2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）文科數(shù)學(xué)一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.1、（2019?北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，則AUB=（   ）A. （-1，1）    B. （1，2）   C. （-1，+∞）   D. （1，+∞）【答案】C【解析】【解答】因為所以故答案為：C.【分析】本題考查了集合的并運算，根據(jù)集合A和B直接求出交集即可.2、（2019?北京）已知復(fù)數(shù)z=2+i，則=（   ）A.           B.           C. 3                D. 5【答案】D【解析】【解答】根據(jù)，得，所以，故答案為：D.【分析】根據(jù)z得到其共軛，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運算即可求解.3、（2019?北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（   ）A.        B. y=2-xC.         D. 【答案】A【解析】【解答】A：為冪函數(shù)，，所以該函數(shù)在上單調(diào)遞增；B:指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)大于0小于1，故在上單調(diào)遞減；C：對數(shù)函數(shù)，其底數(shù)大于0小于1，故在上單調(diào)遞減；D：反比例函數(shù)，其k=1>0，故在上單調(diào)遞減；故答案為：A.【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.4、（2019?北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（   ）A. 1            B. 2          C. 3          D. 4【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=，k<3,故執(zhí)行循環(huán)體k=1+1=2，；此時k=2<3，故繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體k=3，，此時k=3，結(jié)束循環(huán)，輸出s=2.故答案為：B.【分析】根據(jù)程序框圖，依次執(zhí)行循環(huán)體，直到k=3時結(jié)束循環(huán)，輸出s=2即可.5、（2019?北京）已知雙曲線（a>0）的離心率是，則a=（   ）A.      B. 4      C. 2      D. 【答案】D【解析】【解答】雙曲線的離心率，故解得，故答案為：D.【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，表示離心率，解方程，即可求出a的值.6、（2019?北京）設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的（   ）A. 充分而不必要條件          B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件               D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【解答】若b=0，則為偶函數(shù)，若為偶函數(shù)，則，所以B=0,綜上，b=0是f（x）為偶函數(shù)的充要條件.故答案為：C.【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可確定充分、必要性.7、（2019?北京）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m1-m2=，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）.己知太陽的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（   ）A. 1010.1          B. 10.1           C. lg10.1      D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)太陽的亮度為,天狼星的亮度為，根據(jù)題意,故，所以；故答案為：A.【分析】根據(jù)已知，結(jié)合指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化即可求出相應(yīng)的比值.8、（2019?北京）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，∠APB是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（   ）A. 4β+4cosβ   B. 4β+4sinβ    C. 2β+2cosβ    D. 2β+2sinβ【答案】B【解析】【解答】設(shè)圓心為O，根據(jù)可知AB所對圓心角故扇形的面積為，由題意，要使陰影部分面積最大，則P到AB的距離最大，此時PO與AB垂直，故陰影部分面積最大值而，，故陰影部分面積最大值故答案為：B.【分析】根據(jù)圓周角得到圓心角，由題意，要使陰影部分面積最大，則P到AB的距離最大，此時PO與AB垂直，結(jié)合三角函數(shù)的定義，表示相應(yīng)三角形的面積，即可求出陰影部分面積的最大值.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分，9、（2019?北京）已知向量=（-4.3），=（6，m），且，則m=              .【答案】8【解析】【解答】根據(jù)兩向量垂直，則數(shù)量積為0，得解得m=8.故答案為8.【分析】根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算即可求解.10、（2019?北京）若x，y滿足.則y-x的最小值為            ，最大值為            .【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目標函數(shù)相應(yīng)的直線，平移該直線，可知在經(jīng)過（2,-1）時取最小值-3，過（2，3）時取最大值1.故答案為-3；1.【分析】作出可行域和目標函數(shù)相應(yīng)的直線，平移該直線，即可求出相應(yīng)的最大值和最小值.11、（2019?北京）設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為            .【答案】【解析】【解答】由題意，拋物線的焦點坐標F（1,0），準線方程：x=-1，焦點F到準線l的距離為2，故圓心為（1,0），半徑為2，所以圓的方程為；故答案為.【分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標和準線方程，即可得到圓心和半徑，寫出圓的標準方程即可.12、（2019?北京）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為            .【答案】40【解析】【解答】根據(jù)三視圖，可知正方體體積，去掉的四棱柱體積，故該幾何體的體積V=64-24=40.故答案為40.【分析】根據(jù)三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求出相應(yīng)的體積即可.13、（2019?北京）已知l，m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：          .【答案】若②③，則①【解析】【解答】若，則垂直于內(nèi)任意一條直線，若，則；故答案為若②③，則①.14、（2019?北京）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付            元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為               .【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，總價60+80=140元，140>120，故顧客可少付10元，此時需要支付140-10=130元；②要保證每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則最低消費滿足條件即可，根據(jù)題意，買草莓兩盒，消費最低，此時消費120元，故實際付款（120-x）元，此時李明得到，故，解得；故最大值為15.故答案為①130；②15.【分析】①根據(jù)已知，直接計算即可；②根據(jù)題意，要保證每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則最低消費滿足條件即可，因此選最低消費求解，即可求出相應(yīng)的最大值.三、解答題共6小題，共80分.15、（2019?北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-.（I）求b，c的值：（II）求sin（B+C）的值.【答案】解：（I）根據(jù)余弦定理，故，解得c=5，B=7；（II）根據(jù)，得，根據(jù)正弦定理，，得，解得，所以，所以.【解析】【分析】（I）根據(jù)余弦定理，解方程即可求出c和b；（II）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，求出sinB，結(jié)合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依據(jù)兩角和的正弦公式，求出sin（B+C）.16、（2019?北京）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列.（I）求{an}的通項公式；（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值.【答案】解：（I）根據(jù)三者成等比數(shù)列，可知，故，解得d=2，故；（Ⅱ）由（I）知，該二次函數(shù)開口向上，對稱軸為n=5.5，故n=5或6時，取最小值-30.【解析】【分析】（I）根據(jù)等比中項，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，求出d，即可求出；（Ⅱ）由（1），求出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出相應(yīng)的最小值.17、（2019?北京）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人（I）估計該校學(xué)生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；（II）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽取1人，求該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率；（III）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中，隨機抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，結(jié)合（II）的結(jié)果，能否認為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.【答案】解：（I）據(jù)估計，100人中上個月A、B兩種支付方式都使用的人數(shù)為100-5-27-3-24-1=40人，故該校學(xué)生中上個月A、B兩種支付方式都使用的人數(shù)為400人；（II）該校學(xué)生上個月僅使用B支付的共25人，其中支付金額大于2000的有一人，故概率為；（III）不能確定人數(shù)有變化，因為在抽取樣本時，每個個體被抽到法機會是均等的，也許抽取的樣本恰為上個月支付抄過2000的個體，因此不能從抽取的一個個體來確定本月的情況有變化.【解析】【分析】（I）根據(jù)題意，結(jié)合支付方式的分類直接計算，再根據(jù)樣本估計總體即可；（II）根據(jù)古典概型，求出基本事件總數(shù)和符合題意的基本事件數(shù)，即可求出相應(yīng)的概率；（III）從統(tǒng)計的角度，對事件發(fā)生的不確定性進行分析即可.18、（2019?北京）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.【答案】（Ⅰ）證明：因為ABCD為菱形，所以，又因為，所以，而，故；（Ⅱ）因為,所以，故為等邊三角形，而E為CD 的中點，故,所以,又因為，所以,因為，所以,又因為，所以；（Ⅲ）存在這樣的F，當F為PB的中點時，；取AB的中點G，連接CF、CG和FG，因為G為AB中點，所以AE與GC平行且相等，故四邊形AGCE為平行四邊形，所以,故在三角形BAP中，F(xiàn)、G分別為BP、BA的中點，所以,故,因為GC和FG均在平面CFG內(nèi)，且,所以，故.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理，證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可；（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的判定定理，證明直線與平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根據(jù)面面平行的判定定理，證明面面平行，即可說明兩平面沒有公共點，因此，一個平面內(nèi)任意一條直線與另一平面均無公共點，即可說明線面平行.19、（2019?北京）已知橢圓C：的右焦點為（1.0），且經(jīng)過點A（0，1）.（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)O為原點，直線l：y=kx+t（t≠±1）與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點.【答案】解：（I）根據(jù)焦點為（1,0），可知c=1，根據(jù)橢圓經(jīng)過（0,1）可知b=1，故，所以橢圓的方程為；（II）設(shè)，則直線，直線，解得,故，將直線y=kx+t與橢圓方程聯(lián)立，得，故，所以，故，解得t=0，故直線方程為y=kx，一定經(jīng)過原點（0,0）.【解析】【分析】（I）根據(jù)焦點坐標和A點坐標，求出a和b，即可得到橢圓的標準方程；（II）設(shè)出P和Q的坐標，表示出M和N的坐標，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，表示OM與ON，根據(jù)，解得t=0，即可確定直線恒過定點（0,0）.20、（2019?北京）已知函數(shù)f（x）=x3-x2+x.（I）求曲線y=f（x）的斜率為1的切線方程；（II）當x∈[-2，4]時，求證：x-6≤f（x）≤x；（Ⅲ）設(shè)F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），記F（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值為M（a）.當M（a）最小時，求a的值.【答案】解（I），令，則，因為，故斜率為1的直線為y=x或，整理得，斜率為1的直線方程為x-y=0或；（II）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x+6，則，令，則，故g（x）在[-2,0]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故g（x）的最小值為g（-2）或，而g（-2）=0，，故，所以，故在[-2,4]上，；構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-x，則，令，則，故h（x）在[-2,0]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故h（x）的最大值為h（0）或h（4），因為h（0）=0，h（4）=0，所以，故在[-2,4]上，，綜上在[-2,4]上，；（Ⅲ）令，則，令，則，故（x）在[-2,0]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（x）的最小值為（-2）=-6-a或，最大值為（0）=-a或（4）=12-a，故其最大值，故當a=3時，M（a）有最小值9.【解析】【分析】（I）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合斜率為1，求出切點坐標，利用點斜式，即可求出相應(yīng)的切線方程；（II）構(gòu)造函數(shù)，要證，只需要證在[-2,4]上和即可，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)極值即可證明；（Ⅲ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，確定M（a）的表達式，即可求出M（a）取最小值時相應(yīng)的a值. 

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