?第2.6章 函數(shù)的應(yīng)用
2.6.2 二次方程根的分布問(wèn)題

高中要求
1掌握二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系；
2 掌握二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題.

1 概念
二次方程的根(即二次函數(shù)零點(diǎn))的分布問(wèn)題.
2 常見(jiàn)題型
① 兩根與的大小比較(以為例)
分布情況
兩根都小于，
即
兩根都大于，
即
一根小于，一根大于，即
大致圖像



得出的結(jié)論








② 兩根分別在區(qū)間外



大致圖像


得出的結(jié)論


③ 根在區(qū)間上的分布(以為例)
分布情況
兩根都在內(nèi)

兩根有且僅有一根在內(nèi)
一根內(nèi)，
另一根在內(nèi)
大致圖像



得出的結(jié)論





【題型1】 兩根與的大小比較
【典題1】已知二次方程有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解析
方法一：
當(dāng)時(shí)，若要滿足題意，必須；
當(dāng)時(shí)，若要滿足題意，必須；
即，解得。
方法二：(韋達(dá)定理)
設(shè)是的兩個(gè)根，若要滿足題意等價(jià)于
，解得。

變式練習(xí)
1.若方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　)

答案
解析 方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，
兩根之積，故，
，求得或，
故選：．
2.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且一根大于，一根小于，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　 ?。?br /> 答案
解析 令，由題意可得，
即：，整理：，解得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
故答案為：．

3.若關(guān)于的二次方程的兩個(gè)互異的實(shí)根都小于，
則實(shí)數(shù)的取值范圍是　 ?。?br /> 答案
解析 關(guān)于的二次方程的兩個(gè)互異的實(shí)根都小于，
則 ，
即 求得，
即的范圍為.

【題型2】 根在區(qū)間上的分布
【典題1】 已知方程的兩根分別在區(qū)間之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　 ?。?br /> 解析 方法1
方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)為
若要滿足題意，
則
故答案是.
方法2 方程
方程兩根為，
若要滿足題意，則，解得，
故答案是.

變式練習(xí)
1.方程的兩根分別在與內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(　　)

答案
解析 令
方程的兩根分別在與內(nèi)，
，，
，
的取值范圍為．
故選：．
2.若方程的一個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　)

答案
解析 若方程有兩相等的實(shí)根，
則，解得，
此時(shí)，不在區(qū)間內(nèi)，
令，
若方程有兩不相等的實(shí)根，且一個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，
則，即，
解得：，
故選：．
3.已知方程的兩根分別在區(qū)間之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范
圍為　 ?。?br /> 答案
解析 設(shè)，
方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，
可得，，
即有，且，
即為，解得．
故答案為：．
4.若方程的一個(gè)根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　 　．
答案
解析 設(shè)函數(shù)，
方程的一個(gè)根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間，
，∴，即，
則
即實(shí)數(shù)的取值范圍是；
故答案為：(4，2)．


【題型3】 兩根分別在區(qū)間外
【典題1】 已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于，另一個(gè)大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　 ?。?br /> 解析 關(guān)于的方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)
若，即圖象開(kāi)口向上，
的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于，另一個(gè)大于，
只需，且，
即且，則；
若，即圖象開(kāi)口向下，
的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于，另一個(gè)大于，
只需，且，
即且，則．
綜上可得的范圍是．
故答案為：．

變式練習(xí)
1.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，
則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　)


答案
解析 由題意設(shè)，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，，
，則，解得，
故選：．


1.已知關(guān)于的方程有一根大于，另一根小于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　)

答案
解析 設(shè)，
若方程有一根大于，另一根小于，則只需要，
即，得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：．
2.關(guān)于的方程的兩根都大于，則的取值范圍是(　　)


答案
解析 關(guān)于的方程的兩根都大于，
，解得：，
故選：．
3.方程的兩根分別在與內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(　　)

答案
解析 若關(guān)于的方程的兩根分別在與內(nèi)，
則函數(shù)與內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)
則
即，，
解得
故選：．
4.已知方程至少有一個(gè)負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　)


答案
解析 (1)當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，有一?fù)根，滿足題意，
(2)當(dāng)時(shí)，，方程的兩根滿足0，
此時(shí)有且僅有一個(gè)負(fù)根，滿足題意，
(3)當(dāng)時(shí)，由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得
方程若有根，則兩根都為負(fù)根，而方程有根的條件，
,
綜上可得，，
故選：．
5.已知方程的兩根為，且，則的取值范圍
是　?。?br /> 答案
解析 由程，
知對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象開(kāi)口方向朝上
又方程的兩根滿足,
則 ,即 ,即 ，

故答案為
6.求實(shí)數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程
(1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2大，一個(gè)比2??；
(2)有兩個(gè)實(shí)根，且滿足；
(3)至少有一個(gè)正根。
解析 設(shè)．
依題意有，即，得 ．
(2)依題意有，解得．
(3)方程至少有一個(gè)正根，則有三種可能：
①有兩個(gè)正根，此時(shí)可得，即
②有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)可得，得．
③有一個(gè)正根，另一根為，此時(shí)可得
綜上所述，得．
7.已知，且方程的兩根分別為，且
，求證：．
證明：令．
因?yàn)槭欠匠痰母?br /> 所以．
當(dāng)時(shí)，由于，得，
又，得，
即．

因?yàn)?br /> 所以，．
得．
由此得．
綜上得證．

相關(guān)試卷

(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義2.5.4 對(duì)數(shù)（2份打包，學(xué)生版+教師版）：

這是一份(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義2.5.4 對(duì)數(shù)（2份打包，學(xué)生版+教師版），文件包含新高一初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義254對(duì)數(shù)教師版doc、新高一初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義254對(duì)數(shù)學(xué)生版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共17頁(yè)， 歡迎下載使用。

(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義2.5.2 指數(shù)（2份打包，學(xué)生版+教師版）：

這是一份(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義2.5.2 指數(shù)（2份打包，學(xué)生版+教師版），文件包含新高一初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義252指數(shù)教師版doc、新高一初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義252指數(shù)學(xué)生版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共17頁(yè)， 歡迎下載使用。

(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義2.5.1 冪函數(shù)（2份打包，學(xué)生版+教師版）：

這是一份(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義2.5.1 冪函數(shù)（2份打包，學(xué)生版+教師版），文件包含新高一初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義251冪函數(shù)教師版doc、新高一初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義251冪函數(shù)學(xué)生版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共26頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義2.4.2 函數(shù)的值域（2份打包，學(xué)生版+教師版）

(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義2.4.2 函數(shù)的值域（2份打包，學(xué)生版+教師版）
(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義1.2.2 函數(shù)最值（2份打包，學(xué)生版+教師版）

(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義1.2.2 函數(shù)最值（2份打包，學(xué)生版+教師版）
(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義1.1.2 整式（2份打包，學(xué)生版+教師版）

(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義1.1.2 整式（2份打包，學(xué)生版+教師版）
(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義1.1.1 絕對(duì)值（2份打包，學(xué)生版+教師版）

(新高一)初升高數(shù)學(xué)暑假銜接班精品講義1.1.1 絕對(duì)值（2份打包，學(xué)生版+教師版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部