第三章 圓錐曲線(xiàn)的方程綜合測(cè)試學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．焦點(diǎn)在直線(xiàn)上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（       ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】分別求得直線(xiàn)與x軸，y軸的交點(diǎn)得到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)即可.【詳解】解：直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為（4，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，-3），當(dāng)以（4，0）為焦點(diǎn)時(shí)，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)由（0，-3）為焦點(diǎn)時(shí)，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：B2．若雙曲線(xiàn)的離心率為，則橢圓的離心率為（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出的值，利用橢圓的離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)、橢圓的焦距分別為、，離心率分別為、，則，可得，所以，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則.故選：C.3．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，結(jié)合離心率與的關(guān)系求解即可【詳解】由題意可知，此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則漸近線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，即，，所以.故選：B.4．已知曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離小1，M，N是曲線(xiàn)C上不同的兩點(diǎn)，若，則線(xiàn)段MN的中點(diǎn)Q到y軸的距離為（          ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求出曲線(xiàn)的方程，再根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等，由拋物線(xiàn)的定義可知：曲線(xiàn)是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，所以曲線(xiàn)的方程為．分別設(shè)點(diǎn)M、N、Q到準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為，，d，則，所以中點(diǎn)Q到y軸的距離為3，故選：A．5．焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)算出后，由離心率可得的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，因?yàn)?/span>，所以半焦距，故，又焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D6．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用橢圓定義和勾股定理可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】設(shè)，則，由橢圓定義知：；，，即，，，橢圓的離心率.故選：C.7．雙曲線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的弦AB，A、B兩點(diǎn)在同一支上且長(zhǎng)為m，另一焦點(diǎn)為，則的周長(zhǎng)為（       ）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【答案】C【解析】【分析】由雙曲線(xiàn)定義得到，，兩式相加得到，進(jìn)而求出周長(zhǎng).【詳解】由雙曲線(xiàn)的定義得：①，②，兩式相加得：，即，所以，故的周長(zhǎng)為.故選：C8．已知，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離為1，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且，則的面積為（       ）A． B．4 C．2 D．【答案】D【解析】【分析】先求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離結(jié)合條件求出，然后由雙曲線(xiàn)的定義結(jié)合余弦定理可得出，由條件求出,，結(jié)合三角形的面積公式可得出答案.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離為1，所以．由題意，則   （1）由余弦定理可得 （2）將（1）代入（2）可得．因?yàn)?/span>，所以，，所以，故的面積為．故：D二、多選題9．已知曲線(xiàn)：，則下列說(shuō)法正確的是（       ）A．若曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)，則B．若曲線(xiàn)表示橢圓，則且C．若曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)且離心率為，則D．若曲線(xiàn)與橢圓有公共焦點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)，橢圓的特征一一計(jì)算可得；【詳解】解：對(duì)于A：若曲線(xiàn)：表示雙曲線(xiàn)，則，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若曲線(xiàn)：表示橢圓，則，解得且，故B正確；對(duì)于C：若曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)且離心率為，則，所以，則，解得，故C正確；對(duì)于D：橢圓的焦點(diǎn)為，若曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，則，則，則，解得（舍去）；若曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，則，則，解得，符合題意，故，故D正確；故選：BCD10．已知點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)的右支第一象限上的一點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)E的左?右焦點(diǎn)，的面積為20，則下列說(shuō)法正確的是（       ）A．雙曲線(xiàn)E的焦點(diǎn)在x軸上 B．雙曲線(xiàn)E的離心率為C．點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4 D．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)判斷AB，由三角形面積公式結(jié)合雙曲線(xiàn)方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而判斷CD.【詳解】由題意可知，雙曲線(xiàn)E的焦點(diǎn)在x軸上，離心率，設(shè)，因?yàn)?/span>的面積為20，所以，，又，所以.故選：ACD11．若P是雙曲線(xiàn)C：上一點(diǎn)，C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（          ）A． B．漸近線(xiàn)方程為C．的最小值是2 D．焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離是【答案】BCD【解析】【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得值，由雙曲線(xiàn)方程可得漸近線(xiàn)方程，根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求得焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離判斷各選項(xiàng)．【詳解】依題意可知，所以A答案錯(cuò)誤；雙曲線(xiàn)的方程為，所以漸近線(xiàn)的方程為，，漸近線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離是，故選：BCD．12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，為橢圓上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（          ）A．B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．若點(diǎn)Q在橢圓C上，則的最大值為D．點(diǎn)P到x軸的距離為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，由可得，從而有；對(duì)于B選項(xiàng)，再由橢圓的定義結(jié)合勾股定理解關(guān)于的方程，解得；對(duì)于C選項(xiàng)，可由橢圓的性質(zhì)得；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)在軸上的投影為，得到，結(jié)合勾股定理，進(jìn)而求解即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意得，，，因?yàn)?/span>，所以，則，故，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，，在中，，解得，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>在橢圓上，則，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)在軸上的投影為，則，則，所以，又，解得，則到軸的距離為，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD.三、填空題13．已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則__________．【答案】【解析】【分析】首先可得，即可得到雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到、，再跟漸近線(xiàn)方程得到方程，解得即可；【詳解】解：對(duì)于雙曲線(xiàn)，所以，即雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以，即，解得；故答案為：14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則PF的長(zhǎng)為______．【答案】5【解析】【分析】把點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程解得，根據(jù)拋物線(xiàn)定義．【詳解】的焦點(diǎn)為點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則，解得根據(jù)拋物線(xiàn)的定義故答案為：5．15．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比為，且過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的方程是______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)的不同分類(lèi)討論，先設(shè)出橢圓的方程，再代入點(diǎn)即可求解.【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由題意，設(shè)橢圓方程為，又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，所以此時(shí)橢圓方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由題意，設(shè)橢圓方程為，又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，所以此時(shí)橢圓方程為.故答案為: 或16．設(shè)為雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)虛軸的下端點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)的圓與雙曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為_________；【答案】【解析】【分析】由得為圓的直徑，，再由得，求得，即可求出離心率.【詳解】如圖，不妨設(shè)在第二象限，由知即為圓的直徑，連接，易得，將代入解得，則，又，，即，則，離心率為.故答案為：.四、解答題17．分別求滿(mǎn)足下列條件的曲線(xiàn)方程(1)以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；(2)過(guò)點(diǎn)，且漸近線(xiàn)方程為的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由題意得出的值后寫(xiě)橢圓方程（2）待定系數(shù)法設(shè)方程，由題意列方程求解(1)的短軸頂點(diǎn)為(0，－3)，(0，3)，∴所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c＝3．又，∴a＝6．∴．∴所求橢圓方程為．(2)根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為，可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程，把代入得m＝1．所以雙曲線(xiàn)的方程為．18．世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡“中國(guó)天眼”——口徑拋物面射電望遠(yuǎn)鏡，反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線(xiàn)繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱(chēng)為拋物面），其邊緣距離底部的落差約為米，是由我國(guó)天文學(xué)家南仁東先生于年提出構(gòu)想，歷時(shí)年建成的．它的一個(gè)軸截面是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的一部分，放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)．(1)求的方程；(2)一束平行于軸的脈沖信號(hào)射到上的點(diǎn)，反射信號(hào)經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)后，再由上點(diǎn)反射出平行脈沖信號(hào)，試確定點(diǎn)的坐標(biāo)，使得從入射點(diǎn)到反射點(diǎn)的路程最短．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)中即可求得拋物線(xiàn)方程；（2）由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦性質(zhì)可知，知，由此可得結(jié)果.(1)由題意知：拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)，，解得：，拋物線(xiàn)的方程為：.(2)由題意知：弦為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦，當(dāng)為通徑時(shí)，從入射點(diǎn)到反射點(diǎn)的路程最短，，，即.19．如圖，已知定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C：上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段PD的垂直平分線(xiàn)與半徑CP相交于點(diǎn)M.(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)過(guò)定點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)l與M的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)O到的直線(xiàn)l的距離.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義知：M軌跡是以C，D為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，且且，即可求橢圓方程；（2）設(shè)直線(xiàn)為：聯(lián)立的軌跡方程，由，結(jié)合韋達(dá)定理、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求得，從而得直線(xiàn)方程，由點(diǎn)線(xiàn)距離公式求到直線(xiàn)的距離.(1)由已知得：且，則，∴根據(jù)橢圓的定義：M的軌跡是以C，D為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.∴，，，則點(diǎn)M的軌跡方程為.(2)由題設(shè)，直線(xiàn)l為，代入M的軌跡方程并整理得：.設(shè)，，則，.由，解得.所以，故O到直線(xiàn)l的距離.20．橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線(xiàn)與圓相切，與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】（1）由已知條件可確定橢圓的a,b,c，從而得到橢圓方程；（2）對(duì)直線(xiàn)討論斜率存在和不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，由直線(xiàn)與圓相切可得，然后將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式即可得到答案.(1)由橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為，可得半焦距且，解得，又由，所以橢圓方程為.(2)由（1）得，圓的方程為，設(shè)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，，不合題意； 當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，由直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切可得，所以，聯(lián)立方程組，可得，所以，，所以， 解得或，所以直線(xiàn)或.21．已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，且直線(xiàn)與圓相切.(1)求橢圓的方程(2)是橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)是異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，求證：三角形面積與三角形面積之比為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由離心率得出的關(guān)系，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求得參數(shù)的值，得橢圓方程；（2）設(shè)，由垂直寫(xiě)出直線(xiàn)和的方程，聯(lián)立求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上，得出的關(guān)系，從而得出結(jié)論．(1)由得：，解得：則，則直線(xiàn)，即，又直線(xiàn)與圓相切得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)，則直線(xiàn)斜率直線(xiàn)斜率，直線(xiàn)的方程為：，同理直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立上面兩直線(xiàn)方程，消去，得，即，在橢圓上，，即所以的面積與的面積之比為定值.22．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)、的斜率分別為、.求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)算出，根據(jù)再算出，進(jìn)而求出橢圓方程；（2）分別表示出直線(xiàn)、的斜率分別為、，然后計(jì)算即可.(1)因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然，.當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)，由得，設(shè)，，故有，，所以.因?yàn)?/span>，所以.綜上所述，恒有為定值. 

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