?第2.4章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
2.4.6 函數(shù)的奇偶性

高中要求
1掌握函數(shù)奇偶性的概念及其性質(zhì)；
2 掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法.

1 函數(shù)奇偶性的概念
(1) 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，都有，且，那么函?shù)就叫做偶函數(shù).
(2) 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做奇函數(shù).
由奇偶函數(shù)的概念可知道其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的.
注 ① 從定義可知，若是函數(shù)定義域中的一個(gè)數(shù)值，則也必然在該定義域中．故判斷函數(shù)的奇偶性的前提是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．如是非奇非偶函數(shù).
② 函數(shù)按奇偶性可以分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．從定義可知，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類，即，，是關(guān)于原點(diǎn)對稱的實(shí)數(shù)集．
2 性質(zhì)
① 偶函數(shù)關(guān)于軸對稱；
② 奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱；
③ 若奇函數(shù)定義域內(nèi)含有，則；
證明 為奇函數(shù)，．
令，則，即，．
④ 在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)．

3 判斷函數(shù)奇偶性的方法
① 定義法
先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再求看下與的關(guān)系：若，則是偶函數(shù)；若，則是奇函數(shù).
② 數(shù)形結(jié)合
若函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于軸對稱，則函數(shù)是偶函數(shù).


【題型1】判斷函數(shù)的奇偶性
【典題1】 判斷函數(shù)的奇偶性
解析 函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 方法1 ，函數(shù)是偶函數(shù)．
方法2 和是偶函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．

變式練習(xí)
1.下列說法正確的是(　　)
A．若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)
B．若一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
C．若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)
D．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，且，則是奇函數(shù)
答案
解析 奇偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對稱，但定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)不一定具有奇偶
性，如．由此可判斷項(xiàng)錯(cuò)誤，項(xiàng)正確．奇函數(shù)若在原點(diǎn)處有定義，
則，反之不一定成立，如，因此項(xiàng)錯(cuò)誤．故選
2.函數(shù)是(　　)
A.奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)
答案
3.函數(shù)的圖象關(guān)于(　　)
．原點(diǎn)對稱 ．軸對稱 ．y軸對稱 ．直線y=x對稱
答案
解析 根據(jù)題意，，有，
則有，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選：．
4. 設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)在上一定是( )
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)
答案：
5.設(shè)是上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是(　　)
A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)
C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)
答案
解析 選.設(shè)，則為偶函數(shù)．
設(shè)， 則.
與關(guān)系不定．
設(shè)，為奇函數(shù)．
設(shè)，則．
為偶函數(shù)．

【題型2】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用
【典題1】若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則常數(shù) (　　)
或 不存在
解析 可知函數(shù)為偶函數(shù)，則，
令得，，即，解得，
將代入解析式驗(yàn)證，符合題意．故選：．

變式練習(xí)
1.若函數(shù)為奇函數(shù)，則必有(　　)


答案
解析 函數(shù)為奇函數(shù)，
，故選：．
2.已知函數(shù)，，則的值是(　　)

答案
解析 是奇函數(shù)

，故選：．
3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，，則，
又由為奇函數(shù)，則；故選：．
4.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)　 　．
答案
解析 為偶函數(shù)，恒成立
即恒成立，即恒成立
所以
故答案為：．
5.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，那么不等式的解集是 .
答案
解析 為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，
，在內(nèi)是增函數(shù)
則 或
根據(jù)在和內(nèi)是都是增函數(shù)，解得．
【題型3】 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合
【典題1】函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且．
(1)確定函數(shù)的解析式；
(2)用定義證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；
(3)解不等式：．
解析 (1)由題意知，即，解得 ，
故．
(2)任取，則，(定義法證明)
．[來源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K]
，
．
于是，
為區(qū)間上的增函數(shù)．
(3)，
在區(qū)間上是增函數(shù)，
，解得．

變式練習(xí)
1.如果奇函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且最小值為，那么在區(qū)間上是(　　)
減函數(shù)且最大值為 增函數(shù)且最大值為6
減函數(shù)且最小值為 增函數(shù)且最小值為6
答案
解析 當(dāng)時(shí)，
，即．從而，
又奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，
故在是減函數(shù)．
故選：．
2.若偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則 (　　)
． ．
． ．
答案
解析 根據(jù)題意，為偶函數(shù)，則，
又由函數(shù)在上是減函數(shù)，
則，即，故選：.
3.若都是奇函數(shù)，在上有最大值，則在上有(　　)
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
答案
解析 都是奇函數(shù)，為奇函數(shù)．
又有最大值，在上有最大值.
在上有最小值，
在上有最小值.
4.已知函數(shù)．
(1)求的定義域；
(2)若為奇函數(shù)，求的值；
(3)用單調(diào)性的定義證明：在區(qū)間上為減函數(shù)．
答案 (1) (2) (3)略
解析 (1)要使函數(shù)有意義，需，解此不等式得，
函數(shù)的定義域?yàn)?br /> (2)為奇函數(shù)，，即，即，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，為奇函數(shù)
，
(3)設(shè)，
則，
，，
，
，
，即，
函數(shù)在上為減函數(shù)．


1. 已知是定義在上的偶函數(shù)，那么的值是(　　)
． ． ．
答案
解析 依題意得：，，
又 ，，．故選：．
2.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則(　　)

答案
解析 根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，
若，則，
則；故選：．
3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則(　　)

答案
解析 是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
，即，則，故選：．
4.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則(　　)
A． B．
C． D．
答案
解析 是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
可得在上單調(diào)遞增，
依題意有.
5.若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)＝(　　)
．
答案
解析 根據(jù)題意，函數(shù)為奇函數(shù)，
則，即，
變形可得，則有；
故選：．
6.函數(shù)的奇偶性為_______.
答案 奇函數(shù)
解析 ,是奇函數(shù).
7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則常數(shù)的值為　?。?br /> 答案
解析 易知函數(shù)定義域?yàn)?br /> 函數(shù)是偶函數(shù)
對定義域內(nèi)每一個(gè)都成立
，
，
對定義域內(nèi)每一個(gè)都成立
，即 .
8.奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的值為 .
答案
解析 在上為增函數(shù)，，.
.
9.設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則由大到小的關(guān)系是__________．
答案
解析 利用函數(shù)為上的偶函數(shù)，將轉(zhuǎn)化到區(qū)間上，
利用在此區(qū)間上是增函數(shù)比較大小．因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，
所以，．
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，且，
所以，故．
10.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則 .
答案
解析 根據(jù)題意，函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，
則有，解可得，
則，
又由為奇函數(shù)，則.
11.若函數(shù)的定義域是，且對任意，都有成立．試判斷的奇偶性．
答案 奇函數(shù)
解析 在中，
令，得，.
再令，則，即，
，故為奇函數(shù)．
12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，若，求不等式的解集．
答案
解析 ，不等式可轉(zhuǎn)化為．
又函數(shù)在上遞增，
，解得或．
又是奇函數(shù)，
它在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，且，
于是又得，
即，解得．
原不等式的解集是.

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