章末復(fù)習(xí)課 一、等差(比)數(shù)列的基本運算1．數(shù)列的基本運算以小題居多，但也可作為解答題第一步命題，主要考查利用數(shù)列的通項公式及求和公式，求數(shù)列中的項、公差、公比及前n項和等，一般試題難度較?。?/span>2．通過等差、等比數(shù)列的基本運算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．例1　在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項，試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn.解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N*.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32.設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，則有解得所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*.所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝＝6n2－22n，n∈N*.反思感悟　在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式an與前n項和公式Sn中，共涉及五個量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，d或q，an，Sn，n的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當然在求解中若能運用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會更好，這樣可以化繁為簡，減少運算量，同時還要注意整體代入思想方法的運用．跟蹤訓(xùn)練1　已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項和為Sn.(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1；(2)在(1)的條件下，若a1＞0，求Sn.解　(1)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a＝1×(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)因為a1＞0，所以a1＝2，所以Sn＝2n＋＝＋，n∈N*.二、等差、等比數(shù)列的判定1．判斷等差或等比數(shù)列是數(shù)列中的重點內(nèi)容，經(jīng)常在解答題中出現(xiàn)，對給定條件進行變形是解題的關(guān)鍵所在，經(jīng)常利用此類方法構(gòu)造等差或等比數(shù)列．2．通過等差、等比數(shù)列的判定與證明，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)．例2　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求數(shù)列{an}的通項公式．解　(1)由條件可得an＋1＝an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．理由如下：由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1，n∈N*.反思感悟　判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法(1)定義法：對于n≥1的任意自然數(shù)，驗證an＋1－an為與正整數(shù)n無關(guān)的常數(shù)．(2)中項公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數(shù)列. ②若a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2且an≠0)，則{an}為等比數(shù)列．(3)通項公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列．(4)前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是公比不為1的等比數(shù)列．跟蹤訓(xùn)練2　已知數(shù)列{an}滿足a1＝，且當n>1，n∈N*時，有＝.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)試問a1a2是否是數(shù)列{an}中的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由．(1)證明　當n≥2時，由＝得an－1－an＝4an－1an，兩邊同除以an－1an，得－＝4.所以數(shù)列是首項＝5，公差d＝4的等差數(shù)列．(2)解　由(1)得＝＋(n－1)d＝4n＋1，所以an＝，所以a1a2＝×＝，假設(shè)a1a2是數(shù)列{an}中的第t項，則at＝＝，解得t＝11∈N*，所以a1a2是數(shù)列{an}中的第11項．三、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1．等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主要涉及數(shù)列的單調(diào)性、最值及其前n項和的性質(zhì)，利用性質(zhì)求數(shù)列中某一項等．試題充分體現(xiàn)“小”“巧”“活”的特點，題型多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔．2．借助等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)．例3　(1)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn取得最大值的n是(　　)A．21  B．20  C．19  D．18答案　B解析　由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，∴a3＝35.同理可得a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n.由得n＝20.∴使Sn取得最大值的n是20.(2)記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m＝________.答案　4解析　因為{an}為等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝a，又由am－1am＋1－2am＝0(am≠0)，從而am＝2.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前(2m－1)項積T2m－1＝a，則22m－1＝128，故m＝4.反思感悟　等差數(shù)列等比數(shù)列若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝aam，am＋k，am＋2k，…仍是等差數(shù)列，公差為kdam，am＋k，am＋2k，…仍是等比數(shù)列，公比為qk若{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等差數(shù)列，則{pan＋qbn}仍是等差數(shù)列若{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則{pan·qbn}仍是等比數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比數(shù)列(q≠－1或q＝－1且m為奇數(shù))若數(shù)列{an}的項數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，＝若數(shù)列{an}的項數(shù)為2n，則＝q若數(shù)列{an}的項數(shù)為2n＋1，則S奇－S偶＝an＋1，＝若數(shù)列{an}的項數(shù)為2n＋1，則＝q 跟蹤訓(xùn)練3　(1)等差數(shù)列{an}的前16項和為640，前16項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為11∶9，則公差d，的值分別是(　　)A．8，  B．9，  C．9，  D．8，答案　D解析　設(shè)S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16，則有S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d，＝＝.由解得S奇＝288，S偶＝352.因此d＝＝＝8，＝＝.(2)在等差數(shù)列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則該數(shù)列的前13項和為(　　)A．13   B．26C．52   D．156答案　B解析　3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，∴S13＝＝＝＝26.四、數(shù)列求和1．數(shù)列求和一直是考查的熱點，在命題中，多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn)．一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，題型多以解答題形式出現(xiàn)，難度中等．2．通過數(shù)列求和，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．例4　已知數(shù)列{an}是n次多項式f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系數(shù)，且f(1)＝.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求f ，并說明f <2.解　(1)設(shè)f(1)＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝，則an＝Sn－Sn－1＝－＝n，n≥2，當n＝1時，a1＝1，S1＝1成立．所以an＝n(n∈N*)．(2)由(1)知f(x)＝x＋2x2＋…＋nxn，所以f ＝＋2×＋3×＋…＋n×，①f ＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)＋n×，②由①－②得f ＝＋＋…＋－n×＝1－－，所以f ＝2－－<2.反思感悟　數(shù)列求和的常用類型(1)錯位相減法：適用于各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積組成的數(shù)列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，兩式錯位相減即可求出Sn.(2)裂項相消法：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如(其中{an}是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列．(3)拆項分組法：把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項)，再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列，最后分別求和．(4)并項求和法：與拆項分組相反，并項求和是把數(shù)列的兩項(或多項)組合在一起，重新構(gòu)成一個數(shù)列再求和，一般適用于正負相間排列的數(shù)列求和，注意對數(shù)列項數(shù)(是奇數(shù)還是偶數(shù))的討論．跟蹤訓(xùn)練4　正項數(shù)列{an}滿足：a－(2n－1)an－2n＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解　(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正項數(shù)列，所以an＝2n，n∈N*.(2)由an＝2n，bn＝，得bn＝＝，Tn＝＝＝.1．(2020·全國Ⅰ)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8等于(　　)A．12  B．24  C．30  D．32答案　D解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝＝＝2，所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.2．(2020·全國Ⅱ)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于(　　)A．2  B．3  C．4  D．5答案　C解析　a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，則an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2為首項，q＝2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2×2n－1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.3．(2019·全國Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1≠0，a2＝3a1，則＝________.答案　4解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以＝＝＝＝4.4．(2019·全國Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝，a＝a6，則S5＝________.答案　解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.5．(2019·全國Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通項公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．解　(1)設(shè){an}的公差為d.由S9＝－a5，即9a5＝－a5，所以a5＝0，得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通項公式為an＝10－2n，n∈N*.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1>0知d<0，故Sn≥an等價于≥(n－5)d，化簡得n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10，n∈N*}．

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