1函數(shù)的表示方法
表格法
如上表，我們很容易看到與之間的函數(shù)關(guān)系.
在初中剛學(xué)畫一次函數(shù)時(shí)，想了解其圖像是一直線，第一步就是列表，其實(shí)就是用表格法表示一次函數(shù).
圖像法
如上圖，很清晰的看到某天空氣質(zhì)量指數(shù)與時(shí)間兩個變量之間的關(guān)系，特別是其趨勢.
數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”也就是這回事，它是數(shù)學(xué)一大思想，在高中解題中識圖和畫圖尤為重要.
解析式
比如正方形周長與邊長間的解析式為，圓的面積與半徑的解析式等.
求函數(shù)解析式的方法
① 配湊法 ② 待定系數(shù)法 ③ 換元法 ④ 構(gòu)造方程組法 ⑤ 代入法
2 分段函數(shù)
定義：有些函數(shù)在其定義域中，對于自變量的不同取值范圍，對應(yīng)關(guān)系不同，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù)．
Eg ，.
【題型1】求函數(shù)解析式
【典題1】 已知函數(shù)是二次函數(shù)，若，求的解析式．
解析 設(shè)，
若，且，
且，
，解得．
.
【典題2】若，則的解析式為( )
答案
解析 函數(shù)，
設(shè)，則，，
，
，．故選：．
變式練習(xí)
1.已知函數(shù)，且，則 ( )
A．7B．5C．3D．4
答案
解析 ；；
；解得．故選：．
2.已知函數(shù)為一次函數(shù)，且，則( )
A．B．C．D．
答案
解析 設(shè)，則，解得，
，．故選：．
3.若函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)恒有，則等于( )
A．B．C．D．
答案
解析 函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)恒有，
令，則：．
則，
解方程組得：．
故選：．
4.已知，求.
答案
解析 令，則，
(若這里的范圍不能忽略)

5.已知函數(shù)與與的圖像關(guān)于對稱，求的解析式.
答案
解析 設(shè)為上任一點(diǎn)，且 為關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)
則，解得：
點(diǎn)在上
把代入得：，整理得，
.
【題型2】 分段函數(shù)
【典題1】 已知函數(shù)．
(1)求；(2)若，求的值；(3)作出函數(shù)的圖象．
解析 (1)，．
(2)當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
綜上所述，的值為或或．
(3)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，如圖所示，


變式練習(xí)
1.函數(shù)的圖像是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． B．C．D．
答案
解析 函數(shù)，
作出函數(shù)圖象為：
故選：．
2.已知函數(shù)，若，則的值是( )
A．B．或C．或D．或或
答案
解析 由題意，當(dāng)時(shí)，，得，又所以；
當(dāng)時(shí)，，得，舍去．
故選：．
3.設(shè)，則的值為( )
A．B．C．D．
答案
解析 ，
．故選：．
4.已知則不等式的解集是 ．
答案
解析 ①當(dāng)時(shí)，即，，
由可得，
即，
當(dāng)即時(shí)，，
由可得，即，，
綜上不等式的解集為.
5.已知函數(shù)與軸有個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
答案
解析 ① 當(dāng)，與軸有個交點(diǎn)，不滿足題意；
② 當(dāng)時(shí)，與軸沒有交點(diǎn)，不可能滿足題意；
③ 當(dāng)時(shí)，與軸有個交點(diǎn)，
若要滿足題意，則在上與軸有個交點(diǎn)，
，解得，故答案為．
【題型3】 函數(shù)的簡單應(yīng)用
【典題1】 如圖，將水注入下面四種容器中，注滿為止．如果注水量與水深的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，那么容器的形狀是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
解析 根據(jù)題意，考慮當(dāng)向高為的容器中注水為高為一半時(shí)，
注水量與水深的函數(shù)關(guān)系．
如圖所示，此時(shí)注水量與容器容積關(guān)系是：容器的容積的一半．
選項(xiàng)符合題意；故選：．

變式練習(xí)
1.小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． B． C． D．
答案
解析 考查四個選項(xiàng)，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示的是離開學(xué)校的距離，
由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除；
再由小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，故此時(shí)有一段函數(shù)圖象與 SKIPIF 1 < 0 軸平行，由此排除，
之后為了趕時(shí)間加快速度行駛，此一段時(shí)間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定正確，不正確．故選：．
2.某同學(xué)家門前有一筆直公路直通長城，星期天，他騎自行車勻速前往旅游，他先前進(jìn)了，覺得有點(diǎn)累，就休息了一段時(shí)間，想想路途遙遠(yuǎn)，有些泄氣，就沿原路返回騎了，當(dāng)他記起詩句“不到長城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)．則該同學(xué)離起點(diǎn)的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象大致為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
答案
解析 根據(jù)他先前進(jìn)了，得圖象是一段上升的直線，
由覺得有點(diǎn)累，就休息了一段時(shí)間，得圖象是一段平行于 SKIPIF 1 < 0 軸的直線，
由想想路途遙遠(yuǎn)，有些泄氣，就沿原路返回騎了，得圖象是一段下降的直線，
由記起詩句“不到長城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)，得圖象是一段上升的直線，
綜合，得圖象是，故選：．
1.某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示該人離單位的距離，表示出發(fā)后的時(shí)間，那么下列圖象中符合此人走法的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
答案
解析 當(dāng)時(shí)，距離學(xué)校最遠(yuǎn)，不可能是，排除，
先快速走，距離學(xué)校的距離原來越近，而且變化速度較快，排除，
故選：．
2.如圖所示的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下面對應(yīng)的圖象顯示該容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系，其中不正確的有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解析 對于一個選擇題而言，求出每一個圖中水面的高度h和時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式既無必要也不可能，因此可結(jié)合相應(yīng)的兩個圖作定性分析，即充分利用數(shù)形結(jié)合．
對第一個圖，不難得知水面高度的增加應(yīng)是均勻的，因此不正確；
對于第二個圖，隨著時(shí)間的增加，越往上，增加同一個高度，需要的水越多，因此高度變化趨勢愈加平緩，正確；
同理可分析第三個圖、第四個圖都是正確的．
故只有第一個圖不正確，因此選．
3.已知，則有( )
A．B．
C．D．
答案
解析 設(shè)，，則，
，，，．故選：．
4.若，是，這兩個函數(shù)中的較小者，則的最大值為( )
A．2 B．1 C．－1 D．無最大值
答案
解析 由題目可獲取的信息是：
①兩個函數(shù)一個是二次函數(shù)，一個是一次函數(shù)；
②是兩個函數(shù)中的較小者．
解答此題可先畫出兩個函數(shù)的圖象，然后找出的圖象，再求其最大值．
在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象，如圖，根據(jù)題意，坐標(biāo)系中實(shí)線部分即為函數(shù)的圖象．
故時(shí)，，應(yīng)選．
答案：
5.設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
答案
解析 由題意知，；
當(dāng)時(shí)，有，解得，(不滿足條件，舍去)；
當(dāng)時(shí)，有，解得(不滿足條件，舍去)或．
所以實(shí)數(shù)的值是：．
6.已知，則的解集為 .
答案
解析 ，
令，則，
，
，
由，得，解得或，
的解集為．
7.已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
答案
解析 時(shí)，，解得，
因?yàn)椋剩?br>時(shí)，，解得，
綜上所述，不等式的解集為
故答案為：.
8.設(shè)是一次函數(shù)，且，求的解析式.
答案 或
解析 設(shè)，
則
或
或.
9.已知函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.
答案
解析 函數(shù)的圖象，如圖，
不妨設(shè)，則關(guān)于直線對稱，故，
且滿足；
則的取值范圍是：；
即．
10.已知函數(shù)．
(1)畫出函數(shù)圖象；
(2)求，的值；
(3)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
解析 (1) 函數(shù)的圖象如圖，
(2) ，；
(3) 方法1 由圖象可知，當(dāng)時(shí)，．
方法2 當(dāng)時(shí)，，解得，即；
當(dāng)時(shí)，滿足，所以；
當(dāng)時(shí)，，解得；
綜上可得的取值范圍是．
11.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品(百臺)，其總成本為萬元，其中固定成本為萬元，并且每生產(chǎn)臺的生產(chǎn)成本為萬元(總成本 SKIPIF 1 < 0 固定成本 SKIPIF 1 < 0 生產(chǎn)成本)，銷售收入滿足，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律：
(1)要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在什么范圍？
(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時(shí)盈利最大？此時(shí)每臺產(chǎn)品售價(jià)為多少？
答案 (1) (2) 元 SKIPIF 1 < 0 臺
解析 依題意，，設(shè)利潤函數(shù)為，則

(1)要使工廠有盈利，即解不等式，當(dāng)時(shí)，
解不等式．即．
．
當(dāng)時(shí)，解不等式，得．
．
綜上，要使工廠盈利，應(yīng)滿足，
即產(chǎn)品應(yīng)控制在大于臺，小于臺的范圍內(nèi)．
(2)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，有最大值．
而當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)萬臺產(chǎn)品時(shí)，盈利最多．
又時(shí)，(元 SKIPIF 1 < 0 臺)，故此時(shí)每臺產(chǎn)品售價(jià)為(元 SKIPIF 1 < 0 臺)．
高中要求
1在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ▓D象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；
2 通過具體實(shí)例,了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；
3 掌握求解函數(shù)解析式的方法.

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