?第09講 基本不等式

1．掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0，當且僅當a＝b時等號成立).　
2．結(jié)合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題．　
2．能夠運用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題．


知識點一 基本不等式與重要不等式
1．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
對于正數(shù)a，b，我們把稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)．
2．基本不等式
如果a，b是正數(shù)，那么(當且僅當a＝b時，等號成立).
3．兩個重要不等式
當a，b∈R時，則
（1）ab≤(當且僅當a＝b時，等號成立)；
（2）ab≤(當且僅當a＝b時，等號成立).
不等式a2＋b2≥2ab與≥的比較
(1)兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是不同的．前者要求a，b是實數(shù)即可，而后者要求a，b都是正實數(shù)(實際上后者只要a≥0，b≥0即可)；
(2)兩個不等式a2＋b2≥2ab和≥都是帶有等號的不等式，都是“當且僅當a＝b時，等號成立”．

知識點二 基本不等式與最值
對于正數(shù)a，b，在運用基本不等式時，應(yīng)注意：
(1)和a＋b為定值時，積ab有最大值；積ab為定值時，和a＋b有最小值；
(2)取等號的條件.
利用基本不等式求最值要牢記：“一正”“二定”“三相等”
(1)“一正”，即所求最值的各項必須都是正值，否則就容易得出錯誤的結(jié)果；
(2)“二定”，即含變量的各項的和或積必須是定值(常數(shù)).如果要求a＋b的最小值，那么ab必須是定值；要求ab的最大值，a＋b必須是定值；
(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號成立的條件，才能求得最大值或最小值．
知識點三 基本不等式的應(yīng)用
1．基本不等式的變形
利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：
(1)對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解．
常用的方法有：拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等．
(2)條件變形，進行“1”的代換求目標函數(shù)最值．
2．應(yīng)用基本不等式解簡單的實際應(yīng)用題(函數(shù)類)
(1)合理選擇自變量，建立函數(shù)關(guān)系；
(2)尋找利用基本不等式的條件(和或積為定值)；
(3)解題注意點：
①設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；
②根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；
③在求函數(shù)的最值時，一定要在使實際問題有意義的自變量的取值范圍內(nèi)求解．


考點一：利用基本不等式證明不等式
例1 已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求證： ≥8.
【證明】因為a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，
得≥··＝8.
當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立．
【總結(jié)】
利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項
(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
(2)注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；
②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；
③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，構(gòu)成基本不等式模型再使用．

變式 (1)已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求證：＋＋≥9.
【證明】因為a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9.
當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立．
(2)已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求證：≥10.
【證明】因為a，b，c都為正實數(shù)，
所以＋＋
＝＋＋
＝4＋≥4＋2＋2＋2＝10，當且僅當a＝b＝c＝時取等號．
所以≥10.


考點二：利用基本不等式求最值
例2 (1)已知x>2，則x＋的最小值為________；
(2)若00，
所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
當且僅當x－2＝，即x＝4時，等號成立．所以x＋的最小值為6.
(2)因為00，b>0．則a＋b的最小值為________．
【答案】2　
【解析】因為a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2．當且僅當a＝b＝1時等號成立，故a＋b的最小值為2．]
10．把長為12 cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是________ cm2．
【答案】2
【解析】設(shè)兩段長分別為x cm，(12－x)cm，
則S＝×＋×＝≥×＝2．
當且僅當x＝12－x，即x＝6時取等號，故兩個正三角形面積之和最小值為2 cm2．

1．已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3).則P，Q的大小關(guān)系為(　　)
A.P＞Q B．P＜Q
C.P≥Q D．P≤Q
【答案】C　
【解析】P＝a2＋≥2＝4，當且僅當a＝±時等號成立，
Q＝b2－4b＋7＝(b－2)2＋3≤4，當b＝3時等號成立，所以P≥Q.故選C.
2．已知a＞0，b＞0，則“ab≤1”是“≤1”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
【答案】A　
【解析】a＞0，b＞0，若ab≤1，則由a＋b≥2得≤＝≤1，充分性成立，
若≤1，例如a＝，b＝2，則＝1，但ab＝＞1，因此必要性不成立．故選A.
3．若a>0，b>0，且＋＝，則a2＋b2的最小值為(　　)
A.2 B．2
C.4 D．4
【答案】C　
【解析】∵a>0，b>0，∴＋＝≥2，ab≥2，當且僅當a＝b＝時等號成立，
∴a2＋b2≥2ab≥4，當且僅當a＝b＝時等號成立．
綜上，a2＋b2的最小值是4.故選C.
4．若對x>0，y>0，有(x＋2y)·≥m恒成立，則m的取值范圍是(　　)
A.m≤4 B．m>4
C.m0，y>0，得(x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，當且僅當2y＝x時取等號，則m≤8.故選D.
5．對于使－x2＋2x≤M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最小值1叫做－x2＋2x的上確界，若a，b∈R＋，且a＋b＝1，則－－的上確界為(　　 )
A. B．－
C. D．－4
【答案】B　
【解析】由題意可知，只需求－－的最大值即可，因此可先求 ＋的最小值，＋＝(a＋b)＝＋＋≥，當且僅當＝，即a＝，b＝時取等號，所以 －－的最大值是－.故選B.
6．(多選)設(shè)a，b是正實數(shù)，則下列各式中成立的是(　　)
A.a＋b≥2 B．＋≥2
C.≥2 D．≤
【答案】ABC　
【解析】由≥得a＋b≥2，當且僅當a＝b時等號成立，∴A成立；
∵＋≥2＝2，當且僅當a＝b時等號成立，∴B成立；
∵≥＝2，當且僅當a＝b時等號成立，∴C成立；
∵－＝≥0，∴≥，∴D不成立．故選A、B、C.
7．(多選)已知a，b∈R＋且a＋b＝1，那么下列不等式中，恒成立的有(　　)
A.ab＜ B．a(chǎn)2＋b2≥
C.＋≤ D．＋≥2
【答案】BC　
【解析】A，因為a，b∈R＋且a＋b＝1，所以ab≤＝，當且僅當即a＝b＝時，等號成立，故A錯誤；B，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2＋≥，當且僅當a＝b＝時，等號成立，故B正確；C，＝a＋b＋2＝1＋2＝1＋2＝1＋2＝1＋2≤2，當且僅當a＝b＝時，等號成立，因此＋≤，故C正確；D，＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋，當且僅當即時，等號成立，故D錯誤．故選B、C.
8．設(shè)a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，則1，ab，的大小關(guān)系是________．
【答案】ab＜1＜
【解析】因為a，b∈R＋，a＋b＝2，
所以a＋b≥2，即ab≤＝1，又a≠b，所以ab＜1，
因為＞0，所以＞ab，則2(a2＋b2)＞(a＋b)2＝4，＞1，
所以ab＜1＜.
9．下列條件中能使＋≥2成立的是________．
①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.
【答案】①③④
【解析】要使＋≥2成立，只需＞0，＞0即可，此時＋≥2＝2，當且僅當＝等號成立，若＜0，則不等式不成立，即只需a，b同號即可，故①③④滿足．
10．如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度沒有限制)的矩形菜園．設(shè)菜園的長為x米，寬為y米．若菜園面積為50平方米，則所用籬笆總長的最小值為________；若使用的籬笆總長度為30米，則＋的最小值為________．

【答案】20　
【解析】若菜園面積為50平方米，則xy＝50，
所以籬笆總長x＋2y≥2＝20，當且僅當x＝2y，即x＝10，y＝5時等號成立，
故所用籬笆總長的最小值為20；
若使用的籬笆總長度為30米，則x＋2y＝30，
所以＋＝×(x＋2y)＝≥＝，
當且僅當x＝y(tǒng)，即x＝10，y＝10時等號成立，
所以＋的最小值為.
11．(1)已知a＞0，b＞0，a＋2b＝4，求ab的最大值；
(2)若正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，求＋的最小值．
【解析】(1)ab＝a×2b≤＝2，當且僅當a＝2b＝2即a＝2，b＝1時取等號．
故ab的最大值為2.
(2)a＋b＝1，即(a＋1)＋b＝2，∵a＞0，b＞0，
故＋＝[(a＋1)＋b]＝≥8，當且僅當＝時等號成立，
又a＋b＝1，∴a＝b＝時，＝8.
12．已知△ABC的面積為1，內(nèi)切圓半徑也為1，若△ABC的三邊長分別為a，b，c，則＋的最小值為(　　)
A.2 B．2＋
C.4 D．2＋2
【答案】D　
【解析】因為△ABC的面積為1，內(nèi)切圓半徑也為1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
當且僅當a＋b＝c，即c＝2－2時，等號成立，
所以＋的最小值為2＋2.
13．(多選)下列說法正確的為(　　)
A.若x＞0，則x(2－x)最大值為1
B.函數(shù)y＝的最小值為4
C.≥2
D.已知a＞3時，a＋≥2，當且僅當a＝即a＝4時，a＋取得最小值8
【答案】AC　
【解析】選項A，若x＞0，則x(2－x)≤＝1，當且僅當x＝2－x，即x＝1時等號成立，故選項A正確；
選項B，y＝＝＝2(＋)≥2×2＝4，
當且僅當＝，即x2＝－2時等號成立，顯然取不到最小值，故選項B錯誤；
選項C，當x＞0時，＝x＋≥2＝2，當且僅當x＝，即x＝1時等號成立；
當x＜0時，－x＞0，所以＝(－x)＋≥2＝2，當且僅當－x＝，即x＝－1時等號成立，所以≥2，故選項C正確；
選項D，當a＞3時，a＋＝a－3＋＋3≥2＋3＝7，當且僅當a－3＝，即a＝5時等號成立，故選項D錯誤．
故選A、C.
14．若正實數(shù)a，b，c滿足a2－3ab＋4b2－c＝0，則當取得最大值時，＋－的最大值為________．
【答案】1
【解析】由條件可得c＝a2－3ab＋4b2，則＝＝，
由－3＋4×＝4×＋－3≥2－3＝1，
當且僅當4×＝，即a＝2b時，有最大值，此時c＝2b2，所以＋－＝－＝－＋1，
當b＝1時，＋－有最大值1.所以＋－的最大值為1.
15．“勾股容方”問題出自我國漢代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，該問題可以被描述為：“設(shè)一直角三角形(如圖①)的兩直角邊長分別為a和b，求與該直角三角形具有公共直角的內(nèi)接正方形的邊長．”公元263年，數(shù)學(xué)家劉徽為《九章算術(shù)》作注，在注中他利用出入相補原理給出了上述問題如圖②和圖③所示的解答，則圖①中與直角三角形具有公共直角的內(nèi)接正方形的邊長為________，當內(nèi)接正方形的面積為1時，則圖③中兩個標有“朱”的三角形和兩個標有“青”的三角形的面積總和的最小值為________．

【答案】　2
【解析】設(shè)內(nèi)接正方形的邊長為x，則圖②的面積為ab，圖③的面積為(a＋b)x，
因為圖②和圖③的面積相等，則有ab＝(a＋b)x，解得x＝，故內(nèi)接正方形的邊長為.
因為內(nèi)接正方形的面積為1，所以內(nèi)接正方形的邊長x＝1，則有a＋b＝ab，
利用基本不等式可得a＋b＝ab≥2，故ab≥4，當且僅當a＝b＝2時取等號，
所以兩個標有“朱”的三角形和兩個標有“青”的三角形的面積總和為ab－2≥2，
故圖③中兩個標有“朱”的三角形和兩個標有“青”的三角形的面積總和的最小值為2.
16．某種產(chǎn)品的兩種原料相繼提價，產(chǎn)品生產(chǎn)者決定根據(jù)這兩種原料提價的百分比，對產(chǎn)品分兩次提價，現(xiàn)在有三種提價方案：
方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；
方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；
方案丙：第一次提價%，第二次提價%.
其中p＞q＞0，比較上述三種方案，哪一種提價少？哪一種提價多？
【解析】不妨設(shè)提價前的價格為1，則
方案甲：兩次提價后的價格為(1＋p%)(1＋q%)＝1＋p%＋q%＋0.01pq%，
方案乙：兩次提價后的價格為(1＋q%)(1＋p%)＝1＋p%＋q%＋0.01pq%，
方案丙：兩次提價后的價格為＝1＋p%＋q%＋0.01×%，
由于p＞q＞0，由基本不等式p＋q≥2，當且僅當p＝q時等號成立，
故≥pq，又p≠q，故等號不成立，即＞pq.
因此方案丙提價最多，方案甲、乙少，且提價一樣．
17．已知a，b為正實數(shù)，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2＝4(ab)3，求ab的值．
【解析】(1)因為a，b為正實數(shù)，且＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(當且僅當a＝b時等號成立).
因為a2＋b2≥2ab≥2×＝1(當且僅當a＝b時等號成立)，
所以a2＋b2的最小值為1.
(2)因為＋＝2，所以a＋b＝2ab.因為(a－b)2＝4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab＝4(ab)3，即(2ab)2－4ab＝4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1＝0，(ab－1)2＝0.因為a，b為正實數(shù)，所以ab＝1.
18．某廠家擬在2021年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量(即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量)x(單位：萬件)與年促銷費用m(m≥0)(單位：萬元)滿足x＝3－(k為常數(shù))，如果不舉行促銷活動，該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件．已知2021年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，
每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用).
(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤y(單位：萬元)表示為年促銷費用m的函數(shù)；
(2)該廠家2021年的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？
【解析】(1)由題意，可知當m＝0時，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0).
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
當且僅當＝m＋1，即m＝3時等號成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故該廠家2021年的促銷費用為3萬元時，廠家的利潤最大，最大利潤為21萬元．


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