初高中銜接素養(yǎng)提升專(zhuān)題講義第三講   一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理（精講）【知識(shí)點(diǎn)透析】1、一元二次根的判別式  一元二次方程，用配方法將其變形為：，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：(1) 當(dāng)Δ=時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2) 當(dāng)Δ=時(shí)，因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：(3) 當(dāng)Δ=時(shí)，因此，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【知識(shí)點(diǎn)精講】【例1】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；   (2) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 (3)方程有實(shí)數(shù)根；      (4) 方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【解析】： (1) ；  (2) ； (3) ；  (4) ．【變式1】（（2022秋·重慶開(kāi)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）使得關(guān)于x的不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的所有整數(shù)a的值之和為（    ）A．35 B．30 C．26 D．21【答案】B【分析】先求出不等式組的解集，根據(jù)有且只有4個(gè)整數(shù)解可確定a的取值范圍，再通過(guò)根的判別式確定a的取值范圍，最后結(jié)合兩個(gè)取值范圍找出滿(mǎn)足條件的整數(shù)相加即可．【詳解】解：整理不等式組得：由①得：，由②得：x<4∵不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，∴不等式組的4個(gè)整數(shù)解是：3，2，1，0，∴，解得：，∵有實(shí)數(shù)根，∴解得：a≤9，∵方程是一元二次方程，∴a≠5∴，且a≠5，滿(mǎn)足條件的整數(shù)有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故選：B．【變式2】．已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0．（1）求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a＝4，另兩邊長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)b＝2k﹣1，c＝2，當(dāng)a、b為腰，則a＝b＝4，即2k﹣1＝4，解得k，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)＝4+4+2＝10；當(dāng)b、c為腰時(shí)，b＝c＝2，此時(shí)b+c＝a，故此種情況不存在．綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為10．【例2】已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，試求、的值．【解析】：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：．綜上知：【變式1】已知，，滿(mǎn)足，，，則的值為（    ）A． B．5 C．6 D．【答案】B【分析】首先把，，，兩邊相加整理成，分解因式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出、、的數(shù)值，代入求得答案即可．【詳解】解：，，，，，，，，．故選：B．【變式2】新定義，若關(guān)于的一元二次方程：與，稱(chēng)為“同類(lèi)方程”．如與是“同類(lèi)方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程：與是“同類(lèi)方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是_________．【答案】【分析】根據(jù)“同類(lèi)方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數(shù)式的最大值．【詳解】∵與是“同類(lèi)方程”，∴，∴，∴，解得：，∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為2023．故答案為：．2、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個(gè)根為：所以：， 韋達(dá)定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：【知識(shí)點(diǎn)精講】【例3】若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3) ；  (4) ．【解析】：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 常見(jiàn)的一些變形結(jié)論：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，，，等等．韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想．【例4】．已知關(guān)于x的方程.（1）若，方程兩根分別為，，求和的值；（2）若方程有一正數(shù)，有一負(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】．（1），  （2）   【解析】（1）由，，借助韋達(dá)定理求解.（2）借助韋達(dá)定理表示方程有一正數(shù)，有一負(fù)數(shù)根的等價(jià)條件，進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即：因此：（2）【變式1】已知兩不等實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，，求的值.【解析】：是一元二次方程的不等實(shí)根則有原式=【變式2】設(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．(1)若，求m的值；(2)令T＝＋，求T的取值范圍．【答案】(1)1   (2)0<T≤4且T≠2【分析】首先根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根及m是不小于-1的實(shí)數(shù)，確定m的取值范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用含m的代數(shù)式表示出兩根的和、兩根的積．（1）變形x12+x22為（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的兩根的和、兩根的積得方程，解方程根據(jù)m的取值范圍得到m的值；（2）化簡(jiǎn)T，用含m的式子表示出T，根據(jù)m的取值范圍，得到T的取值范圍．(1)∵關(guān)于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的實(shí)數(shù)，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1?x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值為1；(2)T＝＋，======2-2m．∵當(dāng)x=1時(shí)，方程為1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴當(dāng)m=1或m=0時(shí)，T沒(méi)有意義．∴且∴0<2-2m≤4且．即0<T≤4且T≠2．【變式3】．已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若是整數(shù)，求使的值為整數(shù)的所有的值．【答案】（1）不存在k；理由見(jiàn)解析；（2）．【詳解】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使成立．∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴，又，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴∴，但 ．∴不存在實(shí)數(shù)k，使成立．（2）∵∴要使其值是整數(shù)，只需能整除4，∴，，，注意到，要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為－2，－3，－5．所以的值為 【變式4】設(shè)一元二次方程的兩根分別為a，b，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：，記，那么______．【答案】100【分析】根據(jù)得到，代入計(jì)算即可．【詳解】∵一元二次方程的兩根分別為a，b，∴，∴，∴，，，∴，故答案為：100．
初高中銜接素養(yǎng)提升專(zhuān)題課時(shí)檢測(cè)第三講   一元二次方程的判別式與韋達(dá)定理（精講（解析版）（測(cè)試時(shí)間60分鐘）一、單選題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（    ）[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]A.     B. 且    C.     D. 且【解析】∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴ ，解得，且.故選B.【答案】B2.若反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，則的值可以是（  ）A. -2        B. -1           C. 1        D. 2【解析】把兩函數(shù)的解析式組成方程組，再轉(zhuǎn)化為求一元二次方程解答問(wèn)題，求出k的取值范圍，找出符合條件的k的值即可：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=x+2的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，∴無(wú)解，即無(wú)解，整理得x2+2x-k=0，∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。四個(gè)選項(xiàng)中只有-2＜-1，所以只有A符合條件。故選A。【答案】A。3.已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（　?。?/span>A．62 B．63 C．64 D．65【答案】B【分析】把方程的解代入方程得到關(guān)于a的等式，然后利用等式對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．【詳解】∵是一元二次方程的一個(gè)根，∴∴∴故選：4.已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，為方程的根，則（       ）A． B． C． D．【答案】．A【解析】【分析】先由，求出的值，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由解得或，因?yàn)?/span>為正實(shí)數(shù)，所以，又為方程的根，所以，；因此.故選A5．關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根、，滿(mǎn)足，則的值是（       ）A． B． C．或 D．或【答案】．B【解析】【分析】利用韋達(dá)定理結(jié)合判別式求出實(shí)數(shù)的值，再結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值.【詳解】由題意可知，可得，由韋達(dá)定理可得，因?yàn)?/span>，則，原方程為，所以，，故，因此，.故選：B.  二、填空題6．若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，則實(shí)數(shù)m的值為___________.【答案】．【分析】由題知，，再根據(jù)韋達(dá)定理求解得，進(jìn)而解方程得【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，所以，，所以 所以，因?yàn)?/span>，所以，即，解得 因?yàn)?/span>，所以故答案為：7.已知實(shí)數(shù)， 滿(mǎn)足等式，，則的值是______．【答案】【分析】根據(jù)已知判斷出m，n是方程的兩實(shí)數(shù)根，然后利用根與系數(shù)關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵實(shí)數(shù)， 滿(mǎn)足等式，，∴m，n是方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，，∴，故答案為：8．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一個(gè)根，求a2﹣2012a的值為　2012　．【解答】解：∵a是方程x2﹣2013x+1＝0的一個(gè)根，∴a2﹣2013a+1＝0，∴a2＝2013a﹣1，∴原式＝2013a﹣1﹣2012aa111＝2013﹣1＝2012．故答案為：2012．9.觀察下列一組方程：①；②；③；④；…它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，我們稱(chēng)這類(lèi)一元二次方程為“連根一元二次方程”，若也是“連根一元二次方程”，則k的值為____________．【答案】【分析】設(shè)方程的兩根分別是和，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得，可得方程的兩根，繼而根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可得出的值；【詳解】設(shè)方程的兩根分別是和，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得：，解得：，，∴，∴，故答案為：10．對(duì)于一切正整數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的兩個(gè)根記為an、bn，則＝        　．【解答】【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系得an+bn＝n+3，an?bn＝﹣3n2，所以（an﹣3）（bn﹣3）＝anbn﹣3（an+bn）+9＝﹣3n2﹣3（n+3）+9＝﹣3n（n+1），則，∴原式＝＝＝.三、解答題（解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）11.如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，且，求的值．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，再由可得關(guān)于k的方程，求解該方程即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，∴，∵，∴．解方程得：，．∵，∴．12.已知關(guān)于x的一元二次方程 ，其中k為常數(shù)．（1）求證：無(wú)論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；（2）已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，求k的取值范圍；（3）若原方程的一個(gè)根大于3，另一個(gè)根小于3，求k的最大整數(shù)值．解析：（1）證明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴無(wú)論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；（2）解：∵二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，∵二次項(xiàng)系數(shù)a=1，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范圍是k≤1；（3）解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1，x2，根據(jù)題意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．則k的最大整數(shù)值為2．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）k≤1；（3）2．

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