?第16講 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系
【知識點梳理】
知識點一：直線與橢圓的位置關(guān)系
平面內(nèi)點與橢圓的位置關(guān)系
橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點M（x，y），
若點M（x，y）在橢圓上，則有；
若點M（x，y）在橢圓內(nèi)，則有；
若點M（x，y）在橢圓外，則有.
直線與橢圓的位置關(guān)系
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
①Δ＞0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；
②Δ＝0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；
③Δ＜0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．
直線與橢圓的相交弦
設(shè)直線交橢圓于點兩點，則

==
同理可得
這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：


知識點三、直線與雙曲線的位置關(guān)系
直線與雙曲線的位置關(guān)系
將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.

若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；
②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點．
直線與雙曲線的相交弦
設(shè)直線交雙曲線于點兩點，則

==
同理可得
這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：


雙曲線的中點弦問題
遇到中點弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點差法”求解.
在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；
涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化，同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.
解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達(dá)定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.
知識點四、直線與拋物線的位置關(guān)系
直線與拋物線的位置關(guān)系
將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.

若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；
若
①Δ＞0 直線和拋物線相交，有兩個交點；
②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點．
直線與拋物線的相交弦
設(shè)直線交拋物線于點兩點，則

==
同理可得
這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：


拋物線的焦點弦問題
已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
①焦點弦長
②
③，其中|AF|叫做焦半徑，
④焦點弦長最小值為2p。根據(jù)時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p。
【題型歸納目錄】
題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系
題型二：橢圓的弦
題型三：橢圓的綜合問題
題型四：直線與雙曲線的位置關(guān)系
題型五：雙曲線的弦
題型六：雙曲線的綜合問題
題型七：直線與拋物線的位置關(guān)系
題型八：拋物線的弦
題型九：拋物線的綜合問題

【典型例題】
題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系
例1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線與橢圓的交點個數(shù)為（???????）．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

例2．（2022·全國·高二單元測試）已知點?.下列曲線方程中，在該曲線上不存在點P，滿足的曲線方程為（???????）
A． B．
C． D．

例3．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開學(xué)考試）橢圓：的左、右頂點分別為，，點在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

例4．（2022·江蘇·高二）已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若過點的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M，則點M的坐標(biāo)為______．

例5．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高二階段練習(xí)）直線：與橢圓的位置關(guān)系是____________.

例6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點，則b的取值范圍是___________.

例7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓C的兩個焦點分別是?，且橢圓C經(jīng)過點.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)m取何值時，直線與橢圓C：
①有兩個公共點；
②只有一個公共點；
③沒有公共點？

例8．（2022·四川·寧南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知橢圓的一個頂點為，離心率為.
(1)求橢圓的方程
(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點A，B，與軸交于點E，線段AB的中點為P，直線過點E且垂直于（其中O為原點），證明直線過定點.

例9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線與橢圓C：有唯一的公共點，求實數(shù)m的值．

例10．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校高二期末）設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點，的離心率為，點是上一點.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的直線交橢圓E于A，B兩點，且，求直線的方程.

例11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線與橢圓相交于不同的兩點，求k的取值范圍．


題型二：橢圓的弦
例12．（2022·福建·莆田一中高二期末）直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長|AB|等于（???????）
A． B． C． D．

例13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，左、右頂點為A、，，．則直線被橢圓截得的弦長為_____________．

例14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線與橢圓相交于A，B兩點，求線段的長．

例15．（2022·廣東茂名·高二期末）已知橢圓的中心在原點，焦點為，，且長軸長為4.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于A，兩點，求弦長.

例16．（2022·遼寧丹東·高二期末）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點，，點M滿足.記M的軌跡為C.
(1)說明C是什么曲線，并求C的方程；
(2)已知經(jīng)過的直線l與C交于A，B兩點，若，求.

例17．（2022·新疆·哈密市第一中學(xué)高二期末（理））已知中心在原點的橢圓C的右焦點為，離心率等于.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓右焦點且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，求的長.

例18．（2022·遼寧沈陽·高二期末）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，若右焦點為且離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，是上的兩點，直線與曲線相切且，，三點共線，求線段的長．

例19．（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知橢圓的離心率為，為右焦點，為的上頂點，且.為坐標(biāo)原點.
（1）求橢圓的方程;
（2）設(shè)直線與相交于兩點，求的面積.

例20．（2022·新疆昌吉·高二期末（文））已知橢圓的長軸在軸上，長軸長為4，離心率為，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的短軸長和焦距.
（2）直線與橢圓交于兩點，求兩點的距離.

例21．（2022·河南·溫縣第一高級中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，左頂點為，離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點，求的最大值．


題型三：橢圓的綜合問題
例22．（2022·江蘇·高二）（1）已知中心在原點的雙曲線的漸近線方程是，且雙曲線過點，求雙曲線的方程；
（2）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，右焦點的坐標(biāo)為，直線交橢圓于兩點，線段的中點為，求橢圓的方程；

例23．（2022·廣東·清遠(yuǎn)市博愛學(xué)校高二階段練習(xí)）已知橢圓M的短軸長為，焦點坐標(biāo)分別為和.
(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)斜率為k的直線與橢圓M交于A?B兩點，若線段AB的中點為P，O為坐標(biāo)原點，且直線OP的斜率kOP存在，試判斷k與kOP的乘積是否為定值，若是請求出，若不是請說明理由.

例24．（2022·四川·南部縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知橢圓的短軸長為，焦點坐標(biāo)分別為和.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線與橢圓交于兩點，若線段的中點，求直線的方程.

例25．（2022·江蘇省阜寧中學(xué)高二期中）已知橢圓的右焦點為F(，0)，且點M(－，)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線l過點F，且與橢圓交于A，B兩點，過原點O作l的垂線，垂足為P，若，求λ的值.

例26．（2022·四川·寧南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知橢圓的一個頂點為，離心率為.
(1)求橢圓的方程
(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點A，B，與軸交于點E，線段AB的中點為P，直線過點E且垂直于（其中O為原點），證明直線過定點.

例27．（2022·陜西咸陽·高二期末（理））已知點?分別是橢圓C：）的左?右焦點，點P在橢圓C上，當(dāng)∠PF1F2=時，面積達(dá)到最大，且最大值為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線l：與橢圓C交于A?B兩點，求面積的最大值.

例28．（2022·安徽·淮南第二中學(xué)高二階段練習(xí)）點是曲線上任一點，已知曲線在點處的切線方程為．如圖，點P是橢圓上的動點，過點P作橢圓C的切線l交圓于點A、B，過A、B作圓O的切線交于點M．

(1)求點M的軌跡方程；
(2)求面積的最大值．

例29．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過橢圓的右焦點作直線，與軸垂直，交橢圓于、兩點．
(1)求的長．
(2)求內(nèi)切圓的面積．

例30．（2022·內(nèi)蒙古師大附中高二期末（理））已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點M滿足．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)若過坐標(biāo)原點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，求線段PQ長為時直線l的方程．

例31．（2022·北京平谷·高二期末）已知橢圓C：（）的離心率為，并且經(jīng)過點，
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，點為橢圓C上任意一點，直線的斜率分別為，，求證：為定值．


題型四：直線與雙曲線的位置關(guān)系
例32．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．

例33．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））直線與雙曲線的交點個數(shù)是（???????）
A．1 B．2 C．1或2 D．0

例34．（2022·陜西·西安中學(xué)高二期末（文））已知雙曲線方程為，過點的直線與雙曲線只有一個公共點，則符合題意的直線的條數(shù)共有（???????）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條

例35．（多選題）（2022·浙江浙江·高二期中）若雙曲線的方程為，則下列說法正確的是（???????）
A．雙曲線的離心率為 B．雙曲線的焦點坐標(biāo)為
C．雙曲線的漸近線方程為 D．直線與雙曲線有兩個交點

例36．（2022·江蘇·高二）已知直線與雙曲線有且只有一個公共點，則C的離心率等于________．

例37．（2022·江蘇·高二）已知直線與雙曲線無交點，則該雙曲線離心率的最大值為_________.

例38．（2022·全國·高二單元測試）若曲線與直線有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是___________.

例39．（2022·上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線與雙曲線僅有一個公共點，則k的取值是_________

例40．（2022·重慶市清華中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知雙曲線的方程為，直線.
(1)求雙曲線的漸近線方程、離心率；
(2)若直線與雙曲線僅有一個公共點，求實數(shù)的值.

例41．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）判斷直線與雙曲線的公共點的個數(shù)．


題型五：雙曲線的弦
例42．（2022·江蘇·高二）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，A為一條漸近線上的一點，且，則的面積為（???????）
A． B． C．5 D．

例43．（2022·江蘇·高二）已知為雙曲線：的兩個焦點，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．

例44．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）若經(jīng)過雙曲線的一個焦點，且垂直于實軸的直線l與雙曲線交于A，B兩點，則線段AB的長為______.

例45．（2022·江蘇·高二）求直線被雙曲線截得的弦長.

例46．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線.
(1)求證：與雙曲線有兩個不同的交點；
(2)求線段的中點的坐標(biāo)和.

例47．（2022·四川·自貢成外高級中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線的漸近線方程為，且過點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長．

例48．（2022·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知雙曲線C：（a> 0，b> 0）的離心率為，實軸長為2.
(1)求雙曲線的焦點到漸近線的距離；
(2)若直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長為，求m的值.

例49．（2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高二期末）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；
(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點，求.

例50．（2022·甘肅蘭州·高二期末（文））已知雙曲線及直線．
（1）若與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．
（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標(biāo)為，求線段的長．

例51．（2022·全國·高二期末）已知焦點在軸上的雙曲線的實軸長為，焦距為.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與雙曲線交于兩點，求弦長.


題型六：雙曲線的綜合問題
例52．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線過點，且離心率
(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)如果，為雙曲線上的動點，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.

例53．（2022·全國·高二）已知雙曲線，是上的任意點.
（1）求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；
（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，求的最小值.

例54．（2022·上?！じ裰轮袑W(xué)高二期中）已知點?依次為雙曲線（，）的左?右焦點，且，.
(1)若，以為法向量的直線經(jīng)過，求到的距離；
(2)設(shè)雙曲線經(jīng)過第一?三象限的漸近線為，若直線與直線垂直，求雙曲線的離心率.

例55．（2022·江蘇·高二）在以下三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：
①在拋物線C上，且；②過焦點F作x軸的平行線，與拋物線C交于G，H兩點，；③拋物線C的準(zhǔn)線過雙曲線的下焦點．
問題：已知拋物線的焦點為F，點，______，若線段AF的垂直平分線交拋物線于P，Q兩點，求線段PQ的長度．

例56．（2022·江蘇·高二期末）已知雙曲線的離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為.
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)斜率為k的直線l過點，且直線與C的兩支分別交于點A，B，
①求k的取值范圍；
②若D是點B關(guān)于x軸的對稱點，證明：直線AD過定點.

例57．（2022·福建泉州·高二期中）平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C與雙曲線共焦點，點A，B是C上不關(guān)于長軸對稱的兩點，且的最大值為8．
(1)求C的方程；
(2)若A，B到點的距離相等，求m的取值范圍．

例58．（2022·上海市奉賢中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在以點O為圓心，為直徑的半圓中，D為半圓弧的中點，P為半圓弧上一點，且，雙曲線C以A，B為焦點且經(jīng)過點P．以O(shè)為原點，所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)過點D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點E，F(xiàn)，若的面積不小于，求直線l的斜率的取值范圍．

例59．（2022·全國·高二課時練習(xí)）雙曲線上的一點P與左右焦點、構(gòu)成．
(1)求的內(nèi)切圓與x軸正半軸相切的切點N的坐標(biāo)；
(2)已知，求的大小．

例60．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線l：與雙曲線C：交于不同的兩點A、B．
(1)求實數(shù)k的取值范圍；
(2)若雙曲線C的右焦點為F，是否存在實數(shù)k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

例61．（2022·全國·高二課時練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩定點、，動點滿足：．
(1)求點P的軌跡方程；
(2)設(shè)點P的軌跡與雙曲線C：交于相異兩點M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，且雙曲線C的虛軸長是實軸長的倍，求雙曲線C的方程．


題型七：直線與拋物線的位置關(guān)系
例62．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點作直線l與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有（???????）
A．1條 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條

例63．（多選題）（2022·江蘇·高二）已知直線與拋物線相切，則（?????）
A． B． C． D．

例64．（2022·北京二中高二學(xué)業(yè)考試）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為3，過焦點的直線與拋物線交于兩點，且，則點到軸的距離為___________.

例65．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點且與拋物線只有一個公共點的直線的條數(shù)為______條．

例66．（2022·湖北·隨州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點，過點作斜率的直線交拋物線于，兩點，為拋物線的焦點，若，則直線的斜率___________.

例67．（2022·江蘇·高二）已知直線與拋物線有且只有一個公共點，則滿足條件的實數(shù)的值組成集合_______.

例68．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的兩條漸近線分別與拋物線的準(zhǔn)線交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若△AOB的面積為1，則p的值為______．

例69．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求過定點且與拋物線只有一個公共點的直線方程.

例70．（2022·全國·高二課時練習(xí)）①直線l過點，②直線l與拋物線只有一個公共點，③直線l過拋物線的焦點，從中選擇兩個條件求直線l的方程.

例71．（2022·全國·高二期末）已知拋物線，的焦點為，若過點的直線與拋物線有且只有一個交點，求直線的方程．

例72．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線與拋物線有且只有一個公共點，求的值．


題型八：拋物線的弦
例73．（2022·江蘇·高二）己知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點，直線與C交于D、E兩點，則的最小值為（???????）
A．24 B．22 C．20 D．16

例74．（2022·江蘇·高二）拋物線的弦AB過其焦點，且垂直于它的對稱軸，O為原點，若△AOB的面積為3，則拋物線方程為______．

例75．（2022·吉林·長春市第八中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線l與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的中點為，則線段AB的長度為_______．

例76．（2022·江蘇·高二）已知拋物線：（）的焦點到準(zhǔn)線的距離為4，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則______．

例77．（2022·全國·高二單元測試）過拋物線的焦點的直線和拋物線交于兩點，若弦，則該直線的方程是___________.

例78．（2022·江蘇·高二）設(shè)O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是拋物線的焦點，A是拋物線上的一點，F(xiàn)A與x軸正向的夾角為60°，則___________.

例79．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則的面積為______.

例80．（2022·廣西·高二階段練習(xí)（理））已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，坐標(biāo)原點為.
(1)若，求直線的方程；
(2)若，求的面積.

例81．（2022·江蘇·高二）已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點．
(1)過作垂直于軸的直線與拋物線交于兩點，的面積為．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)拋物線上有兩點，若為正三角形，求的邊長．

例82．（2022·江蘇·高二）已知過拋物線方程的焦點的直線交拋物線于、兩點，若，求弦長．

例83．（2022·江蘇·高二）已知拋物線過點．
(1)求拋物線的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
(2)過該拋物線的焦點，作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，求線段的長度．

例84．（2022·四川·富順第二中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為軸，開口向右且焦點到準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若過的焦點的直線與拋物線交于兩點，且，求直線的方程.


題型九：拋物線的綜合問題
例85．（2022·湖南·高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，當(dāng)時，為坐標(biāo)原點）是等邊三角形.
(1)求拋物線的方程.
(2)延長交拋物線于點，試問直線是否恒過點？若是，求出點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

例86．（2022·江蘇·高二）已知點與點的距離比它到直線的距離小，若記點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)若直線與曲線相交于兩點，且．求證直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

例87．（2022·四川·閬中中學(xué)高二期中（文））已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．
(1)求拋物線C的方程；
(2)A，B是拋物線C上的兩個動點，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點．

例88．（2022·四川·棠湖中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知曲線C：x2=2y，點D為直線上的動點，過點D作C的兩條切線，切點分別為A，B.
(1)若點D的坐標(biāo)為，求這兩條切線的方程；
(2)證明：直線AB過定點.

例89．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學(xué)校高二階段練習(xí)）已知拋物線，直線交C于A，B兩點．
(1)若弦AB的中點是，求直線l的方程；
(2)設(shè)，，若，求證：直線過定點．

例90．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為6.
(1)求拋物線的方程；
(2)若不過原點的直線與拋物線交于A、B兩點，且，求證：直線過定點并求出定點坐標(biāo).

例91．（2022·江蘇·高二）已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點．
(1)過作垂直于軸的直線與拋物線交于兩點，的面積為．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)拋物線上有兩點，若為正三角形，求的邊長．

例92．（2022·江蘇·高二）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的準(zhǔn)線方程是．
(1)求拋物線的方程；
(2)直線與拋物線交于，兩點，求證：．

例93．（2022·全國·高二期中）設(shè)AB是過拋物線焦點F的一條弦，點A，B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別是，，證明：
(1)；
(2)以AB為直徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相切．


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