?第05講 空間向量基本定理
【知識點梳理】
知識點01：空間向量基本定理及樣關概念的理解
空間向量基本定理：
如果空間中的三個向量，，不共面，那么對空間中的任意一個向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.
知識點2：空間向量的正交分解
單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.
正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.
知識點3：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題
用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：
(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．
(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．
(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立
【題型歸納目錄】
題型一：基底的判斷
題型二：基底的運用
題型三：正交分解
題型四：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題



【典型例題】
題型一：基底的判斷
1．（課時1.2空間向量基本定理-2021-2022學年高二數(shù)學同步練習和分類專題教案（人教A版2019選擇性必修第一冊））若：，，是三個非零向量；：，，為空間的一個基底，則p是q的???（???????）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基底的判定方法和充分不必要條件的定義進行判定.
【詳解】
空間不共面的三個向量可以作為空間的一個基底，
若，，是三個共面的非零向量，則，，不能作為空間的一個基底；
但若，，為空間的一個基底，則，，不共面，
所以，，是三個非零向量，即p是q的必要不充分條件.
故選：B.
2．（安徽省池州市第一中學2021-2022學年高二上學期期中數(shù)學試題）已知是空間的一個基底，若，則下列可以為空間一個基底的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量共面定理和基底的概念，逐項檢驗，即可得到正確結(jié)果.
【詳解】
由于，可知共面，所以選項A不能作為空間的一個基底；
由于，可知共面，所以選項B不能作為空間的一個基底；
由于，可知共面，所以選項C不能作為空間的一個基底；
假設不是空間的一組基底，即向量共面，則存在實數(shù)使得，即，
所以,
因為是空間的一組基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空間的一組基底，所以選項D正確；
故選:D.
3．（蘇教版（2019）選修第二冊限時訓練第4練空間向量基本定理）已知是空間的一個基底，向量，，，若能作為基底，則實數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量基底的定義，結(jié)合共面向量定理，運用假設法進行求解即可.
【詳解】
若，，共面，由共面向量定理知，存在實數(shù)x，y，使得，
即．因為，，不共面，所以，，，解得，，，即當時，，此時不能作為基底，所以若能作為基底，則實數(shù)滿足的條件是．
故選：B
4．（北京市通州區(qū)2021-2022學年高二上學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試題）若構成空間的一個基底，則下列向量可以構成空間的另一個基底的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空間向量基本定理逐個判斷各個選項即可．
【詳解】
解：對于選項A：因為，所以，，共面，不能構成基底，故選項A錯誤，
對于選項B：因為，所以，，共面，不能構成基底，故選項B錯誤，
對于選項C：因為，，，共面，不能構成基底，故選項C錯誤，
對于選項D：若，，共面，則，即，則，無解，所以，，不共面，可以構成空間的另一個基底，故選項D正確.
故選：D．
5．（河北省石家莊市第六中學2021-2022學年高二上學期期中數(shù)學試題）設向量是空間一個基底，則一定可以與向量構成空間的另一個基底的向量是　　
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個不共線，且不為零向量，三個向量不共面，從而判斷出結(jié)論．
【詳解】
解：由題意和空間向量的共面定理，
結(jié)合，
得與、是共面向量，
同理與、是共面向量，
所以與不能與、構成空間的一個基底；
又與和不共面，
所以與、構成空間的一個基底．
故選：．
6．（2022·重慶八中模擬預測）若構成空間的一個基底，則下列向量也可以構成空間中的一個基底的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由空間向量基底的定義即可得出答案.
【詳解】
選項A：令，則，，A正確；
選項B：因為，所以不能構成基底；
選項C：因為，所以不能構成基底；
選項D：因為，所以不能構成基底．
故選：A.
7．（2022·全國·高二課時練習）設，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
以為頂點作，，，作出平行六面體，根據(jù)空間向量的加法法則作出，，然后判斷各組向量是否共面可得結(jié)論．
【詳解】
如圖，作平行六面體，，，，
則，，，，
由平行六面體知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作為空間的基底的有3組．
故選：C．

8．（2022·湖南·高二課時練習）已知，，是不共面的三個向量，下列能構成一組基的是（???????）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
【分析】
由不共面的三個向量能構成一組基底判斷.
【詳解】
A. 因為=，則三個向量共面，所以三個向量不能構成一組基底；
B. 因為=，則三個向量共面，所以三個向量不能構成一組基底；
C. 假設，，共面，則必存在x，y，有，因為，，是不共面，則，不成立，則三個向量不共面，所以三個向量能構成一組基底；
D. 因為，則三個向量共面，所以三個向量不能構成一組基底；
故選：C
9．（多選題）已知是不共面的三個向量，則下列向量組中，不能構成一個基底的一組向量是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用空間向量基底的意義逐一分析各選項中的三個向量是否共面即可得解.
【詳解】
對于A，因，則三個向量共面，它們不能構成一個基底；
對于B，因，則三個向量共面，它們不能構成一個基底；
對于C，假設共面，則必有不全為0的實數(shù)，使得，
因不共面，則，即，與不全為0矛盾，因此，不共面，它們能構成一個基底；
對于D，因，則三個向量共面，它們不能構成一個基底，
所以不能構成一個基底的一組向量是ABD.
故選：ABD
10．（多選題）（重慶市名校聯(lián)盟2021?2022學年高二上學期第一次聯(lián)合考試數(shù)學試題）已知M，A，B，C四點互不重合且任意三點不共線，則下列式子中能使成為空間的一個基底的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根據(jù)基底的性質(zhì)，結(jié)合各選項中向量的線性關系、空間向量基本定理判斷M、A、B、C是否共面，即可知是否能成為空間基底.
【詳解】
A：因為，且，利用平面向量基本定理知：點M不在平面ABC內(nèi)，向量能構成一個空間基底；
B：因為，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能構成一個空間基底；
C：由，利用平面向量基本定理和空間平行六面體法知：OM是以點O為頂點的對角線，向量能構成一個空間基底；
D：由，根據(jù)平面向量的基本定理知：向量共面，不能構成空間的一個基底.
故選：AC.
11．（多選題）（重慶市2021-2022學年高二上學期期末數(shù)學試題）若向量構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（???????）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量的基本定理和空間向量的基底，依次判斷每個選項即可.
【詳解】
解：對于A選項，若，則，解得，故共面；
對于B選項，若，則，解得，故共面；
對于C選項，若，則，無解，故不共面；
對于D選項，若，則，解得，故共面；
故選：ABD
12．（多選題）（廣東省梅州市2021-2022學年高二上學期期末數(shù)學試題）若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（?????）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
逐項判斷各選項的向量是否不共面，從而可得正確的選項.
【詳解】
對于A，因為，故，，共面；
對于B，因為，故，，共面；
對于D，因為，故，，共面；
對于C，若，，共面，則存在實數(shù)，使得：，
，故共面，
這與構成空間的一個基底矛盾，
故選：ABD
13．（2022·全國·高二課時練習）已知向量、、可以構成空間向量的一組基底，則這三個向量中哪一個向量可以與向量和向量構成空間向量的另一組基底？
【答案】，理由見解析.
【解析】
【分析】
利用共面向量的基本定理可判斷出、、共面，、、共面，然后利用反證法與共面向量的基本定理可證得、、不共面，即可得出結(jié)論.
【詳解】
解：因為，，
故、、共面，、、共面，
假設、、共面，則存在實數(shù)、，使得，
所以，，則、、共面，與題設條件矛盾，
故假設不成立，即、、可構成空間向量的一組基底.
題型二：基底的運用
1．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高二階段練習）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（???????）

A． B．=
C．= D．=
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法減法的幾何意義并依據(jù)空間向量基本定理去求向量
【詳解】
連接AG并延長交BC于N，連接ON，

由G是的重心，可得，
則
則
故選：B
2．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學高二階段練習）在四面體中，，，，點在上，且，是的中點，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空間向量的線性運算可得出關于、的表達式，再利用可求得結(jié)果.
【詳解】
由已知，
所以，，
故選：D.
3．（2022·江蘇南通·高二期中）如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且，M為OA中點，N為BC中點，則等于（??????????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量的加減運算，即可求得答案.
【詳解】
由題意得：，
故選：A
4．（2022·江蘇·泰州中學高二期中）在四棱柱中，，，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意利用空間向量基本定理求解即可
【詳解】
因為，所以，
所以

，
所以A錯誤
因為，所以，
所以

,
故選：D

5．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，設，若，則=（????????????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
連接根據(jù)三棱錐的結(jié)構特征及空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，用表示，即可知正確選項.
【詳解】
連接
.
故選：A

6．（2022·江蘇常州·高二期中）在四面體中，，點在上，且為中點，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空間向量的線性運算，空間向量基本定理求解即可．
【詳解】
解：點在線段上，且，為中點，
，，
．
故選：B．
7．（2022·江蘇宿遷·高二期中）已知是所在平面外一點，是中點，且，則（???????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量減法的三角形法則進行計算即可.
【詳解】
因為M是PC中點，


，又，
，
∴.
故選：A.
8．（2022·江蘇揚州·高二期中）如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（????????????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空間向量的線性元素和空間向量的基本定理求解.
【詳解】
，
，
故選：B
9．（2022·福建龍巖·高二期中）在平行六面體中，點是線段的中點，，設，，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法的平行四邊形法則，減法的三角形法則即可求解
【詳解】

因為為中點，
所以

所以
即
故選：B
10．（2022·上海市控江中學高二期中）如圖，在四面體中，是的中點，設，，，請用??的線性組合表示___________.

【答案】
【解析】
【分析】
先求出，再由求解即可.
【詳解】
在中，因為是的中點，所以，
所以.
故答案為：.
11．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在三棱柱中，M為的中點，若，，，則______．（用、、表示）

【答案】
【解析】
【分析】
利用空間向量的線性運算，結(jié)合題意，求解即可.
【詳解】
根據(jù)題意，
.
故答案為：.
12．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且，N是CM的中點，設，，，用、、表示向量，并求BN的長．

【答案】，
【解析】
【分析】
根據(jù)題中條件，由向量的線性運算，即可得出；再由向量模的計算公式，結(jié)合題中條件，可求出，即得出結(jié)果.
【詳解】
解：因為是的中點，底面是正方形，
所以
，
又由題意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的長為.
13．（2022·全國·高二課時練習）在長方體中，是的中點．
(1)設，，，用向量、、表示；
(2)設，，，用向量、、表示．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)向量加法運算求解即可；
（2）由題知，進而得，，，再根據(jù)求解即可.
(1)
解：如圖，根據(jù)向量加法法則得：
.

(2)
解：由（1）得，
因為，
所以，，,
所以，
14．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，已知是平行六面體．

(1)化簡；
(2)設是底面的中心，是側(cè)面對角線上的分點，設，試求，，的值．
【答案】(1)；
(2)，，.
【解析】
【分析】
（1）利用平行六面體的性質(zhì)及向量的線性運算即得；
（2）利用向量線性運算的幾何表示可得，進而即得.
(1)
∵是平行六面體，
∴
(2)
∵

，

又，
∴，，.
15．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在平行六面體中，，，兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1，點在線段上，且，記，，．試用，，表示．

【答案】
【解析】
【分析】
利用空間向量的線性運算，即可用，，表示.
【詳解】
因為在平行六面體中，點在線段上，且，
所以
.

題型三：正交分解
1．（2022·福建省寧化第一中學高二開學考試）設是單位正交基底，已知向量在基底下的坐標為，其中，，，則向量在基底下的坐標是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題設得，結(jié)合已知條件求關于的線性表達式，即可知在基底下的坐標.
【詳解】
由題設知：，而，，，
∴，
∴在基底下的坐標是.
故選：B
2．（2022·全國·高二專題練習）設為空間的一個標準正交基底，，，則等于（???????）
A．7 B． C．23 D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量數(shù)量積運算性質(zhì)直接求解即可
【詳解】
解：因為為空間的一個標準正交基底，
所以，
所以
．
故選：B.
【點睛】
此題考查空間向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題
3．（2022·甘肅省武威第一中學高二階段練習（理））已知向量是一組單位正交向量，則＝(　　)
A．7 B．－20 C．28 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
向量是一組單位正交向量，所以，進而根據(jù)數(shù)量積的分配率求解即可.
【詳解】
向量是一組單位正交向量，所以.
，
所以.
故選C.
【點睛】
本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題.
4．（2022·全國·高二課時練習）已知i，j，k為標準正交基底，a＝i＋2j＋3k，則a在i方向上的投影為(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
【答案】A
【解析】
【詳解】
a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，
∴ |a|cos〈a，i〉＝(i＋2j＋3k)·i＝1.
答案：A．
【點睛】
本題主要考查了向量投影的概念及運算，屬于基礎題.
5．（2022·全國·高二課時練習）已知向量為單位正交基底，，，則________．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量為單位正交基底，可得向量的坐標，利用向量線性運算的坐標表示和模長公式，即得解
【詳解】
由題意，向量為單位正交基底



故答案為：
6．（2022·福建·文博中學高二階段練習）已知是空間向量的單位正交基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標是，則向量在基底下的坐標是___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得到，即可求得向量在基底下的坐標，得到答案.
【詳解】
因為向量在基底下的坐標是，
可得，
所以向量在基底下的坐標是.
故答案為：.
7．（2022·山西陽泉·高二期末（理））設{i，j，k}是空間向量的單位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，則向量a與b的位置關系是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量的數(shù)量積運算，易得a·b＝0，從而得垂直關系.
【詳解】
∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.
∴a⊥b.
答案：a⊥b．
【點睛】
本題主要是考查了向量垂直的條件：數(shù)量積為0，屬于基礎題.
8．（2022·湖南·高二課時練習）已知向量，，是空間的一組單位正交基，向量，，是空間的另一組基．若向量在基下的坐標為，求在基下的坐標．
【答案】
【解析】
【分析】
設，由空間向量基本定理列出方程組，即可求解．
【詳解】
由題意有，
設，則
則有，得，
在基下的坐標為
9．（2022·湖南·高二課時練習）已知在標準正交基下，向量，，，求向量在上的投影．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合向量投影的定義可求得結(jié)果.
【詳解】
解：非零向量在非零向量方向上的投影為，
由已知可得，且，
，
所以，向量在上的投影為.
10．（2022·全國·高二課時練習）已知正方體的棱長為1，以D為原點，為單位正交基底建立空間直角坐標系．求證：．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
用基底表示出向量，證明.
【詳解】
由題意，,
,
所以
所以.

11．（2022·江蘇·高二課時練習）是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，用基底表示向量．
【答案】
【解析】
【分析】
設，然后整理解方程組即可.
【詳解】
設，
即有，
因為是空間的一個單位正交基底，
所以有，
所以.

題型四：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題
1．（2022·江蘇常州·高二期中）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
將作為基底，利用空間向量基本定理用基底表示，然后對其平方化簡后，再開方可求得結(jié)果
【詳解】
由題意得，，
因為
,
所以


，
所以，
故選：C
2．（2022·福建·古田縣第一中學高二階段練習）如圖，在平行六面體中，，，，點P在上，且，則在基底下的坐標為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意和空間向量的線性運算即可求解.
【詳解】
由題意得，
，，
所以，即，
所以





.
故選：B
3．（2022·浙江·於潛中學高二期中）在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點，且，若，則（???????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
將作為基底，用基底把表示出來，再由，可得，從而可求出
【詳解】
令，因為，
所以，令，
因為，
所以，
因為，
所以，
因為，所以，
所以，
所以
因為，，
所以，
所以，解得，
故選：D
4．（2022·遼寧大連·高二期末）如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，則（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)空間向量基本定理及線性運算可得，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律即可得出答案.
【詳解】
解：根據(jù)題意可知，空間四邊形的四個面都是等邊三角形，
則，
則


.
故選：A.
5．（2022·山西·康杰中學高二開學考試）已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點?滿足，，則（???????）

A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以向量為基底向量，則，根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)，兩邊平方可得答案.
【詳解】
以向量為基底向量，

所以

所以
故選：D
6．（2022·四川·閬中中學高二階段練習（理））如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，則線段AO的長度為（???????）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
用表示出，計算，開方得出AO的長度.
【詳解】
因為四邊形是平行四邊形，
,


,
,
,


，
即.
故選：A
7．（多選題）（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學高二期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（???????）

A． B．
C．的長為 D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
AB選項，利用空間向量基本定理進行推導即可；C選項，在B選項的基礎上，平方后計算出，從而求出；D選項，利用向量夾角的余弦公式進行計算.
【詳解】
根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A選項，，A錯誤，
對于B選項，，B正確：
對于C選項，，則，
則，C錯誤：
對于，則，D正確.
故選：BD.
8．（2022·全國·高二期末）如圖，已知正方體的棱長為1，E、F分別是棱AD、上的中點．若點P為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊）動點，且存在x、，使成立，則點P的軌跡長度為_________．

【答案】
【解析】
【分析】
由題知，共面，即平面，取中點，連接、、，易證平面平面，所以點在上運動，點的軌跡為線段，由勾股定理計算可得.
【詳解】
解：因為成立，所以共面，即平面，
如圖，取中點，連接、、，

根據(jù)正方體的性質(zhì)得，，平面，平面，平面，，同理可證平面，且，所以平面平面，所以點在上運動，點的軌跡為線段，因為，，
由勾股定理得，
故答案為：.
9．（2022·全國·高二課時練習）自然界中，構成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀大小由它的三組棱長a、b、c及棱間交角、、（合稱為“晶胞參數(shù)”）來表征.如圖是某種晶體的晶胞，其中，，，，，則該晶胞的對角線的長為__________.

【答案】
【解析】
數(shù)形結(jié)合以及使用向量的方法，可得，然后先平方再開方可得結(jié)果.
【詳解】
如圖所示：

所以
依題可知：，

所以
所以
則，故
故答案為：
10．（2022·全國·高二課時練習）三棱柱中，，分別是，上的點，且，.若，，，則的長為________.
【答案】
【解析】
由題意畫出圖形，設，，，將用，，表示出來，求的模長即可求解.
【詳解】

如圖設，，，
所以
，
因為
,
所以，
故答案為：
【點睛】
本題解題的關鍵是將用從點出發(fā)的一組基底，，表示出來計算其模長即可.
11．（2022·全國·高二課時練習）已知矩形中，，，將矩形沿對角線折起，使平面與平面垂直，過，分別向作垂線，垂足分別為，，用，，表示，則______，與之間的距離為______．
【答案】???? ；???? .
【解析】
【分析】
利用向量的線性運算的幾何表示可得，然后利用向量數(shù)量積的定義及運算法則即得.
【詳解】
∵矩形中，，，
則可得，，，，．
因為平面與平面垂直，，平面平面，
則平面，所以，

由題可得，
所以

，
所以．
故答案為：；.
12．（2022·江蘇·徐州市王杰中學高二階段練習）如圖，在空間四邊形中，已知是線段的中點，在上，且．

(1)試用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得；
（2）由（1）可得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律及定義計算可得；
(1)
解：，
，
又

(2)
解：由（1）可得知




13．（2022·全國·高二課時練習）棱長為1的正四面體ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，DC中點，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)量積的定義計算即可得解；
（2）由題意可得即可得解；
（3）由題意可得即可得解；
（4）由題意可得即可得解；
（5）由題意可得，從而可得出答案.
(1)
解：；
(2)
解：因為點E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，
所以，且，所以，
所以；
(3)
解：


；
(4)
解：因為點F，G分別為AD，DC的中點，
所以，且，所以，
所以；
(5)
解：因為，，
所以
.

14．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，，，沿它的對角線將折起，使與成角，求此時兩點間的距離．

【答案】或
【解析】
【分析】
利用空間向量線性運算可得，結(jié)合數(shù)量積的運算律可求得，進而得到所求結(jié)果.
【詳解】
四邊形為平行四邊形，，又， ，
，，
在空間四邊形中，與成角，或，
又，，
當時，，，即此時兩點間的距離為；
當時，，，即此時兩點間的距離為；
綜上所述：兩點間的距離為或.
15．（2022·全國·高二課時練習）如圖，空間四邊形的各邊及對角線長都為2，E是的中點，F(xiàn)在上，且.

（1）用表示；
（2）求向量與向量所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由E是的中點，F(xiàn)在上，得到，進而結(jié)合向量的基本定理，即可求解；
（2）由（1）分別求得，，以及
，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】
（1）因為E是的中點，F(xiàn)在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因為，
所以向量與向量所成角的余弦值為.
【點睛】
本題主要考查了空間向量的基本定理，以及向量的數(shù)量積和向量的夾角公式的應用，其中解答中熟記向量的線性運算法則，以及向量的數(shù)量積積的運算公式是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于中檔試題.

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