?專題04 方程與不等式
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)1：二元二次方程組的解法
方程
是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng),,叫做一次項(xiàng),6叫做常數(shù)項(xiàng)．
我們看下面的兩個(gè)方程組：

第一個(gè)方程組是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的，第二個(gè)方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．
下面我們主要來研究由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法．
一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解．
知識(shí)點(diǎn)2：一元二次不等式的解法
為了方便起見，我們先來研究二次項(xiàng)系數(shù)a＞0時(shí)的一元二次不等式的解．
我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，設(shè)△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分別為下列三種情況——有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解和沒有實(shí)數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸分別有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和沒有公共點(diǎn)(如圖2.3－2所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）與ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．

（1）
（1）當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2(x1＜x2)，由圖2.3－2①可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解為
x＜x1，或x＞x2；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解為
x1＜x＜x2．
（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－，由圖2.3－2②可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解為
x≠－；
不等式ax2＋bx＋c＜0無解．
（3）如果△＜0，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸沒有公共點(diǎn)，方程ax2＋bx＋c＝0沒有實(shí)數(shù)根，由圖2.3－2③可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解為一切實(shí)數(shù)；
不等式ax2＋bx＋c＜0無解．
今后，我們?cè)诮庖辉尾坏仁綍r(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項(xiàng)系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以－1，將不等式變成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式．
【題型歸納目錄】
題型1：一元二次不等式的解法
題型2：二元二次方程組的解法
【典型例題】
題型1：一元二次不等式的解法
例1．解不等式：
【解析】
由題意，，所以原不等式的解為或.
例2．解不等式：；
【解析】
(1)可得，∴
例3．求下列不等式的解集.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】
(1)解：原不等式即為，解得，
(2)解：將原不等式變形為，
即，解得或，
(3)解：將原不等式變形為，解得，
(4)解：對(duì)于不等式，，故原不等式的解集為.
例4．求不等式的解集：
(1)；
(2)；
【解析】
(1)由，得，
解得或，
(2)由得，，
題型2：二元二次方程組的解法
例1、方程組x-y=0x2+y=2的解是　　　　?。?br /> 【答案】x1=-2y1=-2，x2=1y2=1
【解析】方程組中的兩個(gè)方程相加，即可得出一個(gè)一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．
x-y=0①x2+y=2②，
②+①得：x2+x=2，
解得：x=﹣2或1，
把x=﹣2代入①得：y=﹣2，
把x=1代入①得：y=1，
所以原方程組的解為x1=-2y1=-2，x2=1y2=1，
故答案為x1=-2y1=-2，x2=1y2=1．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元二次方程組，根據(jù)方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)靈活選取合適的方法求解是關(guān)鍵.這里體現(xiàn)的消元與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
例2、已知x、y是有理數(shù)，且x、y滿足，則x+y=　　　　　　　　【答案】1或-7
【解析】由題意得
{2y=-322x2+3y=23 ，
解之得
{x=4y=-3 或{x=-4y=-3
∴x+y=1 或x+y=-7

例3、解方程組y=x+1x2-4xy+4y2=4
【答案】x1=-4y1=-3，x2=0y2=1
【解析】先將②式左邊因式分解，再將①式代入，可求出x,再分別代入①式求出y.
解：y=x+1①x2-4xy+4y2=4②
由②得，x-2y2=4 ③，
把①代入③，得
x-2x+12=4，
即：x+22=4，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x1=-4,x2=0,
把x1=-4,x2=0,分別代入①，得y1=-3,y2=1.
所以，方程組的解是
x1=-4y1=-3，x2=0y2=1
【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：解二元二次方程組.解題關(guān)鍵點(diǎn)：用代入法解方程組.
例4、解方程組：4x2-4xy+y2=1x+2y=3
【答案】x1=1y1=1,x2=15y2=75
【解析】分析：把方程組中的第二個(gè)方程變形為兩個(gè)一元一次方程，與組中的第一個(gè)方程構(gòu)成新方程組，求解即可．
詳解：4x2-4xy+y2=1?②x+2y=3?①
由②得(2x-y)2=1，
所以2x-y=1③，2x-y=-1④
由①③、①④聯(lián)立，得方程組：
2x-y=1x+2y=3，2x-y=-1x+2y=3
解方程組2x-y=1x+2y=3得，y=1x=1
解方程組2x-y=-1x+2y=3得，x=15y=75．
所以原方程組的解為：y1=1x1=1，x2=15y2=75
點(diǎn)睛：本題考查了二元二次方程組的解法，解決本題亦可變形方程組中的①式，代入②式得一元二次方程求解．
例5、解方程組：x2+5xy-6y2=02x-y=1 ①②
【答案】x1=613y1=-113,x2=1y2=1
【解析】試題分析：
把①方程變形為(x+6y)(x-y)=0，從而可得x+6y=0或x-y=0，把這兩個(gè)方程分別和原方程組中的②方程組合得到兩個(gè)新的二元一次方程組，解這兩個(gè)方程組即可.
試題解析：
方程①可變形為(x+6y)(x-y)=0，
得x+6y=0或x-y=0，
將它們與方程②分別組成方程組，得：
（Ⅰ）x+6y=02x-y=0或（Ⅱ）x-y=02x-y=1 ，
解方程組（Ⅰ）x=613y=-113， 解方程組（Ⅱ）x=1y=1
所以原方程組的解是x=613y=-113 ，x=1y=1 .

例6、解方程組： {x+y=3x2-4y2=0
【答案】 {x=2y=1和 {x=6y=-3
【解析】由第一個(gè)方程得到 x=3-y，再代入第二個(gè)方程中，解一元二次方程方程即可求出 y，再回代第一個(gè)方程中即可求出 x．
解：由題意： {x+y=3?(1)x2-4y2=0?(2)，
由方程(1)得到： x=3-y，再代入方程(2)中：
得到： (3-y)2-4y2=0，
進(jìn)一步整理為： 3-y=2y或 3-y=-2y，
解得 y1=1， y2=-3，
再回代方程(1)中，解得對(duì)應(yīng)的 x1=2， x2=6，
故方程組的解為： {x=2y=1和 {x=6y=-3．



【過關(guān)測試】
一、選擇題
1.不等式組5x+2>3(x-1)12x-1≤7-32x的所有非負(fù)整數(shù)解的和是(????)
A. 10 B. 7 C. 6 D. 0
【答案】
A
【解析】解：5x+2>3(x-1)①12x-1≤7-32x②，
解不等式①得：x>-2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式組的解集為：-2.5

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