?第06講 充分條件、必要條件、充要條件

1．通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系．　
2．通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系．　
3．通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系．

知識(shí)點(diǎn)一 充分條件與必要條件
命題真假
“若p，則q”是真命題
“若p，則q”是假命題
推出關(guān)系
p?q
p?/ q
條件關(guān)系
p是q的充分條件；
q是p的必要條件
p不是q的充分條件；
q不是p的必要條件

知識(shí)點(diǎn)二 充要條件
1．定義：如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分且必要條件，簡(jiǎn)稱為p是q的充要條件，也稱q的充要條件是p.
2． 記法：如果p是q的充要條件，就記作p?q，稱為“p與q等價(jià)”，或“p等價(jià)于q”．
3．傳遞性：“?”和“?”都具有傳遞性，即
(1)如果p?q，q?s，那么p?s；
(2)如果p?q，q?s，那么p?s．

考點(diǎn)一：充分條件、必要條件的判斷
例1 下列命題中，p是q的什么條件？
(1)p：四邊形的對(duì)角線相等，q：四邊形是矩形；
(2)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0.
【解析】(1)∵等腰梯形的對(duì)角線相等，∴四邊形的對(duì)角線相等?/ 四邊形是矩形；四邊形是矩形?四邊形的對(duì)角線相等．
∴p不是q的充分條件，p是q的必要條件．
(2)當(dāng)x＝1時(shí)，x2－4x＋3＝0，
∴x＝1?x2－4x＋3＝0.當(dāng)x2－4x＋3＝0時(shí)，x＝1或x＝3.
∴p是q的充分條件，p不是q的必要條件．
【總結(jié)】
充分、必要條件的三種判斷方法
(1)命題判斷法
如果命題“若p，則q”是真命題，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
如果命題“若p，則q”是假命題，則p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．
(2)定義法
若p?q，q?/ p，則p是q的充分不必要條件；
若p?/ q，q?p，則p是q的必要不充分條件．
(3)集合法
對(duì)于集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，具體情況如下：
若A?B，則p是q的充分條件；
若A?B，則p是q的必要條件；
若AB，則p是q的充分不必要條件；
若AB，則p是q的必要不充分條件．
變式 (多選)下列命題是真命題的是(　　)
A．“x＞2”是“x＞3”的必要條件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要條件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要條件
【答案】AC　
【解析】∵x＞3?x＞2，∴A是真命題；
∵x＝2?x2＝4，x2＝4?/ x＝2，∴B是假命題；
∵A∩B＝B?A∪B＝A，∴C是真命題；
∵q?/ p，∴p不是q的必要條件，D是假命題．

考點(diǎn)二：充分條件與必要條件的應(yīng)用
例2 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).
因?yàn)閜是q的必要不充分條件，
所以q是p的充分不必要條件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m＞0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0＜m≤3}．
【總結(jié)】
充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧及求解步驟
(1)應(yīng)用技巧：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題；
(2)求解步驟：先把p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．

變式 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).
因?yàn)閜是q的充分不必要條件，
所以或
解得m≥9，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}．

考點(diǎn)三：充要條件的判斷
例3 　(1)(多選)下列選項(xiàng)中，p是q的充要條件的為(　　)
A．p：x＞0，y＜0，q：xy＜0
B．p：a＞b，q：a＋c＞b＋c
C．p：x＞5，q：x＞10
D．p：a＞b≥0，q：＞
(2)設(shè)A，B，U是三個(gè)集合，且A?U，B?U，則“x∈(?UA)∩(?UB)”是“x∈?U(A∪B)”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【答案】　(1)BD　(2)C
【解析】(1)對(duì)于A選項(xiàng)，p?q，但q?/ p，故p不是q的充要條件；對(duì)于B選項(xiàng)，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要條件；對(duì)于C選項(xiàng)，p?/ q，但q?p，故p不是q的充要條件；對(duì)于D選項(xiàng)，p?q，且q?p，故p是q的充要條件．故選B、D.
(2)∵(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，
∴“x∈(?UA)∩(?UB)”是“x∈?U(A∪B)”的充要條件．故選C.
【總結(jié)】
充要條件的兩個(gè)判斷方法
(1)定義法：若p?q，q?p，則p是q的充要條件；
若p?/ q，q?/p，則p是q的既不充分又不必要條件．
(2)集合法：對(duì)于集合A＝{x|x滿足條件p}，集合B＝{x|x滿足條件q}，若A＝B，則p是q的充要條件．

變式 以下選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是(　　)
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形
D．p：a≠0，q：關(guān)于x的方程ax＝1有唯一解
【答案】D　
【解析】對(duì)于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分又不必要條件；對(duì)于B，p?q，但q?/ p，所以p是q的充分不必要條件；對(duì)于C，p?/ q，但q?p，所以p是q的必要不充分條件；對(duì)于D，顯然q?p，所以p是q的充要條件．故選D.

考點(diǎn)四：充要條件的證明
例4 求證：方程x2－2x－3m＝0有兩個(gè)同號(hào)且不相等實(shí)根的充要條件是－＜m＜0.
【解析】證明：(1)充分性：∵－＜m＜0，
∴方程x2－2x－3m＝0的判別式Δ＝4＋12m＞0，
且－3m＞0，
∴方程x2－2x－3m＝0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根．
(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根，
則有解得－＜m＜0.
綜合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件是－＜m＜0.
【總結(jié)】
充要條件的證明思路
在證明有關(guān)充要條件的問(wèn)題時(shí)，通常從“充分性”和“必要性”兩個(gè)方面來(lái)證明．在證明時(shí)，要注意：若證明“p的充要條件是q”，那么“充分性”是q?p，“必要性”是p?q；若證明“p是q的充要條件”，則與之相反．
[注意]　證明時(shí)一定要注意證明的方向性，分清充分性與必要性的證明方向．
變式 已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，證明“ac＜0”是“關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根”的充要條件．
【解析】證明：充分性：∵ac＜0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0為一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0，∴ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別設(shè)為x1，x2.
∵ac＜0，∴x1·x2＝＜0，∴x1，x2為一正一負(fù)，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根．
必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0為一元二次方程．
設(shè)兩個(gè)根分別為x1，x2，則x1·x2＝＜0，∴ac＜0.
綜上知，“ac＜0”是“關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根”的充要條件．
考點(diǎn)五：充分條件、必要條件、充要條件的探求
例5 　(1)關(guān)于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要條件是(　　)
A．m＜ B．m＜
C．m＜－ D．m＜－
(2)若a，b都是實(shí)數(shù)，試從①ab＝0；②a＋b＝0；③ab＞0中分別選出適合下列條件者，用序號(hào)填空．
(ⅰ)a，b都為0的必要條件是________；
(ⅱ)使a，b都不為0的充分條件是________．
【答案】　(1)A　(2)(ⅰ)①②　(ⅱ)③
【解析】(1)由題意可得Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤.四個(gè)選項(xiàng)中，只有m＜是m≤的必要條件．故選A.
(2)①ab＝0即為a＝0或b＝0，即a，b中至少有一個(gè)為0；②a＋b＝0，即a，b互為相反數(shù)，則a，b可能均為0，也可能為一正一負(fù)；③由ab＞0知a與b同號(hào)，即a，b都不為0.綜上可知，“a，b都為0”能推出①②，③能推出“a，b都不為0”，所以a，b都為0的必要條件是①②，使a，b都不為0的充分條件是③.
【總結(jié)】
尋求充分條件、必要條件、充要條件的方法
(1)尋求q的充分條件p，即求使q成立的條件p，即p?q；
(2)尋求q的必要條件p，即求以q為條件可推出的結(jié)論p，即q?p；
(3)尋求q的充要條件的兩種方法．
①等價(jià)轉(zhuǎn)化法：將原命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，直至獲得其成立的充要條件，其中探求的過(guò)程也是證明的過(guò)程，因?yàn)樘角筮^(guò)程的每一步都是等價(jià)的，所以不需要將充分性和必要性分開(kāi)來(lái)證；
②非等價(jià)轉(zhuǎn)化法：先尋找必要條件，再證明充分性，即從必要性和充分性兩方面說(shuō)明．
變式 求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件．
【解析】(1)當(dāng)a＝0時(shí)，方程為一元一次方程，其根為x＝－，符合要求．
(2)當(dāng)a≠0時(shí)，方程為一元二次方程，此時(shí)ax2＋2x＋1＝0有實(shí)根的充要條件是判別式Δ≥0，即4－4a≥0，從而a≤1.
設(shè)方程ax2＋2x＋1＝0的兩根分別為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，則x1＋x2＝－，x1x2＝.
①方程ax2＋2x＋1＝0有一負(fù)根一正根的充要條件為?a＜0；
②方程ax2＋2x＋1＝0有兩個(gè)負(fù)根的充要條件為?0＜a≤1.
綜上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a≤1.


1．設(shè)x∈R，則“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的(　　)
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B　
【解析】“1＜x＜2”?“1＜x＜3”，反之不成立．
∴“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的充分不必要條件．故選B.
2．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a＋b＞0”是“ab＞0”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】D　
【解析】若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，則ab＞0不成立；反之，若ab＞0，取a＝－2，b＝－3，則a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要條件．
3．(多選)設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，若p：開(kāi)關(guān)S閉合，q：燈泡L亮，則p是q的充要條件的電路圖是(　　)

【答案】BD　
【解析】由題知，電路圖A中，開(kāi)關(guān)S閉合，燈泡L亮，而燈泡L亮開(kāi)關(guān)S不一定閉合，故A中p是q的充分不必要條件；電路圖B中，開(kāi)關(guān)S閉合，燈泡L亮，且燈泡L亮，則開(kāi)關(guān)S一定閉合，故B中p是q的充要條件；電路圖C中，開(kāi)關(guān)S閉合，燈泡L不一定亮，燈泡L亮則開(kāi)關(guān)S一定閉合，故C中p是q的必要不充分條件；電路圖D中，開(kāi)關(guān)S閉合則燈泡L亮，燈泡L亮則一定有開(kāi)關(guān)S閉合，故D中p是q的充要條件．故選B、D.
4．設(shè)集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，那么“m∈A”是“m∈B”的______________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).
【答案】必要不充分
【解析】由題可知0＜x＜2 ?/ 0＜x＜1，但0＜x＜1?0＜x＜2，故“m∈A”是“m∈B”的必要不充分條件．
5．已知集合P＝{x|－1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的充分不必要條件，則m的取值范圍為_(kāi)_______．
【答案】m≥3
【解析】由題意可知，PS，則(等號(hào)不同時(shí)成立)，解得m≥3.
6．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A　
【解析】由“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要條件．
7．(多選題)使x>3成立的充分條件是(　　)
A．x>4 B．x>5 C．x>2 D．x>1
【答案】AB　
【解析】x>4?x>3，x>5?x>3，其他選項(xiàng)不可推出x>3．
8．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A　
【解析】因?yàn)閤≥2且y≥2?x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要條件．
9．若“x>1”是“x>a”的充分條件，則a的取值范圍是________．
【答案】a≤1　
【解析】因?yàn)閤>1?x>a，所以a≤1．
10．“x2＝2x”是“x＝0”的________條件，“x＝0”是“x2＝2x”的________條件(用“充分”“必要”填空)．
【答案】必要　充分
【解析】由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要條件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分條件．

1．荀子曰：“故不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海．”這句來(lái)自先秦時(shí)期的名言闡述了做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累，就永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)成目標(biāo)的哲理．由此可得，“至千里”是“積跬步”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．既不充分又不必要條件
D．充要條件
【答案】A　
【解析】荀子的名言表明積跬步未必能至千里，但要至千里必須積跬步，故“至千里”是“積跬步”的充分不必要條件．故選A.
2．x2＝1是x＝1的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B　
【解析】若x2＝1，則x＝±1；而若x＝1，則必有x2＝1，因此x2＝1是x＝1必要不充分條件．故選B.
3．設(shè)A，B，C是三個(gè)集合，則“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B　
【解析】由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，
反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.
∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分條件．故選B.
4．設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＋1＞0，則p是q成立的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A　
【解析】1＜x＜2時(shí)，2x＋1＞3＞0，充分性滿足；x＝0時(shí)滿足2x＋1＞0，不滿足1＜x＜2，必要性不滿足，故p是q的充分不必要條件．故選A.
5．下面四個(gè)條件中，使a＞b成立的充分不必要條件是(　　)
A．a(chǎn)≥b＋1 B．a(chǎn)＞b－1
C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3
【答案】A　
【解析】由a≥b＋1＞b，從而a≥b＋1?a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，則4＞3.5/?4≥3.5＋1，故a＞b/?a≥b＋1.故A正確．
6．(多選)命題“?x∈R，則x＜2”的一個(gè)必要不充分條件是(　　)
A．x＜1 B．x＜3
C．x＞3 D．x≤5
【答案】BD　
【解析】x＜2的必要不充分條件對(duì)應(yīng)的集合真包含了(－∞，2)，故只有B、D中對(duì)應(yīng)的集合滿足這一個(gè)要求．故選B、D.
7．(多選)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題中真命題是(　　)
A．a(chǎn)＝b是ac＝bc的充要條件
B．“a＋5是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的充要條件
C．a(chǎn)＞b是a2＞b2的充要條件
D．a(chǎn)＜5是a＜3的必要條件
【答案】BD　
【解析】∵“a＝b”?“ac＝bc”為真命題，但當(dāng)c＝0時(shí)，“ac＝bc”?“a＝b”為假命題，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要條件，故A為假命題；
∵“a＋5是無(wú)理數(shù)”?“a是無(wú)理數(shù)”為真命題，“a是無(wú)理數(shù)”?“a＋5是無(wú)理數(shù)”也為真命題，故“a＋5是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的充要條件，故B為真命題；
∵“a＞b”?“a2＞b2”為假命題，“a2＞b2”?“a＞b”也為假命題，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分又不必要條件，故C為假命題；
∵{a|a＜3}{a|a＜5}，故“a＜5”是“a＜3”的必要不充分條件，故D為真命題．故選B、D.
8．“x＜0”是“x＜3”的________________條件．
【答案】充分不必要
【解析】設(shè)A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＜3}，因?yàn)锳B，所以“x＜0”是“x＜3”的充分不必要條件．
9．命題“已知n∈Z，若a＝4n，則a是偶數(shù)”中，“a是偶數(shù)”是“a＝4n”的__________條件；“a＝4n”是“a是偶數(shù)”的________條件(用“充分”“必要”填空).
【答案】必要　充分
【解析】當(dāng)a是偶數(shù)時(shí)，取a＝2，不能得到a＝4n，當(dāng)a＝4n時(shí)，a是偶數(shù)，故“a是偶數(shù)”是“a＝4n”的必要條件，“a＝4n”是“a是偶數(shù)”的充分條件．
10．設(shè)集合A＝{1，2}．
(1)請(qǐng)寫出一個(gè)集合B，________，使“x∈A”是“x∈B”的充分條件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要條件；
(2)請(qǐng)寫出一個(gè)集合B，________，使“x∈A”是“x∈B”的必要條件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分條件．
【答案】B＝{1，2，3}(答案不唯一)　B＝{1}(答案不唯一)
【解析】(1)由于“x∈A”是“x∈B”的充分條件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要條件，所以集合A是集合B的真子集，由此可得B＝{1，2，3}符合題意．
(2)由于“x∈A”是“x∈B”的必要條件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分條件，所以集合B是集合A的非空真子集，由此可知B＝{1}符合題意．
11．指出下列各命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件．
(1)p：x2＞0，q：x＞0；
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(4)p：兩個(gè)角不都是直角，q：兩個(gè)角不相等．
【解析】(1)p：x2＞0，則x＞0或x

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