2023年初高中銜接素養(yǎng)提升專(zhuān)題講義第七講   集合間的基本關(guān)系（精講）（解析版）【知識(shí)點(diǎn)透析】一、子集與真子集的定義與表示1、子集：如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集。記作AB或(BA)【注意】（1）子集是刻畫(huà)兩個(gè)集合之間關(guān)系的，它反映的是局部與整體之間的關(guān)系(而元素與集合之間的關(guān)系是個(gè)體與整體之間的關(guān)系)．（2）并不是任意兩個(gè)集合之間都具有包含關(guān)系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因?yàn)?/span>2∈A，但2?B，所以A不是B的子集；同理，因?yàn)?/span>3∈B，但3?A，所以B也不是A的子集．二、空集1、定義：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為?，并規(guī)定：空集是任何集合的子集．在這個(gè)規(guī)定的基礎(chǔ)上，結(jié)合子集和真子集的有關(guān)概念，可以得到：（1）空集只有一個(gè)子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，?，{?}的關(guān)系 ?與0?與{0}?與{?}相同點(diǎn)都表示無(wú)的意思都是集合都是集合不同點(diǎn)?是集合；0是實(shí)數(shù)?中不含任何元素；{0}含一個(gè)元素0?不含任何元素；{?}含一個(gè)元素，該元素是?關(guān)系0???{0}?{?}或?∈{?}三、子集的性質(zhì)（1）規(guī)定：空集是任意一個(gè)集合的子集．也就是說(shuō)，對(duì)任意集合A，都有??A.（2）任何一個(gè)集合A都是它本身的子集，即A?A.（3）如果A?B，B?C，則A?C.（4）如果AB，BC，則AC.【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視1，造成思考問(wèn)題不全面．四、子集的個(gè)數(shù)如果集合A中含有n個(gè)元素，則有（1）A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．（2）A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．（3）A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．五、韋恩圖在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上的封閉曲線的內(nèi)部表示集合，這種圖叫做Venn圖。【注意】（1）表示集合的韋恩圖是是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線。（2）維恩圖的有點(diǎn)是形象直觀，缺點(diǎn)是公共特征不明顯，畫(huà)圖時(shí)要注意區(qū)分大小關(guān)系。【知識(shí)點(diǎn)精講】題型一 集合間關(guān)系的判斷【例題1】．（2022·四川綿陽(yáng)高一單元測(cè)試）已知集合，則下列選項(xiàng)中說(shuō)法不正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷選項(xiàng)B，根據(jù)集合與集合的關(guān)系判斷選項(xiàng)A、C、D.【詳解】由題意得，集合．所以，B錯(cuò)誤；由于空集是任何集合的子集，所以A正確；因?yàn)?/span>，所以C、D中說(shuō)法正確．故選：B．【例題2】．（2022·山東泰安高一檢測(cè)）已知集合，集合與的關(guān)系如圖所示，則集合可能是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圖可得，由選項(xiàng)即可判斷.【詳解】解：由圖可知：，，由選項(xiàng)可知：，故選：D.【變式1】(2022?寶雞市高一檢測(cè)模擬）已知集合，則下列關(guān)系正確的是（    ）A．        B．        C．        D．?【答案】C【解析】因?yàn)榧?/span>，所以根據(jù)子集的定義可知，故選：C.【變式2】（2022?山東濟(jì)寧模擬）已知集合，則下列關(guān)系中正確的是　　A． B． C． D．【答案】C【解析】集合，中，0是一個(gè)元素，元素與集合之間是屬于或者不屬于關(guān)系，故錯(cuò)誤；中，不成立，不對(duì)，故錯(cuò)誤；中，空集是任何集合的子集，故正確；中，集合與集合之間是真子集或者子集以及相等關(guān)系，故錯(cuò)誤；故選C．題型二  子集、真子集、空集的概念【例3】（2022·南京市第十三中學(xué)高一月考）已知集合，則集合A的真子集個(gè)數(shù)為（    ）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】．D【解析】由題意得集合所以集合的真子集個(gè)數(shù)為：．故選：D．【例題4】．（2022·河南鄭州高一期末）定義，，，設(shè)集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，則A*B集合的真子集的個(gè)數(shù)是（　?。?/span>A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的個(gè)數(shù)【詳解】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，則A*B集合的真子集的個(gè)數(shù)是24﹣1＝15個(gè)，故選：B【例5】（2023·渝中·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）已知集合，非空集合滿(mǎn)足：（1）；（2）若，則，則集合的個(gè)數(shù)是（    ）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】．C【解析】滿(mǎn)足條件的集合應(yīng)同時(shí)含有或或或0，又因?yàn)榧?/span>非空，所以集合的個(gè)數(shù)為個(gè)【變式1】（2023·江蘇無(wú)錫高一專(zhuān)題檢測(cè)）已知集合，則滿(mǎn)足條件的A的個(gè)數(shù)為（       ）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】A【分析】根據(jù)題意A中必須有1，2這兩個(gè)元素，因此A的個(gè)數(shù)應(yīng)為集合4，5，的子集的個(gè)數(shù)．【詳解】解：因?yàn)?/span>，集合A中必須含有1，2兩個(gè)元素，可以含有元素3，4，5，6，因此滿(mǎn)足條件的集合A為，2，，2，，2，，2，，2，3，，2，3，，2，3，，2，4，，2，4，，2，5，，2，3，4，，2，3，4，，2，3，5，，2，4，5，，2，3，4，5，共16個(gè)．故選：A．【變式2】（2022·福建省南安市柳城中學(xué)高一月考）已知集合，則集合A的真子集個(gè)數(shù)為（    ）A．32 B．4       C．5   D．31【答案】．D【解析】解：因?yàn)?/span>，且的約數(shù)有1，2，3，4，6，12，當(dāng)時(shí)，，則，故不符題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，則，故符合題意，當(dāng)時(shí)，，則，故符合題意，當(dāng)時(shí)，，則，故符合題意，當(dāng)時(shí)，，則，故符合題意，當(dāng)時(shí)，，則，故符合題意，所以，所以集合A的真子集個(gè)數(shù)為.故選：D．題型三 與空集有關(guān)的問(wèn)題【例題6】．（2022·湖北武漢一中高一期中）以下四個(gè)選項(xiàng)中，所表示的集合不是空集的是A．   B．  C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空集含義逐一判斷.【詳解】表示空集, 表示以空集為元素的集合，不是空集；因?yàn)?/span>無(wú)實(shí)數(shù)解，所以；故選：B【例7】（2023·江蘇高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】．【解析】解：分兩種情況考慮：①若B不為空集，可得：，解得：，，且，解得：，②若B為空集，符合題意，可得：，解得：.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【變式1】（2022·陜西寶雞高一課時(shí)練習(xí)）下列命題：①空集沒(méi)有子集；②任何集合至少有兩個(gè)子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，則A≠?.其中正確的個(gè)數(shù)是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】．B【解析】①錯(cuò)，空集是任何集合的子集，有???；②錯(cuò)，如?只有一個(gè)子集；③錯(cuò)，空集不是空集的真子集；④正確，因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?/span>故選：B．【變式2】（2022·銀川一中高一課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)集合中，是空集的是（    ）A． B．C． D．【答案】．D【解析】選項(xiàng)A，；選項(xiàng)B，；選項(xiàng)C，；選項(xiàng)D，，方程無(wú)解，.選:D.題型四 集合關(guān)系的應(yīng)用【例8】．（2020·廣西·象州縣中學(xué)高一階段檢測(cè)）已知，，，且不是空集，（1）求集合的所有可能情況； （2）求、的值.【答案】（1）或或；（2）或或.【解析】（1）解出集合，根據(jù)且可得出所有可能的集合；（2）根據(jù)（1）中集合所有可能的情況，結(jié)合韋達(dá)定理可求得、的值.【詳解】（1），且，則或或；（2）若，由韋達(dá)定理可得，解得；若，由韋達(dá)定理可得，解得；若，由韋達(dá)定理可得，解得.綜上所述，或或.【例9】．（2021·河北保定高一檢測(cè)）設(shè)，集合，，且，求實(shí)數(shù)x，y 的值【答案】．或【解析】由得 : 解得    或   【例題10】．（2022·江蘇常州高一月考）設(shè)集合，，且．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求集合A的子集的個(gè)數(shù)．【答案】(1){或}   (2)【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分類(lèi)討論求解；（2）確定集合中元素（個(gè)數(shù)），然后可得子集個(gè)數(shù)．（1）當(dāng)即時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，有，解得．綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是或；（2）當(dāng)時(shí)，，所以集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè)．【變式1】．（2022·銀川一中高一課時(shí)檢測(cè)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)組成的集合為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】若，所以或，解出的值，將的值代入集合，檢驗(yàn)集合的元素滿(mǎn)足互異性.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得，或，解得，當(dāng)時(shí)，，，，滿(mǎn)足題意.當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足集合的互異性.當(dāng)時(shí)，，，若，滿(mǎn)足題意.當(dāng)時(shí)，，，若，滿(mǎn)足題意.故選：C.【變式2】．（2020·曲靖市關(guān)工委麒麟希望學(xué)校高一期中）已知M={x| ?2≤x≤5}， N={x| a+1≤x≤2a?1}.（1）若MN，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若MN，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】．．（1）空集；（2）.【解析】（1）由得：無(wú)解；故實(shí)數(shù)的取值范圍為空集；（2）由得：當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，故；綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型五：根據(jù)集合的相等關(guān)系求參數(shù)【例題11】．（2023·山西大同高三專(zhuān)題模擬）已知集合，則與集合相等的集合為（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出每個(gè)選項(xiàng)的集合，即可比較得出.【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，故D正確.故選：D.【例12】（2022·四川綿陽(yáng)高一專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知集合，當(dāng)，求的值；（2）已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】．．（1）1；（2）.【解析】（1）若，則，，不合題意；若，則或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合題意；若，則或，都不合題意；因此，所以.（2），，∴借助數(shù)軸可得，的取值范圍為.【變式1】．（2022·江蘇高一檢測(cè)）已知集合與集合{a2，a+b，0}是兩個(gè)相等的集合，求a2 020+b2 020的值.【答案】．．a2 020+b2 020=1【解析】由a，，1組成一個(gè)集合，可知a≠0，a≠1，由題意可得＝0，即b＝0，此時(shí)兩集合中的元素分別為a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1 (a＝1不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋0＝1.【變式2】．（2023·湖北武漢高一檢測(cè)）（1）已知集合A＝{x|mx2﹣2x+3＝0，m∈R}，若A有且只有兩個(gè)子集，求m的值．（2）若a，b∈R，集合，求b﹣a的值．【答案】．．（1）0或；（2）2.【解析】（1）集合A＝{x|mx2﹣2x+3＝0，m∈R}，若A有且只有兩個(gè)子集，則方程mx2﹣2x+3＝0有且只有一個(gè)根，當(dāng)m＝0時(shí)，滿(mǎn)足，當(dāng)△＝4﹣12m＝0，即m＝，滿(mǎn)足，故m的值為0或，（2）a、b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，，b}，則a≠0，即a+b＝0，則b＝﹣a，此時(shí){1，0，a}＝{0，﹣1，b}，則a＝﹣1，b＝1，∴b﹣a＝2.

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