【暑假提升】(人教A版2019)數(shù)學(xué)高一（升高二）暑假-高二暑假高分突破綜合檢測卷（拔尖C卷）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

高二暑假高分突破綜合檢測卷（拔尖C卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．在三棱錐中，點(diǎn)E，F分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱上，且滿足，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得故選：B. 2．如圖，正方體的棱長為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡長度為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，由得，即，由于，所以，，所以點(diǎn)的軌跡為面上的直線：，，即圖中的線段，由圖知：，故選：B. 3．將直線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由知斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，將直線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則故新直線的斜率是.故選：B. 4．已知，，則下列直線的方程不可能是的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時(shí)，軸上的截距為2，故D正確，當(dāng)時(shí)，, 故B不正確，當(dāng)時(shí)，或，由圖象知AC正確.故選：B 5．已知平面上三點(diǎn)坐標(biāo)為、、，小明在點(diǎn)處休息，一只小狗沿所在直線來回跑動(dòng)，則小狗距離小明最近時(shí)所在位置的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?/span>，所以，直線的方程為，即，設(shè)小狗的位置為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，小狗距離小明最近，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立，解得，因此，小狗距離小明最近時(shí)所在位置的坐標(biāo)為.故選：C. 6．已知a，b是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【詳解】設(shè)平面的法向量分別為，對(duì)于A，由得，，，而，則，有，即，于是得，A正確；對(duì)于B，因，則，令直線的方向向量為，又，于是得，有，，B正確；對(duì)于C，三棱柱的三個(gè)側(cè)面分別視為平面，顯然平面平面，平面，有，即滿足C中命題的條件，但平面與平面相交，C不正確；對(duì)于D，因，則，因此，向量共面于平面，令直線的方向向量為，顯然，而平面，即不共線，于是得，所以，D正確.故選：C 7．圓C：上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線的距離為1，則R的一個(gè)取值可能為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】圓C：的圓心，半徑R點(diǎn)C到直線的距離為圓C上恰好存在2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則故選：B 8．如圖，已知正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．存在點(diǎn)，使B．三棱錐的體積隨動(dòng)點(diǎn)變化而變化C．直線與所成的角不可能等于D．存在點(diǎn)，使平面【答案】D【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為2，則，，，，，，因?yàn)?/span>為線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)（），則，，若，則（），則有，顯然無解，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>∥AC，平面，平面，故∥平面，因?yàn)?/span>為線段上運(yùn)動(dòng)，故到平面的距離不變，所以為定值，不隨E的變動(dòng)而變動(dòng)，故三棱錐的體積不隨動(dòng)點(diǎn)變化而變化，B錯(cuò)誤；，設(shè)直線與所成角為，則，令，解得：，故當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線與所成的角為60°，故C錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，則，令得：，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即，故平面，故D正確.故選：D 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線，則（）A．恒過點(diǎn) B．若，則C．若，則 D．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第三象限【答案】BD【詳解】直線，則，由，得，所以恒過定點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；由可得：，所以，B正確；由可得：，，所以C錯(cuò)誤；由，當(dāng)時(shí)，，不過第三象限；當(dāng)時(shí)，，不過第三象限，只需要，解得，所以的取值范圍為，所以D正確；故選：BD. 10．下列說法中，正確的有（）A．點(diǎn)斜式可以表示任何直線B．直線在軸上的截距為C．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程是D．點(diǎn)到直線的的最大距離為【答案】BD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，點(diǎn)斜式方程不能表示斜率不存在的直線，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，令得，所以直線在軸上的截距為，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程是，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于直線，即直線過定點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的的最大距離為，故正確.故選：BD 11．直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則（）A．直線過定點(diǎn)B．時(shí)，直線平分圓C．時(shí)，為等腰直角三角形D．時(shí)，弦最短【答案】AD【詳解】對(duì)A，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，故直線過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，圓的圓心為不滿足，故此時(shí)直線不過圓的圓心，故直線不平分圓，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過圓的圓心，故無，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，，故在圓內(nèi)，故當(dāng)弦最短時(shí)，與直線垂直.因?yàn)?/span>時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為1，故與直線垂直成立，故D正確；故選：AD 12．已知三棱錐，，是邊長為2的正三角形，E為中點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．異面直線與所成的角的余弦值為C．與平面所成的角的正弦值為 D．三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A：在三棱錐，，是邊長為2的正三角形，取AC的中點(diǎn)F，連接PF,BF，則.又，所以面，所以.故A正確.對(duì)于B：因?yàn)?/span>，，,所以面，所以，.在三棱錐，，是邊長為2的正三角形，所以三棱錐為正三棱錐，所以.所以.可以以P為原點(diǎn)，為xyz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.所以,.設(shè)異面直線與所成的角為，則.即異面直線與所成的角的余弦值為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，.設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則,不妨設(shè)x=1，則.設(shè)與平面所成的角為，則.即與平面所成的角的正弦值為.故C正確.對(duì)于D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球.設(shè)其半徑為R，由正方體的外接球滿足,所以.所以球的表面積為.故D正確.故選：ACD. 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線，，則“”是“”的______條件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【答案】充要【詳解】若，則，解得或．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，即，兩直線重合，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，滿足所以，所以“”是“”的充要條件．故答案為：充要 14．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，則的周長取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【詳解】如圖所示：定點(diǎn)關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)與直線和的交點(diǎn)分別為時(shí)，此時(shí)的周長取最小值，且最小值為．此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解得，即點(diǎn).故答案為：. 15．已知直線過定點(diǎn)A，直線過定點(diǎn)B，與的交點(diǎn)為C，則的最大值為___________.【答案】【詳解】由，則過定點(diǎn)，由，則過定點(diǎn)，顯然，即、相互垂直，而與的交點(diǎn)為C，所以的軌跡是以為直徑的圓，且圓心為、半徑為，令，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大為.故答案為： 16．在四面體中，若，，，底面是邊長為的正三角形，為的中心，則的余弦值為______．【答案】【詳解】,設(shè)∵∴,故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）試用，，表示向量；（2）求BM的長.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）是PC的中點(diǎn)，.，，，結(jié)合，，，得.（2），，，.，，，.由（1）知，，，即BM的長等于. 18．已知直線和相交于點(diǎn)P，且P點(diǎn)在直線上．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和實(shí)數(shù)a的值；(2)求過點(diǎn)且與點(diǎn)P的距離為的直線方程．【答案】(1)P(2,1)，a=2. (2)【詳解】(1)因?yàn)橹本€和相交于點(diǎn)P，且P點(diǎn)在直線上，所以聯(lián)立，解得：P(2,1).將P的坐標(biāo)(2,1)代入直線中,可得2a+1-3a+1=0,解得a=2.(2)設(shè)所求直線為l.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),則l的方程為x=-2.此時(shí)點(diǎn)P與直線的距離為4,不合題意，舍去；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為,即.因此點(diǎn)P到直線的距離,解方程可得k=2，所以直線的方程為. 19．已知圓，直線．(1)當(dāng)直線被圓截得的弦長最短時(shí)，求直線的方程；(2)若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】(1)由，可得．由，得即直線過定點(diǎn)．可化為，因?yàn)閳A心，所以，又因?yàn)楫?dāng)所截弦長最短時(shí)，，所以，所以直線的方程為．(2)因?yàn)閳A上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或，即的取值范圍為． 20．萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，瑞士數(shù)學(xué)家），1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心（三條中線的交點(diǎn)）、垂心（三條高線的交點(diǎn)）和外心（三條中垂線的交點(diǎn)）共線．這條線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，．(1)求的歐拉線方程；(2)記的外接圓的圓心為C，直線l：與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，求的面積最大值．【詳解】(1)的頂點(diǎn)，，利用兩點(diǎn)之間距離公式知，又，所以為等腰直角三角形，的中垂線方程是，也是的平分線，三線合一，∴歐拉線方程是．(2)由（1）知為等腰直角三角形，故外心為斜邊中點(diǎn)，即外心是，圓心C到直線l的距離，，所以利用二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 21．如圖，四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面是邊長為2的菱形，．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)Q為中點(diǎn)，求二面角的正弦值．【詳解】(1)取AB中點(diǎn)O，連接PO，CO，AC側(cè)面PAB為正三角形，，又O為AB中點(diǎn)，且底面ABCD為邊長為2的菱形，為邊長為2正三角形又O為AB中點(diǎn)，，在中又，又(2)由（1）知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 則，，，，，由（1）平面，可設(shè)平面法向量為設(shè)平面法向量為，則有，令得，，二面角的正弦值為 22．在四棱錐中，已知側(cè)面為正三角形，底面為直角梯形，，，，，點(diǎn)M，N分別在線段和上，且．(1)求證：平面；(2)設(shè)二面角大小為，若，求直線和平面所成角的正弦值．【詳解】(1)連接，交于點(diǎn)，連接；，，，，又，，，又平面，平面，平面.(2)取中點(diǎn)，連接；作，垂足為；為正三角形，；，，四邊形為平行四邊形，，又，，又，平面，平面；平面，，又，，平面，平面；作，交于點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)?/span>軸，可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，即為二面角的平面角，又，，，；則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)直線和平面所成角為，，故直線和平面所成角的正弦值為

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