【暑假提升】(人教A版2019)數(shù)學高一（升高二）暑假-第12講《直線與圓、圓與圓的位置關系》講學案-學案下載-教習網(wǎng)

?第12講直線與圓、圓與圓的位置關系
【知識點梳理】
知識點一：直線與圓的位置關系
1.直線與圓的位置關系：
(1)直線與圓相交，有兩個公共點；
(2)直線與圓相切，只有一個公共點；
(3)直線與圓相離，沒有公共點.
2.直線與圓的位置關系的判定：
(1)代數(shù)法：
判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解.如果有解，直線與圓C有公共點.
有兩組實數(shù)解時，直線與圓C相交；
有一組實數(shù)解時，直線與圓C相切；
無實數(shù)解時，直線與圓C相離.
(2)幾何法：
由圓C的圓心到直線的距離與圓的半徑的關系判斷：
當時，直線與圓C相交；
當時，直線與圓C相切；
當時，直線與圓C相離.
知識點詮釋：
(1)當直線和圓相切時，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點與圓心連線構成的直角三角形，由勾股定理解得.
(2)當直線和圓相交時，有關弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時還用到垂徑定理.
(3)當直線和圓相離時，常討論圓上的點到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結合來解決.
知識點二：圓的切線方程的求法
1．點在圓上，如圖．

法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率
的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
2．點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
知識點詮釋：
因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．
常見圓的切線方程：
（1）過圓上一點的切線方程是；
（2）過圓上一點的切線方程是.
知識點三：求直線被圓截得的弦長的方法
1．應用圓中直角三角形：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．
2．利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．
知識點四：圓與圓的位置關系
1.圓與圓的位置關系：
(1)圓與圓相交，有兩個公共點；
(2)圓與圓相切(內切或外切)，有一個公共點；
(3)圓與圓相離(內含或外離)，沒有公共點.

2.圓與圓的位置關系的判定：
(1)代數(shù)法：
判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解.
有兩組不同的實數(shù)解時，兩圓相交；
有一組實數(shù)解時，兩圓相切；
方程組無解時，兩圓相離.
(2)幾何法：
設的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.
當時，兩圓相交；
當時，兩圓外切；
當時，兩圓外離；
當時，兩圓內切；
當時，兩圓內含.
知識點詮釋：
判定圓與圓的位置關系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關系來確定，這種方法運算量小.也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時，一是運算量大，二是方程組僅有一解或無解時，兩圓的位置關系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關系來確定.因此，在處理圓與圓的位置關系時，一般不用代數(shù)法.
3.兩圓公共弦長的求法有兩種：
方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．
方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．
4．兩圓公切線的條數(shù)
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．
（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內公切線，共4條；
（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內公切線，共3條；
（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；
（4）兩圓內切時，只有1條外公切線；
（5）兩圓內含時，無公切線．
【題型歸納目錄】
題型一：不含參數(shù)（含參數(shù)）的直線與圓的位置關系
題型二：由直線與圓的位置關系求參數(shù)、求直線與圓的交點坐標
題型三：切線與切線長問題
題型四：弦長問題
題型五：判斷圓與圓的位置關系
題型六：由圓的位置關系確定參數(shù)
題型七：公共弦與切點弦問題
題型八：公切線問題
題型九：圓中范圍與最值問題

【典型例題】
題型一：不含參數(shù)（含參數(shù)）的直線與圓的位置關系
1．（2022·陜西·長安一中高二期末（文））圓與直線的位置關系為（???????）
A．相切 B．相離 C．相交 D．無法確定

2．（2022·江蘇·高二）直線與圓的位置關系是（???????）
A．相切 B．相離 C．相交 D．不確定

3．（2022·上?！ね瑵髮W第一附屬中學高二階段練習）不論k為何值，直線kx－y＋1－3k＝0都與圓相交，則該圓的方程可以是（???????）
A． B．
C． D．

（多選題）4．（2022·江蘇·高二）已知直線：與圓：，則（???????）
A．直線與圓相離 B．直線與圓相交
C．圓上到直線的距離為1的點共有2個 D．圓上到直線的距離為1的點共有3個

（多選題）5．（2022·江蘇·高二）已知直線與圓，則下列結論正確的是（???????）
A．存在，使得的傾斜角為
B．存在，使得的傾斜角為
C．存在，使直線與圓相離
D．對任意的，直線與圓相交，且時相交弦最短

（多選題）6．（2022·廣東·汕頭市潮南區(qū)陳店實驗學校高二期中）已知直線與圓，則（???????）
A．直線與圓C相離
B．直線與圓C相交
C．圓C上到直線的距離為1的點共有2個
D．圓C上到直線的距離為1的點共有3個

7．（2022·江蘇·高二）直線與圓的位置關系是___________.（選填“相交”、“相切”、“相離”）

8．（2022·全國·高二課時練習）直線和的位置關系是______．

9．（2022·浙江·義烏市商城學校高二階段練習）直線與圓的位置關系是_________.（填相切、相交、相離）

10．（2022·廣東深圳·高二期末）已知圓C：的半徑為1．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長．

11．（2022·全國·高二課時練習）判斷下列直線l與圓C的位置關系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．

12．（2022·江蘇·高二課時練習）對于圓，直線，分別根據(jù)下列條件，判斷直線l與圓C的位置關系：
(1)點在圓C上；
(2)點在圓C外.

13．（2022·江蘇·高二課時練習）設k為實數(shù)，證明：無論k取何值，直線與圓都有兩個交點.

題型二：由直線與圓的位置關系求參數(shù)、求直線與圓的交點坐標
1．（2022·江蘇·高二）已知點，則滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)有（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·吉林·長春市第六中學高二階段練習（理））已知圓上的點到直線的距離等于，那么的值不可以是（???????）
A． B． C． D．

3．（2022·江蘇·高二）過點的直線與圓交于、兩點，當時，直線的斜率為（???????）
A． B． C． D．

4．（2022·上海市控江中學高二期中）若直線與曲線恰有兩個不同公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

5．（2022·青海玉樹·高三階段練習（理））已知直線與圓C：相交于點A，B，若是正三角形，則實數(shù)（???????）
A．－2 B．2 C． D．

6．（2022·上海市行知中學高二階段練習）若圓上恰有個點到直線的距離為，則實數(shù)的取值范圍為__________.

7．（2022·安徽省舒城中學高二期中）在平面直角坐標系xOy中，已知直線和點，動點P滿足，且動點P的軌跡上至少存在兩點到直線l的距離等于，則實數(shù)的取值范圍是___________.

8．（2022·江蘇南京·模擬預測）已知中，，，點在直線上，的外接圓圓心為，則直線的方程為______．

9．（2022·江蘇·高二）若圓上至少有三個不同的點到直線l：ax＋by＝0的距離為，求直線l的傾斜角的取值范圍．

10．（2022·江蘇·高二課時練習）求直線和圓的公共點的坐標，并判斷它們的位置關系.

題型三：切線與切線長問題
1．（2022·甘肅·臨澤縣第一中學高二期中（文））直線平分圓的周長，過點作圓C的一條切線，切點為Q，則（???????）
A．5 B．4 C．3 D．2

2．（2022·貴州師大附中高二開學考試（理））已知圓，過點P（5，5）作圓M的一條切線，切點為N，則切點N到直線PM的距離為（??????????）
A． B． C． D．

3．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高二期中（理））若直線與圓相切，則的值是（???????）
A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12

4．（2022·全國·高二課時練習）已知圓的方程為，則過圓上一點的切線方程為___________.

5．（2022·上海·華東師范大學附屬東昌中學高二期中）經(jīng)過圓上一點且與圓相切的直線的一般式方程為__________．

6．（2022·廣東·潮州市綿德中學高二階段練習）過點且與圓相切的直線的方程是______．

7．（2022·上海金山·高二期中）求過點的圓的切線方程__________.

8．（2022·天津市第九十五中學益中學校高二期末）若過點作圓的切線，則切線方程為___________.

9．（2022·四川·成都實外高二階段練習（文））設P為已知直線上的動點，過點P向圓作一條切線，切點為Q，則的最小值為___________.

10．（2022·重慶市清華中學校高二階段練習）已知圓的方程為，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線、，、為切點，則四邊形的面積的最小值為______

11．（2022·廣東·高二階段練習）過點P（3，4）作圓O：的兩條切線，設切點分別為A，B，則四邊形PAOB的面積=______．

12．（2022·全國·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．

13．（2022·全國·高二課時練習）已知圓．求滿足下列條件的切線方程．
(1)過點；
(2)過點．

14．（2022·廣東汕尾·高二期末）已知圓C過兩點，，且圓心C在直線上．
(1)求圓C的方程；
(2)過點作圓C的切線，求切線方程．

15．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學高二階段練習）已知圓：，動直線過點.
(1)當直線與圓相切時，求直線的方程；
(2)若直線與圓相交于、兩點，求中點的軌跡方程.

16．（2022·江蘇·高二課時練習）光線沿直線射入，經(jīng)過x軸反射后，反射光線與以點為圓心的圓C相切，求圓C的方程．

題型四：弦長問題
1．（2022·江蘇·高二）已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（?????）
A． B．2 C．4 D．

2．（2022·江蘇·高二）直線與圓相交于A，B兩點，若，則實數(shù)m的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

3．（2022·江蘇·高二）若直線與圓所截得的弦長為，則實數(shù)為（???????）．
A．或 B．1或3 C．3或6 D．0或4

4．（2022·全國·高二課時練習）直線與圓相交所得的弦長是___________.

5．（2022·江西·上高二中模擬預測（理））已知圓C過點兩點，且圓心C在y軸上，經(jīng)過點且傾斜角為銳角的直線l交圓C于A，B兩點，若(C為圓心)，則該直線l的斜率為________．

6．（2022·全國·高二課時練習）設圓C同時滿足三個條件：①過原點；②圓心在直線y＝x上；③截y軸所得的弦長為4，則圓C的方程是______．

7．（2022·北京昌平·高二期末）已知圓，直線l過點且與圓O交于A，B兩點，當面積最大時，直線l的方程為_________．

8．（2022·江蘇·高二）已知三點在圓C上，直線，
(1)求圓C的方程;
(2)判斷直線與圓C的位置關系；若相交，求直線被圓C截得的弦長．

9．（2022·福建·高二學業(yè)考試）求直線被圓截得的弦長．

10．（2022·上海·同濟大學第一附屬中學高二階段練習）過點作圓的割線，割線被圓截得的弦長為，求該割線方程．

11．（2022·江蘇·高二）已知圓M過點．
(1)求圓M的方程；
(2)若直線與圓M相交所得的弦長為，求b的值．

12．（2022·江蘇·高二）已知圓C的圓心為原點，且與直線相切，直線過點．
(1)求圓C的標準方程；
(2)若直線與圓C相切，求直線的方程．
(3)若直線被圓C所截得的弦長為，求直線的方程．

題型五：判斷圓與圓的位置關系
1．（2022·江蘇·高二）圓與圓的位置關系是（???????）
A．相離 B．相交 C．內含 D．外切

2．（2022·湖南·炎陵縣第一中學高二階段練習）圓與圓的位置關系是(???????)
A．內切 B．相交 C．外切 D．相離

3．（2022·江蘇·南京市中華中學高二開學考試）在平面直角坐標系中，圓：和圓：的位置關系是（???????）
A．外離 B．相交 C．外切 D．內切

（多選題）4．（2022·江蘇南通·高二期末）已知，圓，，則（???????）
A．當時，兩圓相交 B．兩圓可能外離
C．兩圓可能內含 D．圓可能平分圓的周長

5．（2022·全國·高二課時練習）圓與圓的位置關系為___________.

6．（2022·江蘇·高二）已知圓的標準方程是，圓關于直線對稱，則圓與圓的位置關系為______．

7．（2022·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒壷袑W高二期末（理））已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關系是______．

8．（2022·江蘇·高二）（1）判斷圓與圓的位置關系；
（2）證明圓與圓外切，并求出切點坐標.

9．（2022·江蘇·高二）已知圓，點分別在軸和圓上.
(1)判斷兩圓的位置關系；
(2)求的最小值.

10．（2022·全國·高二課時練習）判斷下列各組中兩個圓的位置關系：
(1)與；
(2)與；
(3)與．

11．（2022·全國·高二課時練習）判斷圓與圓的位置關系，并畫出兩圓，的圖形．

12．（2022·全國·高二課時練習）求證：圓與圓不可能相外切．

題型六：由圓的位置關系確定參數(shù)
1．（2022·河南安陽·高二階段練習（理））已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．

2．（2022·全國·高二課時練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個點P滿足，則r的取值為（???????）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在

3．（2022·江蘇·高二）已知圓與圓內切，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．

4．（2022·江蘇·高二）已知圓C：和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則m的最大值為（???????）
A．12 B．11 C．10 D．9

5．（2022·江蘇·高二）若圓與圓相外切，則的值為（???????）
A． B． C．1 D．

6．（2022·廣東深圳·高二期末）若圓C：上有到的距離為1的點，則實數(shù)m的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．

7．（2022·四川省資陽市雁江區(qū)伍隍中學高二開學考試（理））在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．

8．（2022·安徽·高二開學考試）若圓上存在點P，且點P關于直線的對稱點Q在圓上，則r的取值范圍是(???????)
A． B．
C． D．

9．（2022·江蘇·高二）在平面直角坐標系中，，，動點滿足，的軌跡方程為____，的軌跡與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是____．

10．（2022·江蘇·高二）設P為曲線上動點，Q為曲線上動點，則稱的最小值為曲線，之間的距離，記作.若，，則___________.

11．（2022·江蘇·高二）已知圓：與圓：.
(1)若圓與圓外切，求實數(shù)m的值;
(2)在(1)的條件下，若直線l過點(2，1)，且與圓的相交弦長為，求直線l的方程.

12．（2022·全國·高二課時練習）求以為圓心，且與圓相外切的圓C的方程．

題型七：公共弦與切點弦問題
1．（2022·重慶復旦中學高二開學考試）圓與圓的公共弦所在直線的方程為（???????）
A． B．
C． D．

2．（2022·吉林·長春外國語學校高二開學考試）已知圓：和圓：，則（???????）
A．公共弦長為 B．公共弦長為
C．公切線長 D．公切線長

3．（2022·全國·高二課時練習）過點作圓的切線，若切點為A、，則直線的方程是（???????）
A． B． C． D．

4．（2022·全國·高二課時練習）若從坐標原點O向圓作兩條切線，切點分別為A，B，則線段的長為（???????）
A． B．3 C． D．

5．（2022·江蘇·高二）已知圓與圓相交于A，B兩點，則______.

6．（2022·全國·高二期末）已知點Q是直線：上的動點，過點Q作圓：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點___________.

7．（2022·湖南·新邵縣教研室高二期末）過點作圓的兩條切線，切點為A，B，則直線的一般式方程為___________.

8．（2022·全國·高二課時練習）已知兩圓和.圓和公共弦方程為___________；圓和公共弦的長度為___________.

9．（2022·江蘇·高二）已知圓：與：相交于A、B兩點．
(1)求公共弦AB所在的直線方程；
(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點的圓的方程；
(3)求經(jīng)過A、B兩點且面積最小的圓的方程．

10．（2022·江蘇·高二）已知圓和圓，若點(，)在兩圓的公共弦上，求的最小值．

11．（2022·江蘇·高二）已知圓和圓，求過兩圓交點，且面積最小的圓的方程．

12．（2022·江蘇·高二）圓的方程為，圓的圓心，若圓與圓交于A、B兩點且，求圓的方程.

13．（2022·江蘇·南京市秦淮中學高二期末）我們知道：當是圓O：上一點，則圓O的過點的切線方程為；當是圓O：外一點，過作圓O的兩條切線，切點分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點弦所在直線方程.請利用上述結論解決以下問題：已知圓C的圓心在x軸非負半軸上，半徑為3，且與直線相切，點在直線上，過點作圓C的兩條切線，切點分別為.
(1)求圓C的方程；
(2)當時，求線段AB的長；
(3)當點在直線上運動時，求線段AB長度的最小值.

題型八：公切線問題
1．（2022·甘肅·天水市第一中學高二期中）已知兩圓方程分別為和．則兩圓的公切線有（???????）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條

2．（2022·江蘇·高二）已知圓，圓，則同時與圓和圓相切的直線有（???????）
A．4條 B．2條 C．1條 D．0條

3．（2022·江蘇·高二）兩圓與的公切線有（???????）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條

4．（2022·安徽省宣城中學高二開學考試）圓與圓的公切線條數(shù)為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4

5．（2022·四川·遂寧中學高二開學考試（文））設點P為直線上的點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，當四邊形PACB的面積取得最小值時，此時直線AB的方程為（???????）
A． B．
C． D．

6．（2019·河北·高二學業(yè)考試）若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（???????）
A． B． C． D．

（多選題）7．（2022·全國·高二課時練習）如圖，點，，，，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構成曲線，則（）

A．曲線與軸圍成的圖形的面積等于 B．與的公切線的方程為
C．所在圓與所在圓的公共弦所在直線的方程為 D．所在的圓截直線所得弦的長為

8．（2022·內蒙古·赤峰二中高二期末（文））圓和圓的公切線的條數(shù)為______．

9．（2022·江蘇·高二）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．

10．（2021·全國·高二課時練習）求圓與圓的內公切線所在直線方程及內公切線的長．

題型九：圓中范圍與最值問題
1．（2022·江蘇·高二）已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（?????）
A． B．2 C．4 D．

2．（2022·廣西梧州·高二期中（理））已知半徑為2的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（???????）
A． B． C． D．3

3．（2022·遼寧·本溪市第二高級中學高二期末）已知圓，則圓上的點到坐標原點的距離的最小值為（???????）
A．-1 B． C．+1 D．6

4．（2022·四川省通江中學高二階段練習（理））直線與圓交于兩點，則弦長的最小值為（?????）
A．1 B．2 C． D．2

5．（2022·江蘇·南京市第十三中學高二開學考試）若是直線上的動點，PA、PB與圓相切于A、B兩點，則四邊形PAOB面積的最小值為（???????）
A． B． C．7 D．8

6．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高二開學考試）若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4

7．（2022·安徽省蚌埠第三中學高二開學考試）若實數(shù)x，y滿足，則下列關于的最值的判斷正確的是（???????）
A．最大值為2＋，最小值為—2－
B．最大值為2＋，最小值為2－
C．最大值為－2＋，最小值為－2－
D．最大值為—2＋，最小值為2－

8．（2022·江蘇揚州·高二開學考試）已知直線與圓交于?兩點，點在圓上，則面積的最大值為（???????）
A． B． C． D．

9．（2022·山東德州·高二期末）已知圓，過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，若O為坐標原點，則最大值為（???????）．
A．3 B．4 C．5 D．6

10．（2022·江西·上高二中高二階段練習（理））已知圓C的半徑為，其圓心C在直線上，圓C上的動點P到直線的距離的最大值為，則圓C的標準方程為（???????）
A． B．
C． D．

11．（2022·湖南郴州·高二期末）已知圓與圓相交于A?B兩點，則圓上的動點P到直線AB距離的最大值為（???????）
A． B． C． D．

12．（2022·湖北襄陽·高二期末）已知x，y是實數(shù)，且，則的最大值是（???????）
A． B． C． D．

13．（2022·四川內江·高二期末（文））幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點、是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大的．”如圖，其結論是：點為過、兩點且和射線相切的圓的切點．根據(jù)以上結論解決一下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，，點在軸上移動，當取最大值時，點的橫坐標是（???????）

A．
B．
C．或
D．或

14．（2022·江蘇南通·高二開學考試）圓C：上的動點P到直線l：的距離的最大值是（???????）
A． B． C． D．

15．（2022·江蘇宿遷·高二期末）已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數(shù)a的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．

16．（2022·山西·懷仁市第一中學校高二期末（理））已知圓與圓沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（???????）．
A． B．
C． D．

17．（2022·四川資陽·高二期末（理））已知過點的直線l與圓相交于A，B兩點，則的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

18．（2022·吉林·四平市第一高級中學高二期末）已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

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