?第2.3章 一元二次函數(shù)、方程與不等式
2.3.3 一元二次函數(shù)、方程與不等式

高中要求
1掌握一元二次函數(shù)、方程與不等式的關系；
2 會求解一元二次不等式.

1一元二次函數(shù)、方程與不等式
① 二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：
(以下均以為例)
判別式




二次函數(shù)
?
的圖象



一元二次方程

的根
有兩個相異實數(shù)根


有兩個相等實數(shù)根

沒有實數(shù)根
一元二次不等式

的解集



一元二次不等式

的解集



② 二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系，可充分利用二次函數(shù)圖像去理解；
③ 求解一元二次不等式時，利用二次函數(shù)圖像思考，需要確定二次函數(shù)的開口方向，判別式，兩根的大小與不等式的解集有關，而對稱軸是不會影響解集的.


【題型1】 二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關系
【典題1】 填表
方程
方程根的情況
二次函數(shù)圖像
解不等式





















解析
方程
方程根的情況
二次函數(shù)圖像
解不等式




或










無解






【典題2】 若不等式的解集是，則不等式的解集
是 .
解析 不等式的解集是，
和是方程的兩個實數(shù)根，
由韋達定理得，解得，，
故不等式，即，解得，
所以所求不等式的解集是，
故選：．

變式練習
1. 不等式的解集為(　　)
A． B．
C． D．
答案
解析 ，
故選.
2.下等式的解集為的是(　　)

答案
解析 恒成立，
所以不等式的解集為，正確．
故選：．
3.若不等式的解集是，則的范圍是( )
A． B． C． D．
答案
解析 由解集為，即為恒成立，
可得：當時；成立；
當時；成立；
當時；不成立.
綜上可得實數(shù)的取值范圍.
4. 已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為( )
A． B． C． D．
答案
解析 集合，
，
，，，
實數(shù)的取值范圍為．
故選：．
5.不等式的解集為 .
答案
解析 原不等式等價于，即，整理得，
不等式等價于，解得．
6.若不等式的解集為是，
(1)求的值 (2)求不等式 的解集．
解析 (1)由已知可知 不等式的解集是
所以和是方程的兩個根
由韋達定理得 解得
(2) 不等式 即為
不等式可化為，解得
所以所求不等式的解集是

【題型2】 求含參一元二次不等式
【典題1】 解不等式
解析
當時，不等式為，解集為；
當時，
解得方程兩根；
當時，解集為；
當時, 解集為}.
綜上，當時，解集為；
當時，解集為；
當時, 解集為}.

【典題2】解不等式：.
解析 原不等式可化為：
令，得；
當時，即時，解集為；
當時，即或時，解集為；
當時，即或時，解集為}.
綜上，當時，解集為；
當或時，解集為；
當或時，解集為}.

變式練習
1.解關于的不等式: .
解析 方程
，即方程兩根為，
(1)當時，，不等式的解集是；
(2)當時，，不等式的解集是；
(3)當時，，不等式的解集
2,解關于的不等式．
解析 關于的不等式等價于；
當時，不等式化為，解得解集為；
當時，不等式等價于，
解得不等式的解集為；
當時，不等式等價于，
若，則，解得不等式的解集為(；
若，則，不等式化為，此時不等式的解集為?；
若，則，解得不等式的解集為．
綜上，時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為．



1.下列不等式的解集是空集的是 ( )
A． B． C． D．
答案
2.二次不等式的解集是的條件是(　　)
．
答案
解析 由題意可知二次不等式，
對應的二次函數(shù)開口向下，所以
二次不等式的解集是，所以．
故選：．
3.若不等式的解集為空集，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)

答案
解析 當時，滿足題意；
當時，，解得；
實數(shù)的取值范圍是．故選：．
4.若不等式的解集為空集，則實數(shù)的取值范圍是( )
A． B． C． D．
答案
解析 由題意可知恒成立，當時成立，
當時需滿足，代入求得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
5.已知關于的不等式的解集是，則下列結論中錯誤的是(　　)

答案
解析 由關于的不等式的解集是，
，是一元二次方程．
，．
．
由，可得：是錯誤的．
故選：．
6.（多選）關于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則的取值可以是(　　)

答案
解析 設，其圖象是開口向上，對稱軸是的拋物線，如圖所示；

若關于的一元二次不等式0的解集中有且僅有個整數(shù)，則
，即，解得，又，
所以．
故選：．
7. 解關于的不等式 ．
解析 方程中，
①當即時，不等式的解集是，
②當，即時，不等式的解集是，
③當即時，
由解得：，
時，不等式的解集是，
綜上，時，不等式的解集是，
時，不等式的解集是，
時，不等式的解集是．
8.若不等式的解集是
(1)求不等式的解集．
(2)已知二次不等式的解集為，求關于的不等式的解集．
答案 (1) (2)
解析 (1)因為等式的解集是}，
所以和是一元二次方程的兩根，
，解得，
不等式可化為，即，
，解得，
所以不等式的解集為；
(2)由(1)知，二次不等式的解集為，
和是一元二次方程的兩根，
，，解得，，
所以不等式可化為：，
即，解得．
所以關于的不等式的解集為．
9.若不等式的解集是
(1)求不等式的解集．
(2)已知二次不等式的解集為，
求關于的不等式的解集．
解析 (1)因為等式的解集是}，
所以和是一元二次方程的兩根，
，解得，
不等式可化為，即，
，解得，
所以不等式的解集為；
(2)由(1)知，二次不等式的解集為，
和是一元二次方程的兩根，
，，解得，，
所以不等式可化為：，
即，解得．
所以關于的不等式的解集為．

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