第3章 不等式綜合測試 一、單選題1．下列命題中正確的是（       ）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】B【解析】【分析】結合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.【詳解】解:選項A.，，等號成立的條件是，等號取不到，所以，故A錯誤；選項B.當時，，，當且僅當時等號成立，故B正確；選項C.，，等號成立的條件是，等號取不到，即，故C錯誤；選項D.當時，，等號成立的條件是，即時，但條件，所以等號取不到，故，故D錯誤.故選：B2．若為實數(shù)，且，則下列命題正確的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】對于A，當時，，可判斷；對于B，舉反例，當，時，代入比較可判斷；對于C，作差 ，由已知可判斷；對于D，運用作差比較法可判斷.【詳解】對于A，當時，，A錯誤；對于B，當，時，，，此時，B錯誤；對于C，因為，所以，又，，C錯誤；對于D，，，，，，D正確.故選：D.3．若x>1，則有（       ）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值-1 D．最大值-1【答案】A【解析】【分析】將給定表達式整理變形，再利用基本不等式即可作答.【詳解】因x>1，則1，當且僅當，即時取等號.所以有最小值為1.故選：A4．若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是（       ）A．m≥1 B．m≥2 C．m≥3 D．m≥4【答案】C【解析】【分析】x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根據(jù)“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要條件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.【詳解】解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要條件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(兩個等號不同時取)m>0.解得m≥3.則實數(shù)m的取值范圍是[3，+∞）.故選：C.5．設一元二次不等式的解集為，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)和是方程的兩個根，由韋達定理解得和，可得結果.【詳解】由題意可知方程的根為，由韋達定理得：，，解得，所以.故選：B.6．對于任意實數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（       ）A．{a|a<2} B．{a|a≤2}C．{a|－2<a<2} D．{a|－2<a≤2}【答案】D【解析】【分析】分a－2＝0和a－2≠0兩種情況進行討論，第一種情況很容易驗證符合題意，第二種情況結合二次函數(shù)的特點，討論開口方向和判別式從而可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】當a－2＝0，即a＝2時，－4<0，恒成立，符合題意；當a－2≠0時，由題意知，，解得－2<a<2，∴－2<a≤2，故選:D．【點睛】易錯點睛:本題的易錯點是忽略了的系數(shù)可能為零這種情況，只根據(jù)二次函數(shù)來求參數(shù)，導致求出參數(shù)的范圍比實際小.7．設，則下列不等式中恒成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】ABD通過舉反例可知錯誤，C利用不等式的性質可證明.【詳解】對于A，例如，，此時滿足，但，故A錯，對于B，例如，，此時滿足，但，故B錯，對于C，，故C正確，對于D，例如，此時滿足，，故D錯，故選：C.【點睛】本題主要考查了由條件不等式判斷不等關系，屬于基礎題.8．已知，，，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（       ）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意可得恒成立，由利用基本不等式求最值即可求解.【詳解】若恒成立，則，因為，當且僅當，即時取等號．所以所以，即，解得：．故選：C【點睛】方法點睛：求不等式恒成立問題常用分離參數(shù)法的方法若不等式（是實參數(shù)）恒成立，將轉化為或恒成立，進而轉化為或，求的最值即可.二、多選題9．已知關于x的不等式的解集為，則（       ）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集判斷出，結合根與系數(shù)關系、一元二次不等式的解法判斷BCD選項的正確性.【詳解】關于的不等式的解集為選項正確；且－2和3是關于的方程的兩根，由韋達定理得，則，則，C選項錯誤；不等式即為，解得選項正確；不等式即為，即，解得或選項正確.故選：.10．設實數(shù)、、滿足，，則下列不等式成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】由已知可得，作差即可比較大小，得出答案.【詳解】∵，兩式相減得，即，∴．又，∴．而．∴，從而．故選：BD．11．已知實數(shù)x，y滿足則（       ）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ABD【解析】利用不等式的性質直接求解.【詳解】因為，所以.因為，所以，則，故A正確；因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；因為，所以，則，故C錯誤；因為，所以，則，故D正確.故選：ABD.12．關于x的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則a的值可以為（       ）A． B．1 C．－1 D．2【答案】AC【解析】【分析】由題意先判斷出，寫出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則這3個整數(shù)中一定有0和1,所以分這3個數(shù)為，或分別計算求解即可.【詳解】不等式的解集中恰有3個整數(shù)當時，不等式化為，則解集中有無數(shù)個整數(shù).當時，不等式的解集中有無數(shù)個整數(shù).所以，，，所以所以不等式的解集為：， 由不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則這3個整數(shù)中一定有0和1.則這3個整數(shù)為：，或 若這3個整數(shù)為：，則，解得： 若這3個整數(shù)為：則，解得：所以實數(shù)的取值集合是.故選：AC.【點睛】本題考查一元二次不等式的解法與應用問題，考查分類討論思想的應用，屬于中檔題.三、填空題13．設m為實數(shù)，若二次函數(shù)在區(qū)間上僅有一個零點，則m的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，要使二次函數(shù)在區(qū)間上僅有一個零點，只需當時，函數(shù)值小于0即可，列出不等式，從而可得答案.【詳解】解：因為二次函數(shù)的對稱軸為，且圖像開口向上，因為函數(shù)在區(qū)間上僅有一個零點，所以當時，，解得.故答案為：.14．若正數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】8【解析】【分析】對等式進行變形，再根據(jù)基本不等式進行求解即可.【詳解】因為，則，又，是正數(shù).所以，當取得等號，即且時取等號，所以的最小值為8，故答案為：815．若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________ m2．【答案】25【解析】【分析】設矩形的一邊為xm，面積為ym2，進而可得另一邊的表示，利用基本不等式求解可得矩形場地的最大面積．【詳解】設矩形的一邊為xm，面積為ym2，則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，∴y＝x(10－x)≤＝25，當且僅當x＝10－x，即x＝5時，ymax＝25．故答案為：2516．若正數(shù)、滿足，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】由可得，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】已知正數(shù)、滿足，則，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，考查了的妙用，考查計算能力，屬于基礎題.四、解答題17．已知關于x的不等式－x2+ax+b>0.(1)若該不等式的解集為（－4，2），求a，b的值；(2)若b=a+1，求此不等式的解集.【答案】(1)a=－2，b=8(2)答案見解析【解析】【分析】（1）由不等式的解集與一元二次方程根的關系得出方程的根，然后由韋達定理列式求解；（2）根據(jù)相應一元二次方程的根的大小分類討論可得．(1)根據(jù)題意得解得a=－2，b=8.(2)當b=a+1時，－x2+ax+b>0?x2－ax－（a+1）<0，即[x－（a+1）]（x+1）<0.當a+1=－1，即a=－2時，原不等式的解集為；當a+1<－1，即a<－2時，原不等式的解集為（a+1，－1）；當a+1>－1，即a>－2時，原不等式的解集為（－1，a+1）.綜上，當a<－2時，不等式的解集為（a+1，－1）；當a=－2時，不等式的解集為?；當a>－2時，不等式的解集為（－1，a+1）.18．若不等式的解集是．(1)解不等式；(2)b為何值時，的解集為R．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）由題意可得和1是方程的兩個根，則有，求出的值，然后解不等式即可，（2）由（1）可知的解集為R，從而可得，進而可求出的取值范圍(1)由題意得和1是方程的兩個根，則有，解得，所以不等式化為，，解得或，所以不等式的解集為或(2)由（1）可知的解集為R，所以，解得，所以的取值范圍為19．汽車在行駛過程中，遇到特別情況需要剎車，從剎車（剎死車輪）到停止汽車所走過的路程稱為剎車距離.已知某汽車的剎車距離s（單位：m）與速度v（單位：）之間的關系可近似表示為.若該汽車在某路段行駛過程中，前方80m處可能會突然出現(xiàn)障礙物，駕駛員從發(fā)現(xiàn)障礙物到剎車需經(jīng)過0.8s的反應時間，為了安全，汽車必須在障礙物前5m處停住.問：這輛汽車在該路段最大限制速度是多少？【答案】27.19【解析】【分析】根據(jù)題意可得，解得即可得出答案.【詳解】解：由題意可知，即，解得，所以這輛汽車在該路段最大限制速度是27.19.20．（1）已知，則取得最大值時的值為？（2）已知，則的最大值為？（3）函數(shù) 的最小值為？【答案】（1）；（2）1；（3）【解析】【分析】（1）積的形式轉化為和的形式，利用基本不等式求最值，并要檢驗等號成立的條件；（2）結構為和的形式轉化為積的形式，并使積為定值，同時要檢驗等號成立的條件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出來，然后再分離，最后用基本不等式求解即可.【詳解】（1），當且僅當，即時，取等號.故所求的值為.（2）因為，所以，則.當且僅當，即時，取等號.故的最大值為1.（3）.當且僅當，即時，取等號.故函數(shù)的最小值為.21．已知函數(shù)的零點為（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若對于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．（3）若對于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】【分析】（1）利用韋達定理求出、的值即可；（2）利用二次函數(shù)的知識求出當時的最大值即可；（3）易得的最小值為12，然后解出不等式即可.【詳解】（1）由題知2和3是方程的兩個根．由根與系數(shù)的關系得即，所以．（2）不等式對于任意恒成立，由于的對稱軸是，由二次函數(shù)的知識可得，當時二次函數(shù)取最大值，所以只需，即，解得或．（3）當時，取得最小值為12，故，即解得，即的取值范圍為22．已知關于x的不等式，其中．（1）當k變化時，試求不等式的解集A；（2）對于不等式的解集A，若滿足（其中Z為整數(shù)集）．試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個數(shù)最少時k的所有取值；若不能，請說明理由【答案】（1）答案不唯一見解析；（2）可以，k=-3.【解析】（1）根據(jù)相應二次函數(shù)的開口方向和二次方程根的大小關系，分，，，和五種情況討論求解. （2）根據(jù)解集A，結合B為有限集，則，在根據(jù)B中元素個數(shù)最少，則最大，利用基本不等式求解.【詳解】（1）當時，不等式化為，此時，不等式的解集是，當時，不等式化為，不等式的解集是，當時，不等式化為，此時，不等式的解集是，當時，不等式化為，不等式的解集是，當時，不等式化為，此時，不等式的解集是，綜上：當時，不等式的解集是，當時，不等式的解集是，當時，不等式的解集是，當時，不等式的解集是，當時，不等式的解集是，（2）若B為有限集，則此時，要使B中元素個數(shù)最少，則最大，，當且僅當，即時，取等號，所以時，集合B中元素最少.【點睛】方法點睛：含有參數(shù)的不等式的解法：往往需要比較(相應方程)根的大小，對參數(shù)進行分類討論：(1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易分解因式，則可對判別式進行分類討論；(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應先考慮二次項是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；(3)其次對相應方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集． 

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