初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第二講   分式和根式類問(wèn)題的延伸（精講）【知識(shí)點(diǎn)透析】【知識(shí)點(diǎn)一】  分式的相關(guān)知識(shí)1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：； ．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【知識(shí)點(diǎn)精講】【例1】若，求常數(shù)的值．【解析】： ∵，　　   ∴   解得  ．【變式1】已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】根據(jù)分式的乘除法法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出x、y，代入計(jì)算即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，，∴原式．【例2】觀察下列各式：①；        ②；     ③；        ④…（1）請(qǐng)用以上規(guī)律計(jì)算：__________；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）2019．【分析】（1）將化解為題目中的規(guī)律的形式，根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意規(guī)律計(jì)算即可求m得值．【詳解】解：（1），，，，；故答案為：；（2）由規(guī)律可得即解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原分式方程的解．∴的值為2019．【變式1】（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計(jì)算：；（3）證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)n， 有．【解析】（1）證明：∵，∴（其中n是正整數(shù)）成立．   （2）解：由（1）可知 ＝．（3）證明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整數(shù)， ∴一定為正數(shù)，∴＜．【變式2】下列一組方程：①，②，③，…，小晶通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)了其中蘊(yùn)含的規(guī)律，并順利的求出了前三個(gè)方程的解，她的解題過(guò)程如下：由①得：，解是x=1或x=2;由②得：，解是x=2或x=3;由③得：，解是x=3或x=4.請(qǐng)根據(jù)以上小晶發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問(wèn)題：（1）第④個(gè)方程是         ，解是：          ；（2）若n為正整數(shù)，則第n個(gè)方程是          ，解是：         ；（3）若n為正整數(shù)，求關(guān)于x的方程的解．【答案】（1）；或；（2）；或；（3）方程的解是x=n+3或x=n+4．【分析】（1）根據(jù)已知方程的規(guī)律即可寫(xiě)出結(jié)論；（2）根據(jù)已知方程的規(guī)律即可寫(xiě)出結(jié)論；（3）將方程兩邊同時(shí)減去3，類比已知方程規(guī)律可得或，從而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）解是：或經(jīng)檢驗(yàn)：或是原方程的解故答案為：； 或；（2）解是：或經(jīng)檢驗(yàn)：或是原方程的解故答案為：；或；（3） 則或 解得：x=n+3或x=n+4,經(jīng)檢驗(yàn)，x=n+3或x=n+4是原方程的解．所以，方程的解是x=n+3或x=n+4．【例3】觀察下列不等式：①；②；③；根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）完成第個(gè)不等式：___________；（2）寫(xiě)出你猜想的第個(gè)不等式：_____________(用含的不等式表示)；（3）利用上面的猜想，比較和的大?。?/span>【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】(1)根據(jù)給出的不等式寫(xiě)出第5個(gè)不等式；(2)根據(jù)不等式的變化情況找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答；(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律計(jì)算，即可比較大小．【詳解】(1)①， ②， ③，  ，則第5個(gè)不等式為：，故答案為：；(2)第n個(gè)不等式為：，故答案為：； (3)，其理由是：由(2)得：，即，∴，∴，則．  【例4】閱讀下面的解題過(guò)程：已知：，求的值．解：知，所以，即．所以．故的值為．該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的題目：已知：，求的值．【答案】【分析】由同時(shí)取倒數(shù)，可得，方程左側(cè)分子、分母同時(shí)除以，可得，取倒數(shù)后分子、分母同時(shí)除以可得，化為完全平方公式的形式得，將的值代入即可求解．【詳解】解：由知，∴，即，∴．∴．【知識(shí)點(diǎn)二】根式類問(wèn)題一、基本知識(shí)一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．其性質(zhì)如下： (1)             (2) (3)  (4) 二次根式的意義二、拓展知識(shí)2.1無(wú)理式：根號(hào)下含有字母的式子并且開(kāi)不盡方的根式叫做無(wú)理式.例如：，是無(wú)理式，而不是無(wú)理式2.2分母有理化：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同時(shí)乘分母的有理化因式.例如：.2.3有理化因式：兩個(gè)含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做互為有理化因式.常用的有理化因式有：①與    ②與【知識(shí)點(diǎn)精講】【例5】將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）；    （2）；   （3）．【解析】： （1）；（2）；（3）．【變式1】與最接近的整數(shù)是（　?。?/span>A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C解：原式=，∵49<63<64， ∴，∵， ∴，∴最接近8，∴最接近8-3即5，故選：C．【變式2】化簡(jiǎn)下列各式：(1)   (2) 【解析】：(1) 原式=*(2) 原式=【例6】閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：在進(jìn)行類似于二次根式的運(yùn)算時(shí)，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）請(qǐng)用兩種不同的方法化簡(jiǎn)：；（2）化簡(jiǎn)：．【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣；方法二：原式＝＝﹣；（2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝﹣． 【變式1】化簡(jiǎn)：．【解析】解：原式＝＝ ＝＝．【變式2】 滿足不等式的整數(shù)m的個(gè)數(shù)是_____．【答案】7解：∵，，∴ ，，∵<m<，∴3.312<m<10.472，∵3.3121與10.472之間的整數(shù)有4、5、6、7、8、9、10，共7個(gè)，∴整數(shù)m的個(gè)數(shù)是7，故答案為：7．【變式3】觀察下列二次根式化簡(jiǎn)：﹣1，，?從中找出規(guī)律并計(jì)算＝___．【答案】解：原式，故答案是：2021．【例7】數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開(kāi)方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何將雙重二次根式化簡(jiǎn)．我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x，y)和Q(x，y′)給出如下定義：若則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)(3，2)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(3，2)，點(diǎn)(﹣2，5)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(﹣2，﹣5)．問(wèn)題：（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為　  　   ，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為　　  ；（2）化簡(jiǎn)：【答案】（1），；（2）；解：（1）根據(jù)題目意思， ∵和,點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，故答案為：，；（2）∵2+5=7,2×5=10,  ∴；【變式1】先閱讀然后解答問(wèn)題：化簡(jiǎn)解：原式＝根據(jù)上面所得到的啟迪，完成下面的問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：（2）化簡(jiǎn)：．【解答】解：（1），＝，＝，＝﹣2；（2）∵（）2，＝4++2+4﹣，＝8+2，＝10，∴＝．【變式2】化簡(jiǎn)：（1）；         （2）．【解析】（1）原式．（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．【例 8】已知，求的值 ．【解析】：∵，，∴．【變式1】：先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．【解析】解：（2）原式＝?＝，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]當(dāng)x＝1+，y＝1﹣時(shí)，原式＝＝＝．
初高中銜接素養(yǎng)提升專題課時(shí)檢測(cè)第二講   分式和根式類問(wèn)題的延伸（精練）（測(cè)試時(shí)間60分鐘）一、單選題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．分式與都有意義的條件是（　　）A．x B．x≠﹣1 C．x且x≠﹣1 D．以上都不對(duì)【解答】解：由分式與都有意義，得2x﹣3≠0且x+1≠0，解得x≠，x≠1，故選：C．2.對(duì)于非負(fù)整數(shù)x，使得是一個(gè)正整數(shù)，則符合條件的個(gè)數(shù)有（    ）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】將看作一個(gè)整體，把代數(shù)式中的分子運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形，再根據(jù)正整數(shù)的特性即可得．【詳解】解：，為非負(fù)整數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)，的所有可能取值為，即符合條件的個(gè)數(shù)有4個(gè)，故選：B．3．已知a＝+2，b＝2﹣，則a2020b2019的值為（　?。?/span>A．﹣﹣2 B．﹣+2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，∴a2020b2019＝（ab）2019?a＝[（+2）（2﹣）]2019?（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2．故選：A．4.若式子不論取任何數(shù)總有意義，則的取值范圍是（       ）A． B． C．且 D．【答案】D【詳解】解：若對(duì)任意總有意義，則恒成立，的最小值為，，即．故選：D．5.已知，關(guān)于x的分式方程有增根，且，則的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先解分式方程，用含有字母m的式子表示x，再根據(jù)方程有增根求出m的值，然后將m的值代入得出關(guān)于a，b的等式，再配方根據(jù)完全平方公式的非負(fù)性求出a和b的值，即可得出答案．【詳解】，解得．∵分式方程有增根，∴x-4=0，即x=4，∴6-m=4，解得m=2．當(dāng)m=2時(shí)，，即，解得a=-1，b=3．則a+b=-1+3=2．故選：B．6.已知關(guān)于的分式方程無(wú)解，則的值為（    ）A． B．或 C． D．或或【答案】D【分析】先求出分式方程的解，無(wú)解時(shí)，解中的分母為0或解等于±2即可.【詳解】解：由得x=∵分式方程無(wú)解∴=±2或m+4=0∴m=0或m=-8或∴或或故答案為D.二、填空題7.若分式方程無(wú)解，則______．【答案】或2【分析】先把k看作已知，解分式方程得出x與k的關(guān)系，再根據(jù)分式方程無(wú)解，進(jìn)一步即可求出k的值．【詳解】解：在方程的兩邊同時(shí)乘以x－1，得 ，解得．∴當(dāng)k=2時(shí)，上述一元一次方程，即原分式方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，有，∵分式方程無(wú)解，∴，解得，故答案為：或2．8．計(jì)算：＝ ____．【答案】解：原式= ．故答案為：．9解方程：①的解x=　   　．②的解x=　   　．③的解x=　   　．④的解x=　   　．…（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫(xiě)出⑤，⑥個(gè)方程及它們的解．（2）請(qǐng)你用一個(gè)含正整數(shù)n的式子表示上述規(guī)律，并求出它的解．【答案】①x=0②x=1③x=2④x=3（1）x=4，x=5（2）x=n﹣1【詳解】試題分析：（1）等號(hào)左邊的分母都是，第一個(gè)式子的分子是1，第二個(gè)式子的分子是2，那么第5個(gè)式子的分子是5，第6個(gè)式子的分子是6．等號(hào)右邊被減數(shù)的分母是，分子的等號(hào)左邊的分子的2倍，減數(shù)是1，第一個(gè)式子的解是，第二個(gè)式子的解是，那么第5個(gè)式子的解是第6個(gè)式子的解是．（2）由（1）得第個(gè)式子的等號(hào)左邊的分母是，分子是，等號(hào)右邊的被減數(shù)的分母是，分子是，減數(shù)是1，結(jié)果是試題解析：①，②，③，④ （1）第⑤個(gè)方程：解為 第⑥個(gè)方程：解為 （2）第個(gè)方程：解為 方程兩邊都乘 得解得三、解答題（解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）10．小芳在解決問(wèn)題：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣分析與解的：a＝＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1請(qǐng)你根據(jù)小芳的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：(1)計(jì)算：．(2)若．①求4a2﹣8a﹣1的值；②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．【答案】(1)(2)①3；②﹣18(1)解：=（-1）+（-）+（-）+…+（-）=-1；(2)解：①∵a=+1，∴a?1=，∴(a?1)2=2，∴a2?2a=1，∴4a2﹣8a﹣1=4（a2﹣2a）﹣1=4×1-1=3；②∵a2?2a=1，∴3a3﹣12a2+9a﹣12=3a（a2﹣2a）-6a2+9a-12=3a-6a2+9a-12=-6（a2﹣2a）-12=﹣18．11.判斷下列各式是否成立：；；．(1)類比上述式子，再寫(xiě)出兩個(gè)同類型的式子．(2)根據(jù)以上式子你能得出其中的規(guī)律嗎？用字母表示這一規(guī)律，并給出證明．【答案】(1)，(2)規(guī)律：，證明見(jiàn)解析  【解析】(1)，，(2)規(guī)律：．證明：12.在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)遇到如，這樣的式子，可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：；，以上這種化簡(jiǎn)的方法叫做分母有理化．請(qǐng)化簡(jiǎn)下列各題（寫(xiě)出化簡(jiǎn)過(guò)程）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)  (1)；(2)；(3)＋……＋．．

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