第一章《空間向量與立體幾何》檢測卷（基礎(chǔ)版） 一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．下列說法正確的是（       ）A．零向量沒有方向B．空間向量不可以平行移動C．如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零向量的規(guī)定可以確定A錯誤；根據(jù)空間向量是自由向量可以確定B；根據(jù)相等向量的定義可以確定C、D.【詳解】對于A：零向量的方向是任意的，A錯誤；對于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯誤；對于C、D：大小相等方向相同的兩個向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯誤；D符合定義，正確.故選：D.2．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個基底的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由空間向量基底的定義即可得出答案.【詳解】選項A：令，則，，A正確；選項B：因為，所以不能構(gòu)成基底；選項C：因為，所以不能構(gòu)成基底；選項D：因為，所以不能構(gòu)成基底．故選：A.3．已知向量，，若，則（       ）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】【分析】由空間平行向量，先求出的值，再由模長公式求解模長.【詳解】由，則，即，有，所以，所以，則故選：D4．已知空間中三點，，，則下列結(jié)論中正確的有（       ）A．平面ABC的一個法向量是 B．的一個單位向量的坐標(biāo)是C． D．與是共線向量【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間中平面法向量的定義，向量模長的求解，以及共線定理，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】因為，，，故可得，因為，故，不平行，則D錯誤；對A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對B：因為向量的模長為，其不是單位向量，故B錯誤；對C：因為，故可得，故C錯誤；故選：A.5．在三棱錐中，平面ABC，，是正三角形，M，N分別是AB，PC的中點，則直線MN，PB所成角的余弦值為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用空間向量處理，根據(jù)異面直線夾角的處理代入計算．【詳解】如圖，以AC的中點O為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則，則直線MN，PB所成角的余弦值為故選：D．6．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為2，且與，的夾角都等于．若是的中點，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，，根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出，平方后利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】記，，，因為，，所以，．又因為，，所以，．易得，所以，所以．故選：A【點睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算及性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.7．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．       ∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因為,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為．故選：A.8．如圖，在正方體中，為棱上的動點，為棱的中點，則下列選項正確的是（       ）A．直線與直線相交B．當(dāng)為棱上的中點時，則點在平面的射影是點C．存在點，使得直線與直線所成角為D．三棱錐的體積為定值【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可得平面，進(jìn)而可判斷A；利用勾股定理和反證法即可判斷B；建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法和反證法即可判斷C；根據(jù)等體積法即可判斷D.【詳解】A：由題意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以與不相交，故A錯誤；B：連接，如圖，當(dāng)點為的中點時，，又，所以，若點在平面的射影為，則平面，垂足為，所以，設(shè)正方體的棱長為2，則，在中，，所以，即不成立，故B錯誤；C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，連接，則，所以異面直線與所成角為直線與所成角，設(shè)正方體的棱長為2，若存在點使得與所成角為，則，所以，所以，又，得，解得，不符合題意，故不存在點使得與所成角為，故C錯誤；D：如圖，由等體積法可知，又，為定值，所以為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分． 在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分． 9．在長方體中，則（       ）A． B．C． D．【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算即可得到答案.【詳解】如圖：對A，，正確；對B，，正確；對C，，錯誤；對D，，錯誤.故選：AB.10．在長方體中，，E，F分別為棱的中點，則下列結(jié)論中正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，所以、、、，所以，故A正確；，故B正確；，，，，所以，，故，即C正確；因為，所以與不垂直，故D錯誤；故選：ABC11．如圖，在正方體中，分別為的中點，則下列說法正確的是（       ）A．平面B．C．直線與平面所成角為D．異面直線與所成角為【答案】ABC【解析】【分析】連接，，可得，利用線面平行的判定定理即可證明平面，故A正確；由線面垂直的性質(zhì)可以得到，故B正確；直線與平面所成角即直線與平面所成角為，故C正確；異面直線與所成角即為直線與所成角，故D錯誤.【詳解】\如圖，連接，.在正方形中，為的中點,，即也為的中點，在中，分別為的中點，，又平面，平面，平面，故A正確；平面，，，故B正確；，直線與平面所成角即直線與平面所成角為，故C正確；由題可知，異面直線與所成角即為直線與所成角，即，為，故D錯誤.故答案為：ABC.12．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，平面，下列說法正確的是（       ）A．與所成的角是B．平面與平面所成的銳二面角余弦值是C．三棱錐的體積是D．與平面所成的角的正弦值是【答案】ACD【解析】【分析】由題意以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷選項A，B，D，直接由錐體的體積公式求出三棱錐的體積，判斷選項C.【詳解】由,可得,又平面故以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則選項A. 由則,所以所以與所成的角是，故選項A正確.選項B. 由題意為平面的一個法向量.設(shè)為平面 的一個法向量，由 ，即 ，則取所以 所以平面與平面所成的銳二面角余弦值是，故選項B不正確.選項C. ,故選項C正確.選項D. ,設(shè)與平面所成的角為 則 ，故選項D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正方體中，點是上底面的中心，若，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，利用表示出，由此可得的值.【詳解】，，，，.故答案為：.14．已知，若，則_________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】因為，故，即，故，故故答案為：215．如圖，在三棱錐中，，平面ABC，于點E，M是AC的中點，，則的最小值為______．【答案】##-0.125【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明平面PAB，將用表示出，再結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解作答.【詳解】連接，如圖，因平面ABC，平面ABC，則，而，，平面PAB，則平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中點，則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)取“=”，所以的最小值為.故答案為：16．一個正方體的平面展開圖如圖所示.在該正方體中，以下命題正確的是___________.（填序號） ①；②平面；③與是異面直線且夾角為；④與平面所成的角為；⑤二面角的大小為.【答案】①②③⑤【解析】【分析】由正方體的平面展開圖可得正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得；【詳解】解：由正方體的平面展開圖可得正方體（其中與重合），如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為，則，，，，，，，，，所以，，所以，所以，故①正確；，，所以，，即，，，平面，所以平面，即②正確；，顯然與是異面直線，設(shè)與所成角為，則，因為，所以，故③正確；，平面的法向量可以為，設(shè)與平面所成的角為，所以，故④錯誤；，，設(shè)平面的法向量為，則，令，所以，設(shè)二面角為，顯然二面角為銳二面角，則，所以，故⑤正確； 故答案為：①②③⑤四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在棱長為1的正方體中，G、H分別是側(cè)面和的中心．設(shè)，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判斷與是否垂直．【答案】(1)，(2)(3)垂直【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.(1)解：根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得，.(2)解：根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則和數(shù)量積的運(yùn)算公式，可得，則.(3)解：根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得；則，所以與垂直．18．如圖，在空間四邊形中，已知是線段的中點，在上，且．(1)試用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計算可得；（2）由（1）可得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計算可得；(1)解：，，又(2)解：由（1）可得知19．如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．（1）求 的模；（2）求cos〈，〉的值；（3）求證：A1B⊥C1M.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）如圖，以點C作為坐標(biāo)原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的模長公式計算即可；（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算計算cos〈，〉的值；（3）通過計算·＝0可得答案.【詳解】（1）如圖，以點C作為坐標(biāo)原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 由題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴＝＝.（2）由題意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，·＝3，||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.（3）由題意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥，即A1B⊥C1M.20．如圖，四棱錐中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．(1)若，，F為AB的中點，N為BC的中點，證明四邊形MENF為梯形；(2)試判斷在線段PC是否存在一點E，使得三棱錐的體積為？若存在求出的值．若不存在說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【解析】【分析】（1）證明且即可（2）證明平面PCD．再由等體積法轉(zhuǎn)化后求解(1)證明：連接ME，EN，NF，FM，AC，∵點M在線段PA上且滿足，∴，又∵，即中∴且，∵中，F為AB的中點，N為BC的中點∴FN為的中位線，∴且，∴且，∴四邊形MENF為梯形．(2)在線段PC存在一點E滿足時，三棱錐的體積為．證明如下：設(shè)，平面平面ABCD，平面平面，正方形ABCD中，，平面ABCD，∴平面PCD．取PC的中點為M，連接DM，∵中，，M為PC的中點，∴，∵又，∴，∴，∴．21．如圖，點O是正方形ABCD的中心，，，，．(1)證明：平面ABCD；(2)若直線OE與平面ABCD所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．【答案】(1)詳見解析；(2).【解析】【分析】（1）由正方形性質(zhì)和線面垂直判定可知平面，由此可得，結(jié)合，由線面垂直的判定可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角定義可求得，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.(1)四邊形為正方形，，又，，平面，平面，平面，；又，，平面，平面.(2)以為坐標(biāo)原點，的正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面，直線與平面所成角為，，解得：；，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.22．如圖，在直三棱柱中，，點D是的中點．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求平面與平面夾角的正弦值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線與的方向向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求夾角余弦值.（2）分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角余弦值，進(jìn)而求出正弦值即可.(1)以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則∴．∵，∴異面直線與所成角的余弦值為．(2)設(shè)平面的法向量為，∵，∴，即且，取，則是平面的一個法向量．取平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角的大小為．由，得：．因此，平面與平面夾角的正弦值為．

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