第08講 直線的傾斜角與斜率【知識點梳理】知識點一：直線的傾斜角平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角.規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．知識點詮釋：1.要清楚定義中含有的三個條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角.2.從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角.3.傾斜角的范圍是.當(dāng)時，直線與x軸平行或與x軸重合.4.直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應(yīng).5.已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置.知識點二：直線的斜率1．定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．知識點詮釋：(1)當(dāng)直線與x軸平行或重合時，，；(2)直線與x軸垂直時，，k不存在.由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.2．直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當(dāng)時，直線的斜率為零；當(dāng)時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．知識點三：斜率公式已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式.知識點詮釋：1.對于上面的斜率公式要注意下面五點：(1)當(dāng)時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；(2)與、的順序無關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；(3)斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標(biāo)求得；(4)當(dāng)時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率而得到．2.斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：(1)由、點的坐標(biāo)求的值；(2)已知及中的三個量可求第四個量；(3)已知及、的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))可求；(4)證明三點共線.知識點四：兩直線平行的條件設(shè)兩條不重合的直線的斜率分別為.若，則與的傾斜角與相等.由，可得，即 .因此，若，則.反之，若，則.知識點詮釋：1.公式成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為；②不重合；2.當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時，的傾斜角都是，則.知識點五：兩直線垂直的條件設(shè)兩條直線的斜率分別為.若，則.知識點詮釋：1.公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；2.當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線也垂直.    【題型歸納目錄】題型一：直線的傾斜角與斜率定義題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍題型五：直線平行題型六：直線垂直題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用【典型例題】題型一：直線的傾斜角與斜率定義1．（2022·全國·高二單元測試）下列命題中正確的是（       ）．A．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為B．若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為C．平行于x軸的直線的傾斜角為D．若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為 2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列說法中正確的是(       )A．一條直線的斜率隨著傾斜角的增大而增大B．直線的傾斜角的取值范圍是銳角或鈍角C．和軸平行的直線，它的傾斜角為D．每一條直線都存在傾斜角，但并非每一條直線都存在斜率 3．（2022·天津南開·高二期末）直線的傾斜角為（       ）．A． B． C． D． 4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列命題中，錯誤的是______．（填序號）①若直線的傾斜角為，則；②若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大；③若直線的傾斜角為，則直線的斜率為． 5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l的傾斜角為______． 6．（2022·全國·高二期中）若過兩點、的直線的傾斜角為60°，則y＝______． 7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）常值函數(shù)所表示直線的斜率為______． 8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若函數(shù)所表示直線的傾斜角為，則的值為______． 9．（2022·上海·華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二期中）已知直線l的方程為，則直線l的傾斜角為_________． 10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過、（）兩點，求直線l的傾斜角的取值范圍. 11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求經(jīng)過（其中）、兩點的直線的傾斜角的取值范圍． 題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系1．（2022·全國·高二期中）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（       ）．A． B．C． D． 2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線l經(jīng)過第二?三?四象限，其傾斜角為，斜率為k，則（       ）A． B．C． D． 3．（2022·全國·高二期末）如圖所示，若直線，，的斜率分別為，，，則（       ）A． B．C． D． （多選題）4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，下列四條直線，，，，斜率分別是，，，，傾斜角分別是，，，，則下列關(guān)系正確的是（       ）A． B． C． D． 5．（2022·天津天津·高二期末）若直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點，則l的斜率取值范圍為_________________；其傾斜角的取值范圍為_________________. 6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）當(dāng)直線l的傾斜角時，則直線l的斜率的取值范圍為______． 7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線l的斜率為，將直線l繞其與軸交點逆時針旋轉(zhuǎn)所得直線的斜率是______． 8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線l的傾斜角的正弦值為，則它的斜率為___________. 9．（2022·江蘇南通·高二期末）經(jīng)過點，的直線的傾斜角為___________. 10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線的斜率為，直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的斜率. 11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求經(jīng)過（其中）、兩點的直線的傾斜角的取值范圍． 12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（1）若直線l的傾斜角，求直線l斜率k的范圍；（2）若直線l的斜率，求直線l傾斜角的范圍. 13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過兩點?，求直線l的傾斜角的取值范圍. 14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知三條直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，且，探索其傾斜角，，的大小關(guān)系． 15．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線l的斜率的取值范圍為[－1， 1]，求其傾斜角的取值范圍． 16．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）過點A(2，1)，B(m， 3)的直線的傾斜角α的范圍是，求實數(shù)m的取值范圍． 題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)1．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為（       ）A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室高二期末）過點，的直線的斜率等于2，則的值為（       ）A．0 B．1 C．3 D．4 （多選題）3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）顆粒物過濾效率是衡量口罩防護效果的一個重要指標(biāo)，計算公式為，其中表示單位體積環(huán)境大氣中含有的顆粒物數(shù)量（單位：ind./L），表示經(jīng)口罩過濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)量（單位：ind./L）．某研究小組在相同的條件下，對兩種不同類型口罩的顆粒物過濾效率分別進行了4次測試，測試結(jié)果如圖所示．圖中點的橫坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測試時的值，縱坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測試時的值（，）．該研究小組得到以下結(jié)論，正確的是（       ）A．在第2種口罩的4次測試中，第3次測試時的顆粒物過濾效率最高B．在第1種口罩的4次測試中，第4次測試時的顆粒物過濾效率最高C．在每次測試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率高D．在第3次和第4次測試中第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率低 4．（2022·上海市控江中學(xué)高二期中）設(shè)，若直線l經(jīng)過點?，則直線l的斜率是___________. 5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線經(jīng)過點，，則直線的斜率為______． 6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若??三點共線，則實數(shù)m的值為___________. 7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）斜率為3的直線l過點，，則______． 8．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為，則___________. 9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若三點、、共線，則實數(shù)n的值為______． 10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知三個不同的點??在同一條直線上，則實數(shù)a的值為___________. 11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（1）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)三點??，若直線AC的斜率是直線BC的斜率的3倍，求實數(shù)m的值；（2）已知直線的斜率為，直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的斜率. 12．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）在函數(shù)的圖象上取兩點、，求直線的斜率. 13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)圖中提供的信息，按從大到小的順序排列圖中各條直線的斜率，并寫出各條直線的斜率. 14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點的坐標(biāo)為，在坐標(biāo)軸上有一點，若直線的斜率，求點的坐標(biāo)． 15．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點，，且直線PQ的斜率為1，求實數(shù)m的值． 16．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線的斜率，且，，是這條直線上的三個點，求實數(shù)x和y的值． 題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)點?，若直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（       ）A．或 B．或C． D． 2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點，，若直線l過點，且與線段相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（       ）A．或 B．C． D． 3．（2022·遼寧·本溪市第二高級中學(xué)高二期末）已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（       ）A． B．C． D． 4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點作直線l，若直線l與連接，的線段總有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍為（       ）A． B． C． D． 5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，點是線段（包括端點）上的動點，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D． （多選題）6．（2022·吉林·吉化第一高級中學(xué)校高二期末）直線l過點且斜率為k，若與連接兩點，的線段有公共點，則k的取值可以為（       ）A． B．1 C．2 D．4 7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若點在一次函數(shù)的圖像上，當(dāng)時，則的取值范圍是______． 8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知過點的直線l與以點，為端點的線段AB相交，則直線l的斜率的取值范圍為___________. 9．（2022·全國·高二單元測試）過點的直線與以、為端點的線段有交點，求直線的傾斜角的取值范圍． 10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線過點且與以，為端點的線段有公共點，則直線傾斜角的取值范圍為_______． 11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若過原點的直線與連接，兩點的線段相交，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍． 12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點，，.（1）求直線，，的斜率和傾斜角；（2）若為的邊上一動點，求直線的斜率的取值范圍. 題型五：直線平行1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（       ）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要 2．（2022·江蘇·高二）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為___________. 3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知過點、的直線與過點、的直線平行，則m的值為______． 4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）判斷三點是否共線，并說明理由． 5．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）分別根據(jù)下列各點的坐標(biāo)，判斷各組中直線AB與CD是否平行：(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，，，． 題型六：直線垂直1．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）以點，，為頂點的三角形是（       ）．A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形 2．（2022·湖北·監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末）直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是（       ）A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直 3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線的斜率，直線的斜率，則與(      )A．平行          B．垂直          C．重合          D．非以上情況 4．（2022·江蘇·高二）已知三點，則△ABC為__________ 三角形. 5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知的三個頂點分別是，則是______．（填的形狀） 6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線與直線垂直，直線的斜率為，則直線的傾斜角為______． 7．（2022·江蘇·高二）若直線l1與l2的斜率k1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，若l1⊥l2，則b=_____． 8．（2022·天津市第一中學(xué)濱海學(xué)校高二開學(xué)考試）已知定點，點B在直線x+y=0上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)是______. 9．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）證明：如果兩條直線斜率的乘積等于，那么它們互相垂直． 10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線AB的方程為：，點，在直線AB上求一點D，使得． 11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知的頂點分別為、、，若為直角三角形，求實數(shù)m的值． 12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）當(dāng)m為何值時，過兩點、的直線與過兩點、的直線垂直． 題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知的頂點，，其垂心為，則其頂點的坐標(biāo)為A． B． C． D． 2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）順次連接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所構(gòu)成的圖形是（       ）A．平行四邊形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不對 3．（2022·福建·浦城縣教師進修學(xué)校高二期中）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點D使AD⊥BC，AB∥CD，則點D的坐標(biāo)為（       ）A． B．C． D． 二、填空題4．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知四邊形的頂點，則四邊形的形狀為___________. 5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，，.（1）若，，，可以構(gòu)成平行四邊形，求點的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，判斷，，，構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形. 6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知四邊形ABCD的頂點，，，是否存在點A，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 7．（2022·寧夏·銀川二中高一期中）用坐標(biāo)法證明：菱形的對角線互相垂直. 8．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，A，B，C，D四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標(biāo). 9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點按逆時針順序依次是，，，，其中，試判斷四邊形的形狀，并給出證明． 10．（2022·遼寧·撫順縣高級中學(xué)校高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點坐標(biāo)分別為，，，，其中且.試判斷四邊形的形狀. 
 

相關(guān)試卷

第14講 雙曲線-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）：

這是一份第14講 雙曲線-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）

第15講 拋物線-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）：

這是一份第15講 拋物線-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019），文件包含第15講拋物線解析版docx、第15講拋物線原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共81頁， 歡迎下載使用。

第11講 圓的方程-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）：

這是一份第11講 圓的方程-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019），文件包含第11講圓的方程解析版docx、第11講圓的方程原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共50頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第09講 直線的方程-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）

第09講 直線的方程-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）
第13講 橢圓-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）

第13講 橢圓-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）
第03講 概率的綜合運用-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）

第03講 概率的綜合運用-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）
第05講 空間向量基本定理-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）

第05講 空間向量基本定理-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部