第01講集合的概念-新高一數(shù)學(xué)暑假精品課（蘇教版必修第一冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第01講集合的概念

1. 了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系．
2. 能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合．
3. 了解空集的含義．

知識點一元素與集合的概念
1．集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合，通常用大寫拉丁字母來表示集合．
2．元素：集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱元．通常用小寫拉丁字母表示．
3．集合相等：如果兩個集合所含的元素完全相同，那么稱這兩個集合相等．
4．集合中元素的特性：確定性、互異性和無序性．
特性
含義
確定性
集合中的元素必須是確定的．因此，不能確定的對象不能組成集合，即給定一個集合，任何對象是不是這個集合中的元素，應(yīng)該可以明確地判斷出來
互異性
對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的．因此，集合中的任意兩個元素必須都是不同的對象，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合中的一個元素
無序性
集合中的元素可以任意排列

知識點二元素與集合的關(guān)系
1．屬于：如果a是集合A的元素，那么就記作，讀作“a屬于A”．
2．不屬于：如果a不是集合A的元素，那么就記作，讀作“a不屬于A”．
3．常見的數(shù)集及符號表示
數(shù)集
非負(fù)整數(shù)集
(自然數(shù)集)
正整
數(shù)集
整數(shù)集
有理
數(shù)集
實數(shù)集
符號
N
N*或N＋
Z
Q
R

考點一：集合的含義
例1 (多選)判斷下列每組對象，能組成一個集合的是(　　)
A．某校高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生
B．直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點
C．不小于3的自然數(shù)
D．2022年第24屆冬季奧運會金牌獲得者
【答案】 BCD
【解析】 A中“成績優(yōu)秀”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能組成一個集合；B、C、D中的對象都滿足確定性，所以能組成集合．
【總結(jié)】
判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)
判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合．同時還要注意集合中元素的互異性、無序性．
變式 (多選)現(xiàn)有以下說法，其中正確的是(　　)
A．接近于0的數(shù)的全體構(gòu)成一個集合
B．正方體的全體構(gòu)成一個集合
C．未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合
D．不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個集合
【答案】 BD　
【解析】 A、C不符合集合中元素的確定性，B、D具有確定性．

考點二：元素與集合關(guān)系的判斷
例2 下列關(guān)系中，正確的有(　　)
①∈R；② ?Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A.1個 B．2個
C.3個 D．4個
【答案】 C　
【解析】是實數(shù)，是無理數(shù)，|－3|＝3是自然數(shù)，|－|＝是無理數(shù)．因此，①②③正確，④錯誤．
變式用“∈”，“?”填空．
已知集合A中的元素x是被3除余2的整數(shù)，則有：17________A，－5________A．
【答案】 ∈　?
【解析】由題意可設(shè)x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－?Z.所以－5?A.
例3 若集合A中的元素x滿足∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．
【答案】 0，1，2
【解析】由題意可得x為自然數(shù)，所以可以為2，3，6，因此x的值為0，1，2.因此A中有0，1，2三個元素．
【總結(jié)】
1．判斷元素與集合關(guān)系的2種方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可；
(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．
2．已知元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的思路
當(dāng)a∈A時，則a一定等于集合A中的某個元素．反之，當(dāng)a?A時，結(jié)論恰恰相反．
利用上述結(jié)論建立方程(組)或不等式(組)求解參數(shù)即可，注意根據(jù)集合中元素的互異性對求得的參數(shù)進(jìn)行檢驗．
變式方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根組成集合A．當(dāng)A中有且只有一個元素時，求a的值，并求此元素．
【解析】 A中有且只有一個元素，即ax2＋2x＋1＝0有且只有一個根或有兩個相等的實根．
①當(dāng)a＝0時，方程的根為－；
②當(dāng)a≠0時，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1，此時方程有兩個相等的根為－1.
綜上，當(dāng)a＝0時，集合A中的元素為－；當(dāng)a＝1時，集合A中的元素為－1.

考點三：集合中元素的特性及應(yīng)用
例4 已知集合A含有兩個元素a和a2，若1∈A，則實數(shù)a的值為________．
【答案】－1
【解析】若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1.
當(dāng)a＝1時，集合A有重復(fù)元素，不符合元素的互異性，
∴a≠1；
當(dāng)a＝－1時，集合A含有兩個元素1，－1，符合元素的互異性．∴a＝－1.
【總結(jié)】
根據(jù)集合中元素的特性求參數(shù)的3個步驟

變式已知集合A含有兩個元素a和a2，若2∈A，則實數(shù)a的值為________．
【解析】因為2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.

考點四：根據(jù)集合相等求參數(shù)
例5 由三個數(shù)a，，1組成的集合與由a2，a＋b，0組成的集合相等，求a2 022＋
b2 022的值．
【解析】由a，，1組成一個集合，可知a≠0，a≠1，a≠b，由題意可得或解得或(不滿足集合元素的互異性，舍去).
所以a2 022＋b2 022＝(－1)2 022＋0＝1.
【總結(jié)】
從集合相等的定義入手，結(jié)合元素的無序性，尋找元素之間的關(guān)系．若集合中的元素不止一個，需要利用集合中元素的互異性對得到的結(jié)果進(jìn)行取舍．
變式集合P中含有兩個元素1和4，集合Q中含有兩個元素1和a2，若P與Q相等，則a＝________．
【答案】 ±2
【解析】由題意知a2＝4，即a＝±2.

1．下列說法正確的是(　　)
A.某班中年齡較小的同學(xué)能夠組成一個集合
B.由1，2，3和，1，組成的集合不相等
C.不超過20的非負(fù)數(shù)組成一個集合
D.方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解組成的集合中有3個元素
【解析】 C　A項中元素不確定．B項中兩個集合元素相同，因為集合中的元素具有無序性，所以兩個集合相等．D項中方程的解分別是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互異性知，組成的集合中有2個元素．
2．已知集合S中的三個元素a，b，c是△ABC的三條邊長，那么△ABC一定不是(　　)
A.銳角三角形 B．直角三角形
C.鈍角三角形 D．等腰三角形
【解析】 D　因為集合中的元素必須是互異的，所以三角形的三條邊長兩兩不相等．故選D.
3．(多選)下列說法正確的有(　　)
A.N與N*是同一個集合
B.N中的元素都是Z中的元素
C.Q中的元素都是Z中的元素
D.Q中的元素都是R中的元素
【解析】 BD　因為N*表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集，所以A、C中的說法不正確，B、D中的說法正確．故選B、D.
4．已知集合P中元素x滿足：x∈N，且2