【暑假提升】(人教A版2019)數(shù)學(xué)高一（升高二）暑假-1.2《第2課時空間向量基本定理的初步應(yīng)用》講學(xué)案（必修1）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第2課時　空間向量基本定理的初步應(yīng)用知識點一　證明平行、共線、共面問題(1) 對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2) 如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb. 知識點二　求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cos θ＝.(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0. 知識點三　求距離(長度)問題＝( ＝ )．題型一、證明平行、共面問題1．如圖，正方體的棱長為1，E，F，G分別為，，的中點．求證：．【詳解】證明：設(shè)，，，則｛，，｝構(gòu)成空間的一個單位正交基底．所以，．所以．所以． 2．已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：（1）、、、四點共面，、、、四點共面；（2）．【詳解】（1）因為，所以，、、為共面向量，因為、、有公共點，故、、、四點共面，因為，則、、為共面向量，因為、、有公共點，故、、、四點共面；（2），，，，，因為、無公共點，故. 3．已知向量，，不共線，點在平面內(nèi)，若存在實數(shù)，，，使得，那么的值為________.【詳解】因為點在平面內(nèi)，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：1 題型二、求夾角、證明垂直問題1．在所有棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求證:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.【詳解】證明：（1）易知<>=120°，=+，則·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.所以AB1⊥BC.（2）易知四邊形AA1C1C為菱形，所以A1C⊥AC1.因為·=(-)·(-)=(-)·(--)=·-·-·-·+·+·=·-·-·+·=2×2×-4-2×2×+4=0，所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C⊥平面AB1C1. 2．如圖所示，在三棱錐中，兩兩垂直，且，E為的中點．（1）證明：；（2）求直線與所成角的余弦值．【詳解】（1）證明：，所以，所以．（2），，所以，即直線與所成角的余弦值為． 3．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分別是AD，DC的中點．求異面直線MN與BC1所成角的余弦值．【詳解】＝－＝(－)，＝＋＝－＋，所以·＝·＝2＝，又＝＝，＝，所以 cos〈，〉＝＝＝，故異面直線MN與BC1所成角的余弦值為. 4．如圖，在空間四邊形ABCD 中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，則異面直線AB與CD所成角的大小是________．【答案】【詳解】依題意可知CD＝＝，.設(shè)直線AB與CD所成角為α，則cos α＝＝，因為，故α＝.故答案為：題型三、求距離（長度）問題1．如圖，平面，為垂足，，，與平面所成的角為，，則的長等于_____．【答案】【詳解】平面，為垂足，，，與平面所成的角為，，，．故答案為：． 2．如圖，在三棱錐中，底面邊長與側(cè)棱長均為，點，分別是棱，上的點，且，，則的長為______．【答案】【詳解】三棱錐底面邊長與側(cè)棱長均為，三棱錐各個面均為等邊三角形，，，，即．故答案為：. 3．如圖，在平行六面體中，，，則___．【答案】【詳解】，，所以故答案為： 4．如圖所示，在平行四邊形中，，，沿它的對角線將折起，使與成角，求此時兩點間的距離．【答案】或【詳解】四邊形為平行四邊形，，又，，，，在空間四邊形中，與成角，或，又，，當(dāng)時，，，即此時兩點間的距離為；當(dāng)時，，，即此時兩點間的距離為；綜上所述：兩點間的距離為或. 1．如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，E，F分別為AA′和CC′的中點.求證：BF∥ED′.【詳解】證明：,,所以所以∵直線BF與ED′沒有公共點，∴BF∥ED′. 2．如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1．（1）證明：A，E，C1，F四點共面；（2）試用表示．【詳解】（1）因為（）+（）＝（）+（），所以共面，又過同一點A，所以A，E，C1，F四點共面．（2）（）． 3．如圖所示，在正方體中，E，F分別是的中點，求證：E，F，B，D四點共面．【詳解】設(shè)，則，，所以，而E，F，B，D四點不共線，因此，故E，F，B，D四點共面． 4．已知，，，為空間中不共面的四點，且，若，，，四點共面，則實數(shù)______．【答案】【詳解】因為，且，，，四點共面，則，解得，故答案為：. 5．如圖，在三棱柱中，，D，E分別是的中點.求證：（1）平面；（2）平面.(用向量方法證明)【詳解】設(shè).（1），∵，∴，∴，又平面平面，∴平面.（2）易知，∵，∴即兩式相加，整理得，∵，∴，∴.∵，∴.又，∴.又，∴平面. 6．如圖，在三棱柱中，點是的中點，，，，，設(shè)，，.（1）用，，表示，；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）三棱柱中，點是的中點，，，（2），，，，，，，，．所以異面直線與所成角的余弦值是． 7．已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.【詳解】設(shè)，，由題可知：兩兩之間的夾角均為，且，（1）由所以即證.（2）由，又所以，又則又異面直線夾角范圍為所以異面直線夾角的余弦值為. 8．如圖，平行六面體，其中，，，，，，則的長為________【答案】【詳解】根據(jù)題意，根據(jù)題中的數(shù)據(jù)可知，故答案為：. 9．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：(1)的值.(2)線段AC1 的長【詳解】(1)==.(2)選取作為一組基底，則，則======. 0．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，，是的中點，在線段上且．（1）用向量，，表示向量；（2）求向量的模長．【詳解】（1）（2），． 1．二面角的棱上有兩個點、，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為_________.【答案】【詳解】設(shè)平面與平面的夾角為，因為，，所以，由題意得，所以所以，所以，所以，即平面與平面的夾角為.故答案為：或. 2．如圖所示，三棱柱中，，分別是和上的點，且，設(shè)，則的值為___________.【答案】【詳解】由題意三棱柱中，?分別是B?上的點，且，，則，，.故答案為：. 3．已知是空間兩個向量，若，則________．【答案】【詳解】將化為，得，即，解得，所以.故答案為： 4．已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外任一點O，有，且A，B，C，M四點共面，則________．【答案】.【詳解】因為A，B，C，M四點共面，所以存在實數(shù)，使得,因為，所以,又因為，所以，解得，故答案為：. 5．如圖，點為所在平面外一點，點為的中點，若與同時成立，則實數(shù)的值為______．【答案】【詳解】，所以．故答案為：． 6．如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體 ABCD－A1B1C1D1 ，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是________．(填序號)① (＋＋)2＝2()2 ；②·(－)＝0 ；③向量與的夾角是60°；④BD1與AC所成角的余弦值為.【答案】①②【詳解】因為以為端點的三條棱長都相等，且彼此的夾角為，不妨設(shè)棱長為，對于①，，因為，則，所以，故①正確；對于②，因為，故②正確；對于③，因為，顯然為等邊三角形，則，所以向量與的夾角為，向量與的夾角為，故③不正確；對于④，因為，，則，，所以，所以，故④不正確．故答案為：①②． 7．如圖，設(shè)O為?ABCD所在平面外任意一點，E為OC的中點，若，求x，y的值．【答案】【詳解】因為，又，所以. 8．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求證：A，E，C1，F四點共面.【詳解】證明:因為＝＝＋＝，所以，，共面，所以A，E，C1，F四點共面. 9．已知點G是△ABC的重心，O是空間任意一點，若＋＋＝λ，求λ的值．【詳解】連結(jié)并延長，交于，則為中點，且，是的中線，可得．結(jié)合，可得． 10．底面為正三角形的斜棱柱中，為的中點，求證：平面【詳解】證明：記??，則，，，∴，∴??共面，∵平面，∴平面. 11．如圖所示，已知斜三棱柱，點，分別在和上，且滿足，，判斷向量是否與向量，共面．【詳解】．，，由共面向量定理知向量與向量，共面． 12．如圖，已知正方體，點E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值.（1）；（2）【詳解】(1)因為又所以x＝1，y＝－1，z＝1.(2)因為又所以x＝，y＝，z＝1. 13．如圖，在四面體ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.（1）求證：E，F，G，H四點共面；（2）求證：平面EFGH；（3）設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任意一點O，有.【詳解】（1）E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，，，，又E，F，G，H四點不共線，故E，F，G，H四點共面；（2）E，H分別是AB，AD的中點，，，，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；（3）由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點，E，G分別是AB，CD的中點，. 14．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，且，若E、F分別為、的中點.求證：（1）平面；（2）平面.（用向量方法證明）【詳解】（1）依題意E、F分別為、的中點，所以，所以向量共面，又平面平面，所以平面.（2）因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面是正方形，所以平面.設(shè)，則，即，所以，所以，所以，由平面，可得平面. 15．如圖，在三棱錐中，G是的重心（三條中線的交點），P是空間任意一點.（1）用向量表示向量，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)，請寫出點P在的內(nèi)部（不包括邊界）的充分必要條件（不必給出證明）.【詳解】（1）.證明如下：.（2）若，點P在的內(nèi)部（不包括邊界），的充分必要條件是：，且. 16．如圖，在正方體中，，分別是，的中點，求證：平面.【詳解】設(shè)，，，則.則，.∴.∴，即.同理.∵，∴平面. 17．如圖，在直三棱柱'中，，，，分別為，的中點.（1）求證：；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)，，，根據(jù)題意得，且∴，.∴，∴，即.（2）∵，∴，，∵，∴.∴異面直線與所成角的余弦值為. 18．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，M為與的交點，設(shè)，，．(1)用，，表示并求BM的長；(2)求點A到直線BM的距離．【詳解】(1)又，，，故BM的長為．(2)由（1）知，，∴，所以，則為點A到直線BM的距離，又，故點A到直線BM的距離為2． 19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設(shè)，，.(1)試用表示向量；(2)求BM的長.【詳解】(1)(2)，所以，則BM的長為. 20．在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，.（1）求側(cè)棱的長；（2）分別為，的中點，求【詳解】(1)設(shè)，則作為一組基底.，，得，所以；(2) 21．正四面體是由四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等．它有4個面，6條棱，4個頂點．正四面體ABCD中，E，F分別是棱AD、BC中點．求：（1）AF與CE所成角的余弦值；（2）CE與底面BCD所成角的正弦值．【詳解】（1）不妨設(shè)正四面體的邊長為，設(shè)，兩兩成角，則，，設(shè)所成角為，所以，（2）連接，由為中點，則，所以平面，所以平面平面，作于，則平面，由對稱性為的中心，由棱長為，所以，，，作于，由為中點，，連接，，CE與底面BCD所成角的正弦值為. 22．如圖，空間四邊形的各邊及對角線長都為2，E是的中點，F在上，且.（1）用表示；（2）求向量與向量所成角的余弦值.【詳解】（1）因為E是的中點，F在上，且，所以，于是.（2）由（1）得，因此，，又因為，所以向量與向量所成角的余弦值為. 23．如圖，在平行六面體中，兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1，點P在線段BC上，且，記.（1）試用表示；（2）求模.【詳解】（1），.（2）因為AB，AD，兩兩夾角為60°，長度分別為2，3，1.所以，..

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