分別將、、沿著、翻折時(shí)點(diǎn)、能重合（兩個(gè)三角形不共面），則滿足條件（　　）

A． B． C． D．

3．已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為8，∠BAD＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，將菱形ABCD沿對(duì)角線BD翻折成平面角為θ的二面角，若θ∈[90°，120°]，則翻折后點(diǎn)O到直線AC距離的取值范圍為（　?。?br />
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]

4．如圖，已知四邊形，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，將沿對(duì)角線翻折到在翻折的過程中，下列結(jié)論中不正確的是（???????）

A． B．與可能垂直
C．直線與平面所成角的最大值是 D．四面體的體積的最大是

5．已知正方形ABCD中E為AB中點(diǎn)，H為AD中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為BC，CD上的點(diǎn)，，，將沿著BD折起得到空間四邊形，則在翻折過程中，以下說法正確的是（???????）．
A． B．EF與GH相交
C．EF與GH異面 D．EH與FG異面

6．在矩形中，，現(xiàn)將沿對(duì)角線翻折，得到四面體，則該四面體外接球的體積為（???????）
A． B． C． D．

7．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中, ，現(xiàn)將沿BD翻折至， 使二面角的大小為，求CD和平面A/BD所成角的余弦值是_______；


8．如圖為平行四邊形，，，，將沿翻折到位置使．

(1)求異面直線與所成的角；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．

9．在梯形ABCD中，，，，，BD與AE交于點(diǎn)G.如圖所示沿梯形的兩條高AE，BF所在直線翻折，使得.

(1)求證：；
(2)求三棱錐的體積.

10．如圖1，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，，將沿進(jìn)行翻折，翻折后D點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)位置，且滿足平面平面，如圖2．

(1)若點(diǎn)F在棱上，且平面，求；
(2)求二面角的正弦值

題組B能力提升練
11．【多選】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，將△ABD沿對(duì)角線BD翻折到△PBD位置，連接PC，在翻折過程中，下列說法正確的是（???????）

A．任取三棱錐P-BCD中的三條棱，它們共面的概率為0.2
B．存在某個(gè)位置，使得PC與BD所成角為60°
C．PC與平面BCD所成角為45°時(shí)，三棱錐P-BCD的體積最大
D．當(dāng)二面角P-BD-C大小為90°時(shí)，點(diǎn)D到面PBC的距離最大

12．【多選】如圖所示，已知平面四邊形，，，，．沿直線將翻折成，下列說法正確的是（???????）

A．
B．
C．直線與成角余弦的最大值為
D．點(diǎn)到平面的距離的最大值為

13．如圖1，在邊上為4的菱形中，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．

(1)在翻折過程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求直線和平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的條件下，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角余弦值的絕對(duì)值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

14．如圖1，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，，將沿進(jìn)行翻折，翻折后D點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)位置，且滿足平面平面，如圖2.

(1)若點(diǎn)F在棱上，且平面，求；
(2)若，求點(diǎn)A到平面的距離，

15．已知平行四邊形，，，點(diǎn)是 的中點(diǎn).沿把進(jìn)行翻折，使得平面平面.

(1)求證：平面；
(2)點(diǎn)是的中點(diǎn)，棱上一點(diǎn)使得，求二面角的余弦值.







題組C培優(yōu)拔尖練
16．【多選】如圖，在菱形中，，，為中點(diǎn)，將沿直線翻折至的位置，則下列結(jié)論正確的是（???????）

A．在翻轉(zhuǎn)過程中（不重合），直線與直線始終異面且所成的角不斷變大
B．若平面平面，則直線與直線的公垂線段長(zhǎng)為
C．在翻轉(zhuǎn)過程中（不重合），二面角的平面角恒為30°
D．若二面角的平面角為60°，則點(diǎn)到平面的距離為


17．【多選】如圖， 在梯形中， 為線段 的兩個(gè)三等分點(diǎn)， 將和分別沿著向上翻折， 使得點(diǎn)分別至 (在的左側(cè))， 且平面分別為的中點(diǎn)， 在翻折過程中， 下列說法中正確的是（???????）

A．四點(diǎn)共面
B．當(dāng) 時(shí)， 平面 平面
C．存在某個(gè)位置使得
D．存在某個(gè)位置使得平面 平面

18．【多選】菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠A＝60°，E為AB的中點(diǎn)（如圖1），將ADE沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，下列說法中正確的有（???????）

A．在翻折的過程中（不包括初始位置），平面與平面所成角逐漸減小
B．若F為中點(diǎn)，在翻折的過程中（不包括初始位置），點(diǎn)F到平面的距離恒為
C．若，則三棱錐的外接球半徑為
D．若，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則F到直線BC的距離為

19．【多選】如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折至△A1DE的位置后，連接A1C，A1B．若F是A1C的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．異面直線A1E與DC所成的角不斷變大
B．二面角A1﹣DC﹣E的平面角恒為45°
C．點(diǎn)F到平面A1EB的距離恒為
D．當(dāng)A1在平面EBCD的投影為E點(diǎn)時(shí)，直線A1C與平面EBCD所成角最大


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