?第09講 直線的方程
【知識點梳理】
知識點一：直線的點斜式方程
方程由直線上一定點及其斜率決定，我們把叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式.
知識點詮釋：
1.點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在.點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；
2.當(dāng)直線的傾斜角為時，直線方程為；
3.當(dāng)直線傾斜角為時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示.這時直線方程為：.
4.表示直線去掉一個點；表示一條直線.
知識點二：直線的斜截式方程
如果直線的斜率為，且與軸的交點為，根據(jù)直線的點斜式方程可得，即.我們把直線與軸的交點的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式.
知識點詮釋：
1.b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；
2.斜截式方程可由過點的點斜式方程得到；
3.當(dāng)時，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.
4.斜截式的前提是直線的斜率存在.斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線.
5.斜截式是點斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距.
知識點三：直線的兩點式方程
經(jīng)過兩點(其中)的直線方程為，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式.
知識點詮釋：
1.這個方程由直線上兩點確定；
2.當(dāng)直線沒有斜率()或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程.
3.直線方程的表示與選擇的順序無關(guān).
4．在應(yīng)用兩點式求直線方程時，往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個等價的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點式的整式形式．
知識點四：直線的截距式方程
若直線與軸的交點為，與y軸的交點為，其中，則過AB兩點的直線方程為，這個方程稱為直線的截距式方程.a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距.
知識點詮釋：
1.截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線.
2.求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y= 0得直線在x軸上的截距.
知識點五：直線方程幾種表達(dá)方式的選取
在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數(shù)，而點斜式需要三個獨立變數(shù)．在求直線方程時，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕?，已知一點的坐標(biāo)，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y 軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．
知識點六：直線方程的一般式
關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式．
知識點詮釋：
1．A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線.
當(dāng)時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．
當(dāng)，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．
由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于、的一次方程.
知識點七：直線方程的不同形式間的關(guān)系
名稱
方程的形式
常數(shù)的幾何意義
適用范圍
點斜式

是直線上一定點，是斜率
不垂直于軸
斜截式

是斜率，是直線在y軸上的截距
不垂直于軸
兩點式

，是直線上兩定點
不垂直于軸和軸
截距式

是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距
不垂直于軸和軸，且不過原點
一般式

、、為系數(shù)
任何位置的直線
直線方程的五種形式的比較如下表：
知識點詮釋：
在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多，應(yīng)用時若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式常化為斜截式與截距式．若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同．
知識點八：直線方程的綜合應(yīng)用
1．已知所求曲線是直線時，用待定系數(shù)法求．
2．根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．
對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．
（1）從斜截式考慮
已知直線,,
；

于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．
（2）從一般式考慮：


且或，記憶式（）
與重合，，，
于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為.
【題型歸納目錄】
題型一：點斜式方程、兩點式方程、斜截式方程、截距式
題型二： 直線的一般式方程
題型三：判斷動直線所過定點
題型四：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題
題型五：由一般式方程判斷平行、垂直
題型六：由兩條直線平行、垂直求直線方程
題型七：直線方程的綜合問題
【典型例題】
題型一：點斜式方程、兩點式方程、斜截式方程、截距式
1．（2022·江蘇·高二）直線過點（1，1）且在x軸和y軸上的截距的絕對值相等，則這樣的直線有且僅有（???????）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】B
【解析】
【分析】
分截距為0，截距不為0兩種情況討論，結(jié)合條件即得.
【詳解】
當(dāng)在x軸和y軸上的截距為0時，直線為，適合題意，
當(dāng)在x軸和y軸上的截距不為0時，可設(shè)直線方程為，
則，解得，即直線為，
綜上，這樣的直線有且僅有兩條.
故選：B
（多選題）2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l過點，且與軸和軸圍成一個內(nèi)角為的直角三角形，則滿足條件的直線l的方程可以是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由題意，求出直線的傾斜角可以是或或或，從而可得直線斜率，利用點斜式可寫出直線方程，最后檢驗即可得答案.
【詳解】
解：由題意，直線的傾斜角可以是或或或，
所以直線的斜率或或或，
所以直線的方程可以為或或 或，
由，整理得，此時直線過原點，無法與軸和軸圍成直角三角形.
故選：ABC.
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點，傾斜角為60°的直線的點斜式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由點斜式求得方程，化為一般式即可.
【詳解】
由題知，直線斜率為，
則直線點斜式方程為：
故答案為：
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l的斜率是1，在y軸上的截距是，則直線l的斜截式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)直線的斜截式方程公式代入即可.
【詳解】

由直線的斜截式方程得：
直線的斜截式方程為：，
故答案為：.
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點且與x軸垂直的直線l的方程為______．
【答案】（或）
【解析】
【分析】
利用與x軸垂直的直線斜率不存在，可直接寫出直線方程.
【詳解】
直線與軸垂直，直線的斜率不存在
又直線經(jīng)過點
直線的方程為：
故答案為：.
6．（2022·全國·高二期末）直線過點、，則直線的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
應(yīng)用兩點式求斜率，再由點斜式寫出直線方程.
【詳解】
由題設(shè)，，則直線的方程為，整理得.
故答案為：
7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線經(jīng)過點，斜率為，則直線的點斜式方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用點斜式方程可得出直線的方程.
【詳解】
由題意可知，直線的點斜式方程為.
故答案為：.
8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線l經(jīng)過點，，則直線l的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出直線斜率，點斜式求解.
【詳解】
因為直線經(jīng)過兩點，，
所以,
所以直線的方程為
故答案為：
9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點，斜率為的直線在x軸上的截距為______．
【答案】
【解析】
【分析】
寫出直線的點斜式方程，令，即可求得結(jié)果.
【詳解】
由題可知所求直線方程為：，
令，解得，即直線在x軸上的截距為.
故答案為：.
10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點、，則直線AB的兩點式方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)直線的兩點式方程代入即可.
【詳解】
直線的兩點式方程為：
將點、代入得：.
故答案為：.
11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點?的直線的兩點式方程為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)直線的兩點式方程，即可求解.
【詳解】
因為直線經(jīng)過點?，
由直線的兩點式方程可得，可得，即，
所以直線的兩點式方程為.
故答案為：.
12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
根據(jù)題意直線的斜率一定存在，設(shè)出直線的點斜式方程，求出兩坐標(biāo)軸的截距建立等式，解出斜率的值即可求出直線方程.
【詳解】
設(shè)直線l的點斜式方程為．
當(dāng)時；當(dāng)時．
由題意，或．
綜上，直線方程為或．
13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知的三個頂點分別為，，．
(1)求的三邊所在直線的方程；
(2)求的三條中線所在直線的方程．
【答案】(1)；；；
(2)邊上的中線；邊上的中線；邊上的中線
【解析】
【分析】
（1）利用直線的兩點式方程求解即可；
（2）先分別求出各邊的中點，再利用直線的兩點式方程求解即可；
(1)
由，，
知直線的方程為，整理得
直線的方程為整理得
直線的方程為，整理得
(2)
的中點坐標(biāo)為，又
所以邊上的中線所在的直線方程為，整理得
的中點坐標(biāo)為，又
所以邊上的中線所在的直線方程為，整理得
的中點坐標(biāo)為，又
所以邊上的中線所在的直線方程為，整理得
14．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，分別寫出直線的方程：
(1)過點，斜率為；
(2)過點，與x軸垂直；
(3)斜率為，在y軸上的截距為7；
(4)斜率為3，在x軸上的截距為；
(5)過點，；
(6)過點，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)直線的點斜式方程進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)直線與橫軸垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可
（3）根據(jù)直線的斜截式方程進(jìn)行求解即可；
（4）根據(jù)直線的斜截式方程，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；
（5）根據(jù)直線的兩點式方程進(jìn)行求解即可；
（6）根據(jù)直線的截距式方程進(jìn)行求解即可.
(1)
因為直線過點，斜率為，
所以直線方程為：；
(2)
因為直線過點，與x軸垂直，
所以直線方程為：；
(3)
因為直線的斜率為，在y軸上的截距為7，
所以直線方程為：；
(4)
因為直線的斜率為3，所以設(shè)直線的方程為：，
又因為直線在x軸上的截距為，所以，
所以直線的方程為：；
(5)
因為直線過點，，
所以直線的方程為：；
(6)
因為直線過點，，
所以直線方程為：.
題型二： 直線的一般式方程
1．（2022·浙江·海寧一中高二期中）直線的傾斜角為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)直線的一般式方程，求得斜率，即可求得直線的傾斜角.
【詳解】
直線的斜率
設(shè)其傾斜角為，故可得，又，故.
故選：C.
（多選題）2．（2022·江蘇·高二）已知直線l的方程是，則下列說法中正確的是（???????）
A．若，則直線l不過原點
B．若，則直線l必過第四象限
C．若直線l不過第四象限，則一定有
D．若且，則直線l不過第四象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)直線一般式的特點依次判斷即可.
【詳解】
對A，若，則都不等于0，當(dāng)時，，所以直線l不過原點，故A正確；
對B，若，則直線斜率，則直線一定過第二四象限，故B正確；
對C，若直線l不過第四象限，若有直線過第一二象限時，此時，則，故C錯誤；
對D，若且，則，所以直線的斜率大于0，在軸上截距小于0，所以直線經(jīng)過第一二三象限，不經(jīng)過第四象限，故D正確.
故選：ABD.
3．（2022·江蘇·高二）過定點且傾斜角是直線x－y＋1＝0的傾斜角的兩倍的直線一般方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出直線x－y＋1＝0的傾斜角，從而得到所求直線的傾斜角，得到直線方程.
【詳解】
直線x－y＋1＝0的傾斜角為45°，故過定點的所求直線的傾斜角為90°，故所求直線方程為：.
故答案為：
4．（2022·全國·高二單元測試）直線方程為，若直線不過第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由直線在y軸上截距為知，只需直線斜率不小于0即可.
【詳解】
不過第二象限,
，解得，
故答案為：
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若，，則直線不通過第______象限．
【答案】三
【解析】
【分析】
將直線方程化為，由斜率以及縱截距的正負(fù)判斷即可.
【詳解】
直線可化為，即
因為，，所以直線的斜率為負(fù)，縱截距為正
即直線通過第一、二、四象限，不通過第三象限.
故答案為：三
6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在直線方程中，當(dāng)時，，求此直線的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
設(shè)出直線方程，分與兩種情況，得到方程組，求出，得到直線方程.
【詳解】
方程化為．
當(dāng)時，為嚴(yán)格增函數(shù)，由
解得：，此時直線方程為；
當(dāng)時，為嚴(yán)格減函數(shù)，由
解得：，此時直線方程為．
所以，直線方程為或．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l ：，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求此時直線l的方程.
【答案】或
【解析】
【分析】
分別令和求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，利用截距相等解方程求出，從而可得直線的方程.
【詳解】
因為直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依題意可得，即，
解得或，
所以直線的方程為或.
8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）說明方程表示的圖形是什么，并畫出該方程表示的圖形．
【答案】表示的是一條直線，其圖象見解析
【解析】
【分析】
整理得到一次函數(shù)，是一條直線，畫出圖象.
【詳解】
，整理得：，表示的是一條直線，其圖象如下：

9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線（其中，不全為0）．
(1)寫出直線的一個法向量的坐標(biāo)；
(2)若直線經(jīng)過原點，則，，滿足的條件是什么？
(3)若直線與軸平行或重合，則，，滿足的條件是什么？
(4)若直線與軸和軸都相交且不經(jīng)過原點，則，，滿足的條件是什么？
【答案】(1)；
(2)，不全為零；
(3)；
(4)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)直線的方向向量，即可容易求得法向量；
（2）根據(jù)點不滿足直線方程，即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)直線斜率為零，即可求得結(jié)果；
（4）根據(jù)點不滿足直線方程，以及直線斜率存在且不為零，即可求得結(jié)果.
(1)
因為直線的一個方向向量為，
故該直線的一個法向量可以為，也可是與其平行且非零的其它向量.
(2)
若直線經(jīng)過原點，即滿足直線方程，
故只需，不全為零即可.
(3)
若直線與軸平行或重合，則其斜率為零，
故只需.
(4)
若直線與軸和軸都相交且不經(jīng)過原點，
故只需.
10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線的方程中的A，B，C滿足什么條件時直線分別具有如下性質(zhì)？
(1)過坐標(biāo)原點；
(2)與兩條坐標(biāo)軸都相交；
(3)與x軸無交點；
(4)與y軸無交點；
(5)與x軸垂直；
(6)與y軸垂直．
【答案】(1)C=0，
(2)，
(3)A=0，
(4)B=0，
(5)B=0，
(6)A=0.
【解析】
【分析】
首先要理解的含義，就是A和B不能同時為0；
（1）直線過原點也是過定點，只要把原點坐標(biāo)代入即可；
（2）與兩個都坐標(biāo)軸相交，就是既不平行于x軸，也不平行與y軸；
（3）與x軸無交點，就是平行于x軸；
（4）與y軸無交點，就是平行與y軸；
（5）與x軸垂直，就是平行與y軸；
（6）與y軸垂直，就是平行與x軸.
(1)
將（0，0）代入直線方程，得C=0；
(2)
與兩個都坐標(biāo)軸相交，就是既不平行于x軸，也不平行與y軸，直線的斜率，也不能不存在，即即；
(3)
依題意，與x軸無交點，就是平行于x軸，k=0，即A=0；
(4)
依題意，k不存在，即B=0；
(5)
依題意與y軸無交點，就是平行與y軸，k不存在，即B=0；
(6)
依題意，與y軸垂直，就是平行與x軸，k=0，即A=0.
11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）函數(shù)的圖像由兩條射線組成，求這兩條射線所在直線的方程．
【答案】和.
【解析】
【分析】
根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因為，
所以這兩條射線所在直線的方程為：和，
化成一般式為：和.
12．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知兩條直線和都過點，求過兩點，的直線的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
把點代入，可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】
因為兩條直線和都過點，
所以；
所以，均在直線上，
又兩點確定一條直線，所以過兩點，的直線的方程為.
13．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知菱形的兩條對角線長分別為8和6，以菱形的中心為坐標(biāo)原點，較長對角線所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，求出菱形各邊所在直線的方程．
【答案】；；；.
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件求出菱形各頂點的坐標(biāo)，再利用直線的截距式方程直接求解作答.
【詳解】
依題意，如圖，菱形的頂點，

直線的方程為，即；
直線的方程為，即；
直線的方程為，即；
直線的方程為，即，
所以菱形各邊所在直線的方程分別是：；；；.
14．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）設(shè)k為實數(shù)，若直線l的方程為，根據(jù)下列條件分別確定k的值：
(1)直線l的斜率為；
(2)直線l在x軸、y軸上截距之和等于1．
【答案】(1)5；
(2)2.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件求出直線l的斜率，再列式計算作答.
(2)求出直線l在x軸、y軸上截距，再列式計算作答.
(1)
因直線l的方程為，則直線l的斜率為，
于是得，解得，
所以k的值為5.
(2)
因直線l的方程為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
于是得，解得，
所以k的值為2.

題型三：判斷動直線所過定點
1．（2022·北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）不論為何實數(shù)，直線恒過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
將直線方程化為，令可得，，從而可得定點.
【詳解】
直線，即，
令，得，，可得它恒過一個定點.
故答案為：.
2．（2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高二期末）已知，，若直線上存在點P，滿足，則l的傾斜角的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，求得直線恒過的定點，數(shù)形結(jié)合只需求得線段與直線有交點時的斜率，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系即可求得結(jié)果.
【詳解】
對直線，變形為，故其恒過定點，
若直線存在點P，滿足，只需直線與線段有交點即可.

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過點時，其斜率取得最大值，此時，對應(yīng)傾斜角；
當(dāng)直線過點時，其斜率取得最小值，此時，對應(yīng)傾斜角為.
根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，要滿足題意，直線的傾斜角的范圍為：.
故選：A.
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過定點的直線與過定點的直線交于點，則的最大值為(???????)
A．1 B．3 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意可得，且兩直線始終垂直，可得，由基本不等式可得的最大值．
【詳解】
由題意可知，動直線經(jīng)過定點，
動直線即，經(jīng)過定點，
∵過定點的直線與過定點的直線始終垂直，又是兩條直線的交點，
∴，∴．
故 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“”)．
故選：C．
（多選題）4．（2022·江蘇·高二）下列說法正確的是（???????）
A．直線必過定點
B．直線在y軸上的截距為2
C．直線的傾斜角為60°
D．過點且平行于直線的直線方程為
【答案】AC
【解析】
【分析】
將直線方程化為，即可求出直線過定點坐標(biāo)，從而判斷A，令求出，即可判斷B，求出直線的斜率即可得到傾斜角，從而判斷C，根據(jù)兩直線平行斜率相等求出直線方程即可判斷D；
【詳解】
解：對于A，，即，
令，即，所以直線必過定點，故A正確；
對于B，對于直線，令得，所以直線在軸上的截距為，故B錯誤；
對于C，直線，即，所以斜率，其傾斜角為，故C正確；
對于D，過點且平行于直線的直線方程為：，即，故D錯誤，
故選：AC．
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，直線過定點Q，則點Q的坐標(biāo)是______；若點，當(dāng)直線PQ與直線l的夾角為時，m的值為______．
【答案】???? ???? 或
【解析】
【分析】
直線l化為點斜式，看出所過定點坐標(biāo)，先求出直線PQ的傾斜角為45°，從而確定以直線l的傾斜角為30°或60°，求出m的值.
【詳解】
變形為，故過定點，
直線PQ：，即，直線PQ的斜率為1，傾斜角為45°，
所以直線l的傾斜角為30°或60°，所以或.
故答案為：，或
6．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（文））已知直線，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)k的值為___________；若直線l不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是___________.
【答案】???? 或；???? .
【解析】
【分析】
分別令和求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析過定點，然后根據(jù)條件結(jié)合圖示判斷出直線斜率滿足的不等式，由此求解出的取值范圍.
【詳解】
因為直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依題意可得，即，
解得或；
直線的方程可化為，所以，
所以，所以直線過定點，
所以，由直線可得：，
若不經(jīng)過第三象限，則，
故答案為：或；.
7．（2022·浙江溫州·二模）直線過定點_________，傾斜角的最小值是_________.
【答案】???? ；???? ##.
【解析】
【分析】
根據(jù)直線含參數(shù)且恒過定點，讓參數(shù)前面的系數(shù)為零即可，先求出斜率的取值范圍，進(jìn)而可求出直線的傾斜角的最小值.
【詳解】
直線可以化為恒定點，則.
直線可化為.
.
則傾斜角的最小值是.???????
故答案為：；.
8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)直線過定點A，則過點A且與直線垂直的直線方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得直線恒過的定點，由兩直線垂直其方程間的關(guān)系設(shè)過點A的直線方程為，代入可求得答案.
【詳解】
解：因為，所以，
所以直線恒過定點，即，
因為過點A且與直線垂直，
所以設(shè)過點A的直線方程為，
所以，即，
所以所求直線方程為，
故答案為：.
9．（2022·全國·高二單元測試）對于任意m、，直線必過定點______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)方程恒成立可建立方程組，求解即可得出所過定點.
【詳解】
由原方程可得對于任意m、成立，
由，解得，
故直線必過定點.
故答案為：
10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)直線過定點，則點的坐標(biāo)為________.
【答案】
【解析】
【分析】
化簡直線方程為，聯(lián)立方程組，即可求解.
【詳解】
由直線方程，可化簡為，
又由，解得，
即直線恒經(jīng)過定點.
故答案為：.
11．（2022·安徽·高二開學(xué)考試）直線經(jīng)過的定點坐標(biāo)是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
將直線方程化簡為，進(jìn)而令即可解得答案.
【詳解】
把直線l的方程改寫成：，
令，解得：，所以直線l總過定點.
故答案為：（1,1）.
12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線.求證：
(1)無論取何值，直線l都經(jīng)過一個確定的點M；
(2)無論取何值，對于直線上任意一點，向量均與向量垂直.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）將直線方程重新整理一番，把含參數(shù)的項結(jié)合在易求，其他項結(jié)合在一起，利用恒等式的原理即可判斷定點坐標(biāo)（2）要證，只需證即可
(1)
：，

，故
所以直線恒過定點
(2)
設(shè)，則
所以



因為
所以
所以
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，當(dāng)為何值時，原點到直線的距離最大.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出直線過定點，當(dāng)直線與垂直時，原點到直線的距離最大，即可求出；
【詳解】
解：由，得，
聯(lián)立，解得，則直線過定點；
由，得，
當(dāng)直線與垂直時，原點到直線的距離最大，最大值為，
因為，所以，即當(dāng)時原點到直線的距離最大.

題型四：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題
1．（2022·江蘇·高二）過點作直線l，與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為4，則直線l有（???????）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)直線的方程為，由直線過，得，再由三角形面積得，聯(lián)立求出方程組的解即可得．
【詳解】
由題意設(shè)直線的方程為，直線過，則，
直線與坐標(biāo)軸的交點為,
又，，
，，
時，，由， 得或，
時，，由， 得或，
所以直線共有4條．
故選：D．
2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知過定點作直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，這樣的直線有（???????）條
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)直線的方程為，求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，由已知條件可得出關(guān)于的方程，判斷出方程根的個數(shù)，即可得解.
【詳解】
由題意可知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，即.
在直線的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直線交軸于點，交軸于點.
由題意可得，即.
①當(dāng)時，可得，即，；
②當(dāng)時，可得，即，.
綜上所述，符合條件的直線有條.
故選：B.
【點睛】
本題考查直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的計算，考查計算能力，屬于中等題.
3．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三期末）已知直線l的斜率為，且和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
設(shè)直線方程為，根據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于的方程組，解方程組后可得所求的直線方程.
【詳解】
設(shè)直線的方程為，則，且，
解得或者，
∴直線l的方程為或，即或.
故答案為：或.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線．若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為為坐標(biāo)原點），求的最小值并求此時直線的方程．
【答案】，直線的方程為．
【解析】
【分析】
求出、的坐標(biāo)，代入三角形的面積公式化簡，再使用基本不等式求出面積的最小值，注意等號成立條件要檢驗，求出面積最小時的值，從而得到直線方程．
【詳解】
解：直線：，當(dāng)時直線：，顯然不滿足題意，所以，令得，令得，即，．
依題意得，解得．
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以，此時直線的方程為．
5．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）已知直線.
(1)若直線不能過第三象限，求的取值范圍；
(2)若直線交軸負(fù)半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標(biāo)原點，設(shè)的面積為，求的最小值及此時直線的方程．
【答案】(1)
(2)的最小值為，此時直線的方程為
【解析】
【分析】
（1）分、兩種情況討論，在時直接驗證即可；在時，求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍；
（2）求出點、的坐標(biāo)，求得，利用基本不等式結(jié)合三角形的面積公式可求得的最最小值，利用等號成立的條件可求得的值，即可得出直線的方程.
(1)
解：由，
當(dāng)時，直線的方程為，此時直線不過第三象限，合乎題意；
當(dāng)時，在直線的方程中，令，可得，
令，可得，
若直線不過第三象限，則，解得.
綜上所述，.
(2)
解：由（1）可知，，
又在軸負(fù)半軸，在軸正半軸，所以，，可得.
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，的最小值為，此時直線的方程.
6．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點P(4, 1)，且與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點斜式方程.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為，進(jìn)而得直線l與兩坐標(biāo)軸交于點與，再結(jié)合面積解方程即可得，最后書寫方程即可.
【詳解】
解：根據(jù)題意知直線l不垂直于x軸，其斜率存在且為負(fù)數(shù)，
故可設(shè)直線l的方程為.
在方程中，令，得；令，得.
故直線l與兩坐標(biāo)軸交于點與.　
因為直線l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，
所以，即：，解得，
故直線l的點斜式方程為
7．（2022·湖北省武漢市青山區(qū)教育局高二期末）已知直線方程為．
(1)若直線的傾斜角為，求的值；
(2)若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最小值及此時直線的方程．
【答案】(1)；
(2)面積的最小值為，此時直線的方程為.
【解析】
【分析】
（1）由直線的斜率和傾斜角的關(guān)系可求得的值；
（2）求出點、的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，求出的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得面積的最小值，利用等號成立的條件可求得的值，即可得出直線的方程.
(1)
解：由題意可得.
(2)
解：在直線的方程中，令可得，即點，
令可得，即點，
由已知可得，解得，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時直線的方程為，即.
8．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心高一期末）已知一條動直線，
(1)求證：直線恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)；
(2)若直線與、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標(biāo)原點，是否存在直線同時滿足下列條件：①的周長為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析，定點；
(2)存在，且直線方程為.
【解析】
【分析】
（1）將直線方程變形為，解方程組，可得定點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點A的坐標(biāo)為，根據(jù)求出的值，可得出點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程，可求出該直線與軸的交點的坐標(biāo)，即可求得的周長，即可得解.
(1)
證明：將直線方程變形為，
由，可得，
因此，直線恒過定點.
(2)
解：設(shè)點A的坐標(biāo)為，若，則，
則、，直線的斜率為，
故直線的方程為，即，
此時直線與軸的交點為，則，，，
此時的周長為.
所以，存在直線滿足題意.
9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點作直線?分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點.
(1)當(dāng)△AOB面積最小時，求直線?的方程；
(2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時，求直線?的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
由題意設(shè)，，其中，為正數(shù)，可設(shè)直線的截距式為，代點可得，
（1）由基本不等式可得，由等號成立的條件可得和的值，由此得到直線方程，
（2），由基本不等式等號成立的條件可得直線的方程．
【詳解】
由題意設(shè)，，其中，為正數(shù)，可設(shè)直線的截距式為，直線過點，，
（1）由基本不等式可得，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，上式取等號，
面積，則當(dāng)，時，面積最小，此時直線的方程為，即，
（2）由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時取等號，
所以當(dāng)，時，的值最小，此時直線的方程為，即．
【點睛】
本題考查直線的截距式方程，涉及不等式求最值，屬于中檔題．
10．（2022·全國·高二單元測試）直線過點，且與兩軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程.
【答案】或
【解析】
【分析】
由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線.求出直線與軸、軸的交點，在根據(jù)面積公式計算得，即，再分類討論計算可得；
【詳解】
解：由題意知，直線的斜率存在且不為0.設(shè)直線.
設(shè)此直線與軸、軸的交點分別為，則點的坐標(biāo)分別為
因此面積為，
即.
若，得，無解；
若，得.
解方程，得或.
所以，直線，即；
或直線，即.
【點睛】
本題考查點斜式求直線方程，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

題型五：由一般式方程判斷平行、垂直
1．（2022·遼寧大連·高二期末）直線l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置關(guān)系是（???????）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合
【答案】B
【解析】
【分析】
先將直線方程化為斜截式，比較斜率和在軸的截距，得到答案.
【詳解】
由題，，則兩直線的斜率相等，在在軸的截距，
故兩條件直線的位置關(guān)系為平行.
故選：B
【點睛】
本題考查了由兩直線方程的一般式判斷兩直線位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2022·上?！じ裰轮袑W(xué)高二階段練習(xí)）直線與直線垂直，則的值為（???????）
A． B．1 C． D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直線的一般式方程判定直線垂直的條件進(jìn)行求解.
【詳解】
由題意，得，解得.
故選：B.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由兩直線垂直得，進(jìn)而根據(jù)垂足是兩條直線的交點代入計算即可得答案.
【詳解】
由兩直線垂直得，解得，
所以原直線直線可寫為，
又因為垂足為同時滿足兩直線方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故選:D
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“”是“直線與直線相互垂直”的（???????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
直線與直線相互垂直得到，再利用充分必要條件的定義判斷得解.
【詳解】
因為直線與直線相互垂直，
所以，
所以.
所以時，直線與直線相互垂直，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分條件；
當(dāng)直線與直線相互垂直時，不一定成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的非必要條件.
所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分非必要條件.
故選：A
【點睛】
方法點睛：充分必要條件的判定，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法. 要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.
5．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若關(guān)于、的二元一次方程組無解，則實數(shù)________
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)方程組無解，得到直線與直線平行，根據(jù)兩直線平行的充要條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】
因為關(guān)于、的二元一次方程組無解，
所以直線與直線平行，
所以，解得：.
故答案為：
【點睛】
本題主要考查由方程組無解求參數(shù)，熟記直線與直線平行的判定條件，靈活運用轉(zhuǎn)化與化歸的思想即可，屬于?？碱}型.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l1：kx－y＋4＝0與直線l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分別過定點A，B，又l1，l2相交于點M，則|MA|·|MB|的最大值為________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可知，直線l1：kx－y＋4＝0經(jīng)過定點A(0，4)，直線l2：x＋ky－3＝0經(jīng)過定點B(3，0)，且兩直線垂直，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25，然后利用基本不等式可求出|MA|·|MB|的最大值
【詳解】
由題意可知，直線l1：kx－y＋4＝0經(jīng)過定點A(0，4)，直線l2：x＋ky－3＝0經(jīng)過定點B(3，0)，
注意到直線l1：kx－y＋4＝0和直線l2：x＋ky－3＝0始終垂直，點M又是兩條直線的交點，
則有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.
故|MA|·|MB|≤(當(dāng)且僅當(dāng)|MA|＝|MB|＝時取“＝”).
故答案為：
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：此題考查兩直線的位置關(guān)系，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由直線方程得到兩直線垂直，從而有|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25，再利用基本不等式可求得答案，屬于中檔題
7．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）判斷下列各組直線是否平行，并說明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)平行，理由見解析；
(2)平行，理由見解析；
(3)不平行，理由見解析；
(4)平行，理由見解析.
【解析】
【分析】
根據(jù)直線的斜率、平行的判定及與數(shù)軸的位置關(guān)系，結(jié)合各直線與數(shù)軸的截距判斷兩直線是否平行即可.
(1)
由題設(shè)，、的斜率為，又，，即不重合，
所以、平行.
(2)
由題設(shè)，中、中，
所以，又，，即不重合，
所以、平行.
(3)
由題設(shè)，、的斜率，且，，即兩線重合，
所以、重合.
(4)
由題設(shè)，、均垂直于x軸，又，，故不重合，
所以、平行.
8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）方程在a取不同實數(shù)時，對應(yīng)不同的直線，這些不同的直線的位置關(guān)系如何？在平面直角坐標(biāo)系中，分別作出時方程表示的直線．
【答案】這些不同的直線的位置關(guān)系為平行，圖像見解析.
【解析】
【分析】
依據(jù)兩直線平行判定充要條件即可解決.
【詳解】
a取不同實數(shù)時，方程對應(yīng)不同的直線，
這些不同的直線斜率相同，均為，y軸截距不同，為.
故這些不同的直線的位置關(guān)系為平行.
時方程表示的直線如下圖所示：

9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線，直線，且，求m的值．
【答案】6或-1
【解析】
【分析】
根據(jù)直線垂直的充要條件，列出等式，求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因為直線與直線垂直，
所以，
即，解得或.
10．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)與垂直；
(2)與垂直；
(3)與不垂直；
(4)與不垂直.
【解析】
【分析】
（1）計算兩條直線的斜率乘積是否等于即可；
（2）計算兩條直線的斜率乘積是否等于即可；
（3）計算兩條直線的斜率乘積是否等于即可；
（4）根據(jù)方程可得與平行.
(1)
因為，，
所以直線的斜率為，直線的斜率為，
因為，所以與垂直，
(2)
因為，，
所以直線的斜率為，直線的斜率為，
因為，所以與垂直，
(3)
因為，，
所以直線的斜率為，直線的斜率為，
因為，所以與不垂直，
(4)
因為，，
所以與平行，不垂直.
11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）判斷下列各對直線是否垂直：
(1)；
(2)．
【答案】(1)兩直線互相垂直.
(2)兩直線不互相垂直.
【解析】
【分析】
以兩直線垂直充要條件去判斷兩直線是否垂直即可解決.
(1)

，故兩直線互相垂直.
(2)

，故兩直線不互相垂直.

題型六：由兩條直線平行、垂直求直線方程
1．（2022·吉林白山·高二期末）與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由直線平行及直線所過的點，應(yīng)用點斜式寫出直線方程即可.
【詳解】
與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為，整理得．
故選：C
2．（2022·貴州·遵義四中高二期末）過點且垂直于直線的直線方程是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)所求直線垂直于直線，設(shè)其方程為，然后將點代入求解.
【詳解】
因為所求直線垂直于直線，
所以設(shè)其方程為，
又因為直線過點，
所以，
解得
所以直線方程為：，
故選：A.
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點且與直線平行的直線方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)該直線為，代入求出得出所求直線方程.
【詳解】
設(shè)該直線為，因為該直線過點，所以，解得
即所求直線為
故答案為：
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線和直線重合，則實數(shù)的值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)兩直線重合可直接構(gòu)造方程組求解.
【詳解】
直線可寫為：，
兩條直線重合，，解得：.
故答案為：.
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)直線過定點A，則過點A且與直線垂直的直線方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得直線恒過的定點，由兩直線垂直其方程間的關(guān)系設(shè)過點A的直線方程為，代入可求得答案.
【詳解】
解：因為，所以，
所以直線恒過定點，即，
因為過點A且與直線垂直，
所以設(shè)過點A的直線方程為，
所以，即，
所以所求直線方程為，
故答案為：.
6．（2022·全國·高二單元測試）原點在直線l上的射影為，則直線l的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)垂直求出斜率，再根據(jù)點斜式可求出結(jié)果.
【詳解】
原點與連線的斜率為：，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為：，即.
故答案為：
7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）將直線繞其與軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到直線
l，則直線l的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出點A，再由直線垂直得出斜率，點斜式即可求解.
【詳解】
直線與軸的交點，
由直線l與直線垂直，可得，
所以直線l的方程為，即.
故答案為：
8．（2022·江蘇·高二）已知直線與直線平行，直線與兩坐標(biāo)軸所構(gòu)成的三角形的面積為12，求直線的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)直線的方程為，求出截距后可求面積，從而可求直線的方程.
【詳解】
設(shè)直線的方程為.
令，得；令，得.
由題設(shè)得.解得，因此直線的方程為.
9．（2022·陜西·銅川陽光中學(xué)高一期末）已知直線經(jīng)過點．
(1)若點在直線上，求直線的方程；
(2)若直線與直線平行，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用兩點式求得直線的方程.
（2）利用點斜式求得直線的方程.
(1)
∵直線經(jīng)過點，且點在直線上，
∴由兩點式方程得，即，
∴直線的方程為．
(2)
若直線與直線平行，則直線的斜率為，
∵直線經(jīng)過點，
∴直線的方程為，即．
10．（2022·陜西西安·高一期末）已知直線，點.
(1)求過點且與平行的直線的方程；
(2)求過點且與垂直的直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由于直線與直線平行，所以直線的斜率與直線的斜率相等，所以利用點斜式可求出直線方程，
（2）由于直線與直線垂直，所以直線的斜率與直線的斜率乘積等于，從而可求出直線的斜率，再利用點斜式可求出直線方程，
(1)
已知直線的斜率為，
設(shè)直線的斜率為，
∵與平行，
∴，
∴直線的方程為，
即直線的方程為，
(2)
已知直線的斜率為，
設(shè)直線的斜率為，
∵與垂直，
∴，
∴，
∴直線的方程為，
即直線的方程為.
11．（2022·江蘇揚州·高二開學(xué)考試）已知直線，直線過點.
(1)若，求直線的方程；
(2)若，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依據(jù)兩直線平行充要條件即可解決；
（2）依據(jù)兩直線垂直充要條件即可解決.
(1)
因為，且，所以直線的斜率為，
又直線過點，
所以直線的方程為，即.
(2)
因為，且，
所以直線的斜率為，又直線過點，
所以直線的方程為，即.
12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）分別求經(jīng)過點且與直線平行、垂直的直線的一般式方程．
【答案】平行的直線方程為，垂直的直線方程為；
【解析】
【分析】
根據(jù)平行直線系方程與垂直直線系方程設(shè)出直線方程，再代入點，即可求出參數(shù)的值，從而得解；
【詳解】
解：依題意設(shè)與直線平行的直線方程為，又直線過點，所以，解得，所以；
設(shè)與直線垂直的直線方程為，又直線過點，所以，解得，所以；
故過點且與直線平行的直線方程為，垂直的直線方程為；
13．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知點不在直線上，直線過點，且它的斜率與直線的斜率相等，證明：直線的方程可以寫成．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
設(shè)點是直線上除點的任意一點，化簡即得證.
【詳解】
證明：由題得直線的斜率為.
設(shè)點是直線上除點的任意一點，所以，
化簡得.
顯然點也滿足此方程，
所以直線的方程可以寫成.
故得證.
14．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）分別求滿足下列條件的直線的方程：
(1)過點，且與直線平行；
(2)過點，且與直線垂直；
(3)過點，且與x軸垂直；
(4)過點，且平行于過兩點和的直線．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）由題意設(shè)直線方程為，然后將點的坐標(biāo)代入可求出，從而可得直線方程，
（2）由題意設(shè)直線方程為，然后將點的坐標(biāo)代入可求出，從而可得直線方程，
（3）由于直線垂直于x軸，所以斜率不存在，直接寫直線方程，
（4）由題意求出直線的斜率，再由點斜式可求得直線方程
(1)
由題意設(shè)直線方程為，
因為直線過點，
所以，得，
所以所求直線方程為
(2)
由題意設(shè)直線方程為，
因為直線過點，
所以，得，
所以所求直線方程為
(3)
因為直線過點，且與x軸垂直，
所以所求直線方程為
(4)
由題意可知所求直線的斜率為，
所以直線方程為，即

題型七：直線方程的綜合問題
1．（2022·江蘇·高二）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（???????）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意結(jié)合直線位置關(guān)系的判斷可得兩直線互相垂直，由直線過定點可得定點與定點，進(jìn)而可得，再利用基本不等式及三角形面積公式即得．
【詳解】
由題意直線過定點，
直線可變?yōu)椋栽撝本€過定點，
所以，
又，
所以直線與直線互相垂直，
所以，
所以即，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,
所以，，即面積的最大值是.
故選：D.
2．（2022·湖南·益陽平高學(xué)校高二期中）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值（???????）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)動直線方程求出定點的坐標(biāo)，并判斷兩動直線互相垂直，進(jìn)而可得 ，最后由基本不等式即可求解.
【詳解】
解：由題意，動直線過定點，
直線可化為，令，可得，
又，所以兩動直線互相垂直，且交點為，
所以，
因為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故選：D.
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；
(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.
【答案】(1)
(2)選①：；選②：.
【解析】
【分析】
（1）由題意，求出直線l的傾斜角為，進(jìn)而可得直線l的斜率，最后利用點斜式即可寫出直線l的方程；
（2）設(shè)，，直線的方程為，把點代入可得，若選①：，由基本不等式等號成立的條件，即可求得直線l的方程；若選②：，由基本不等式等號成立的條件，即可求得直線l的方程．
(1)
解：因為過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A、B，且是等腰直角三角形，
所以直線l的傾斜角為，
所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即；
(2)
解：設(shè)，，直線l的方程為，代入點可得，
若選①：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
此時直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即；
若選②：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，即面積最小為4，
此時直線l的斜率，
所以直線l的方程為，即.
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知的頂點，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線的方程為.分別求，邊所在直線的方程.
【答案】邊所在直線方程為，邊所在直線方程為.
【解析】
【分析】
由邊上的高所在直線的方程可求得直線的斜率，又直線AC過點，從而根據(jù)點斜式即可求解邊所在直線方程；由是中線所在直線方程，設(shè)中點，則，根據(jù)點B在直線上，可得B點坐標(biāo)，從而即可求解邊所在直線的方程.
【詳解】
解：因為邊上的高所在直線的方程為，所以邊上的高所在直線的斜率為，
所以，又直線AC過點，
所以邊所在直線方程為，即；
因為是中線所在直線方程，
所以設(shè)中點，則，
所以，
因為點B在直線上，
所以，解得，
所以，
因為所在的直線的斜率為，
所以邊所在直線方程為，即.
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若兩條相交直線，的傾斜角分別為，，斜率均存在，分別為，，且，若，滿足______（從①；②兩個條件中，任選一個補(bǔ)充在上面問題中并作答），求：
(1)，滿足的關(guān)系式；
(2)若，交點坐標(biāo)為，同時過，過，在（1）的條件下，求出，滿足的關(guān)系；
(3)在（2）的條件下，若直線上的一點向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，仍在該直線上，求實數(shù)，的值．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）依題意，，若選①利用誘導(dǎo)公式計算可得；若選②根據(jù)兩直線垂直的充要條件得解；
（2）首先表示出直線、，再將點代入方程，再結(jié)合（1）的結(jié)論計算可得；
（3）按照函數(shù)的平移變換規(guī)則將直線進(jìn)行平移變換，即可求出，從而求出直線的方程，即可求出，再根據(jù)（1）求出直線的方程，即可求出的值；
(1)
解：依題意，，且，均不為或，
若選①，則，則，即；
若選②，則
(2)
解：依題意直線：，直線：，
又過，所以且，即且，又過，所以且，即且；
若選①，則，所以，即且、；
若選②，則，所以，即且、；
(3)
解：直線：，將直線向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度得到，
即，所以，解得，此時直線：，所以，解得；
若選①，則，此時直線：，所以，解得；
若選②，則，此時直線：，所以，解得；
6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)為，，.

(1)求平行四邊形ABCD的頂點D的坐標(biāo).
(2)求邊AB的高所在直線方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合中點坐標(biāo)公式求得正確答案.
（2）結(jié)合點斜式求得求邊AB的高所在直線方程.
(1)
的頂點，，，則對角線AC中點為.
于是得對角線BD的中點是，設(shè)，因此有，，
解得：.
所以平行四邊形ABCD的頂點.
(2)
依題意，直線AB的斜率，
則邊AB上的高所在直線的斜率為，于是有：，
即.
所以邊AB上的高所在直線的方程為.
7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知菱形ABCD的對角線AC，BD分別在x軸和y軸上，且，，求菱形ABCD四邊所在直線的方程．
【答案】答案見解析.
【解析】
【分析】
作出圖象，根據(jù)菱形性質(zhì)可得頂點坐標(biāo)，由點斜式求出直線方程即可.
【詳解】
如圖，

由菱形在坐標(biāo)系中的位置及性質(zhì)得,
, ,
，,,
即菱形ABCD 四邊所在直線的方程分別為,

8．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線l:＋＝1.
(1)如果直線l的斜率為2，求實數(shù)m的值；
(2)如果直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，求與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最大時直線l的方程．
【答案】(1)m＝4；
(2)x＋y－1＝0.
【解析】
【分析】
（1）解方程＝2即得解；
（2）解不等式組得到的取值范圍，再求出S＝－(m－1)2＋，利用二次函數(shù)求解.
(1)
解：直線l的方程可化為y＝x＋m，所以＝2，解得m＝4.
(2)
解：直線l與兩坐標(biāo)軸的交點為(2－m，0)， (0，m)．
據(jù)題意知解得0

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