2023年初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第三講   一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理（精講）（解析版）【知識點(diǎn)透析】1、一元二次根的判別式  一元二次方程，用配方法將其變形為：，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：(1) 當(dāng)Δ=時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：(2) 當(dāng)Δ=時，因此，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根：(3) 當(dāng)Δ=時，因此，方程沒有實(shí)數(shù)根．【知識點(diǎn)精講】【例1】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1) 方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；   (2) 方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 (3)方程有實(shí)數(shù)根；      (4) 方程無實(shí)數(shù)根．【解析】： (1) ；  (2) ； (3) ；  (4) ．【變式1】（（2022秋·重慶開州·八年級統(tǒng)考期中）使得關(guān)于x的不等式組有且只有4個整數(shù)解，且關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的所有整數(shù)a的值之和為（    ）A．35 B．30 C．26 D．21【答案】B【分析】先求出不等式組的解集，根據(jù)有且只有4個整數(shù)解可確定a的取值范圍，再通過根的判別式確定a的取值范圍，最后結(jié)合兩個取值范圍找出滿足條件的整數(shù)相加即可．【詳解】解：整理不等式組得：由①得：，由②得：x<4∵不等式組有且只有4個整數(shù)解，∴不等式組的4個整數(shù)解是：3，2，1，0，∴，解得：，∵有實(shí)數(shù)根，∴解得：a≤9，∵方程是一元二次方程，∴a≠5∴，且a≠5，滿足條件的整數(shù)有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故選：B．【變式2】．已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0．（1）求證：這個方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長a＝4，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長．【解答】（1）證明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵無論k取什么實(shí)數(shù)值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴無論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根； （2）解：∵x，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根，設(shè)b＝2k﹣1，c＝2，當(dāng)a、b為腰，則a＝b＝4，即2k﹣1＝4，解得k，此時三角形的周長＝4+4+2＝10；當(dāng)b、c為腰時，b＝c＝2，此時b+c＝a，故此種情況不存在．綜上所述，△ABC的周長為10．【例2】已知實(shí)數(shù)、滿足，試求、的值．【解析】：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：．綜上知：【變式1】（2022秋·湖北武漢·八年級武漢市第一初級中學(xué)?？计谀?/span>已知，，滿足，，，則的值為（    ）A． B．5 C．6 D．【答案】B【分析】首先把，，，兩邊相加整理成，分解因式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出、、的數(shù)值，代入求得答案即可．【詳解】解：，，，，，，，，．故選：B．【變式2】（（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期中）新定義，若關(guān)于的一元二次方程：與，稱為“同類方程”．如與是“同類方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程：與是“同類方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是_________．【答案】【分析】根據(jù)“同類方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數(shù)式的最大值．【詳解】∵與是“同類方程”，∴，∴，∴，解得：，∴∴當(dāng)時，取得最大值為2023．故答案為：．2、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 一元二次方程的兩個根為： 所以：，   韋達(dá)定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：【知識點(diǎn)精講】【例3】若是方程的兩個根，試求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ；  (4) ．【解析】：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 常見的一些變形結(jié)論：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，，，等等．韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想．【例4】．已知關(guān)于x的方程.（1）若，方程兩根分別為，，求和的值；（2）若方程有一正數(shù)，有一負(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】．（1），  （2）   【解析】（1）由，，借助韋達(dá)定理求解.（2）借助韋達(dá)定理表示方程有一正數(shù)，有一負(fù)數(shù)根的等價條件，進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)時，即：因此：（2）【變式1】已知兩不等實(shí)數(shù)a，b滿足，，求的值.【解析】：是一元二次方程的不等實(shí)根則有原式=【變式2】（2022秋·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校校考期末）設(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2．(1)若，求m的值；(2)令T＝＋，求T的取值范圍．【答案】(1)1   (2)0<T≤4且T≠2【分析】首先根據(jù)方程有兩個實(shí)數(shù)根及m是不小于-1的實(shí)數(shù)，確定m的取值范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用含m的代數(shù)式表示出兩根的和、兩根的積．（1）變形x12+x22為（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的兩根的和、兩根的積得方程，解方程根據(jù)m的取值范圍得到m的值；（2）化簡T，用含m的式子表示出T，根據(jù)m的取值范圍，得到T的取值范圍．(1)∵關(guān)于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有兩個實(shí)數(shù)根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的實(shí)數(shù)，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1?x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值為1；(2)T＝＋，======2-2m．∵當(dāng)x=1時，方程為1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴當(dāng)m=1或m=0時，T沒有意義．∴且∴0<2-2m≤4且．即0<T≤4且T≠2．【變式3】．已知是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根．（1）是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（2）若是整數(shù)，求使的值為整數(shù)的所有的值．【答案】（1）不存在k；理由見解析；（2）．【詳解】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使成立．∵一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根∴，又，是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根∴∴，但 ．∴不存在實(shí)數(shù)k，使成立．（2）∵∴要使其值是整數(shù)，只需能整除4，∴，，，注意到，要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為－2，－3，－5．所以的值為【變式4】（2022秋·四川涼山·八年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)一元二次方程的兩根分別為a，b，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：，記，那么______．【答案】100【分析】根據(jù)得到，代入計(jì)算即可．【詳解】∵一元二次方程的兩根分別為a，b，∴，∴，∴，，，∴，故答案為：100．

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