初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第四講   常見不等式的解法（精講）【知識點透析】1、一元二次不等式的解法（1）定義：只含有 一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 且系數(shù) 不等于零的不等式.（2）一般形式：（3）解法：                        二次函數(shù)（）的圖象 一元二次方程  有兩相異實根   有兩相等實根      無實根       全體實數(shù)       無解       無解注：一元二次不等式二次項系數(shù)小于零的，同解變形為二次項系數(shù)大于零。[來源:學(xué)科網(wǎng)Z【知識點精講】【例1】 解下列一元二次不等式（1）         （2）            （3）         （4）　【解析】：（1） ∴（2）， ∴（3） ∴（4） ∴無解【變式1】如圖，拋物線與直線交于，兩點，則關(guān)于的不等式的解集是________．【答案】解：∵不等式ax2﹣kx＋c＜b可變形為，∴圖象上拋物線在直線下方時對應(yīng)x的范圍即為不等式的解集，觀察函數(shù)圖象可知：當時，拋物線在直線的下方，∴不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集為，故答案為：．【變式2】．解關(guān)于x的不等式解：原不等式可以化為：若即則或若即則     若即則或【例2】 不等式的解為，求關(guān)于的不等式的解【解析】：是一元二次方程的兩個不等實根由韋達定理，得不等式，，∴不等式解：【變式1】已知不等式的解集為，則不等式的解集為______．【答案】【詳解】因為不等式的解集為，所以，可得，所以可化為，因為，所以可化為，即，解得：或，所以不等式的解集為.故答案為：.【例3】  已知關(guān)于x的不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。【解析】：（1）當，即或時，若時，，成立；當時，，舍[來源:Zxxk.Com]（2）當時，，得： 綜上：【變式】若不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍是（    ）A．     B．    C．或    D．或【答案】A【詳解】對一切實數(shù)都成立，①時，恒成立，②時，，解得，綜上可得，.故選：A.2、簡單分式不等式的解法形如或（其中為整式且）的不等式稱為分式不等式（fractional inequality）. 通常，我們把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，注意接下來第一步把最高次項的系數(shù)化為正數(shù). （I）           （II）   對于不是標準形式的，要先移項通分化到形如或再按照上面的方法求解. 【知識點精講】【例4】 解不等式：．【解析】：解法1：化為兩個不等式組來解：∵x∈φ或，∴原不等式的解集是．解法2：類似于一元二次不等式的解法，運用“符號法則”將之化為兩個一元一次不等式組處理；或者因為兩個數(shù)(式)相除異號，那么這兩個數(shù)(式)相乘也異號，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．∵，∴原不等式的解集是.【例5】解不等式．【解析】：原不等式可化為：，所以原不等式的解集為． 【變式1】解關(guān)于的不等式．【答案】或【詳解】，解得或，所以不等式的解集為或，【變式2】解下列不等式(1)   (2)【答案】(1)或(2)(3)或【詳解】（1）可化為，解得：或，所以原不等式的解集為：或.（2）可化為，解得：，所以原不等式的解集為：.3、簡單的高次不等式的解法【知識點精講】【例6】解不等式：；【解析】：解法一（列表法）：①檢查各因式中的符號均正；②求得相應(yīng)方程的根為：，1，3；③列表如下： -2     1     3x+2-+++x-1--++x-3---+各因式積-+-+④由上表可知，原不等式的解集為：．列表法，解題步驟是：①將不等式化為形式（各項的系數(shù)化為正數(shù)），令，求出各根，不妨稱之為分界點，一個分界點把（實數(shù)）數(shù)軸分成兩部分，個分界點把數(shù)軸分成部分……；②按各根把實數(shù)分成的部分，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列（由對應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列）；③計算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號，下面是乘積的符號；④看下面各因式積的符號寫出不等式的解集．解法二：（穿根法）①的根是，1，3，在數(shù)軸上表示這三個數(shù)，②由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點③若不等式（的系數(shù)化“+”后）是“> 0”，則找“線”在軸上方的區(qū)間；若不等式是“< 0 ”,則找“線”在軸下方的區(qū)間. 由圖可知，原不等式的解集為：．穿根法，解題步驟是：①將不等式化為)形式，并將各因式的系數(shù)化“+”；②求根，并在數(shù)軸上表示出來；③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點（為什么？）；④若不等式（的系數(shù)化“+”后）是“>0”，則找“線”在軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”，則找“線”在軸下方的區(qū)間．注意：奇穿偶不穿 【例7】 解不等式：【解析】：：①檢查各因式中x的符號均正；②求得相應(yīng)方程的根為：，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個根穿一次（自右上方開始），如下圖：④∴原不等式的解集為：.說明：∵3是三重根，∴在C處穿三次，2是二重根，∴在B處穿兩次，結(jié)果相當于沒穿.由此看出，當左側(cè)f(x)有相同因式時，為奇數(shù)時，曲線在點處穿過數(shù)軸；為偶數(shù)時，曲線在點處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿” ．【變式訓(xùn)練1】不等式的解集是______.【答案】或，【解析】不等式等價為且，∴或，∴不等式的解集是或，【變式2】．求下列不等式的解集（1）；          （2）.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：(1)將不等式進行恒等變形，結(jié)合數(shù)軸穿根法可知原不等式解集為；(2) 將不等式進行恒等變形，注意到奇穿偶不穿，可知不等式解集為.試題解析：（1）原不等式等價于≤0 ≤0 由數(shù)軸穿根法可知原不等式解集為；（2）不等式即，注意到奇穿偶不穿，利用數(shù)軸穿根法可知不等式解集為.4、絕對值不等式的解法表示實數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點到原點的距離. 因此，求不等式的解集就是求在數(shù)軸上到原點的距離小于的點所對應(yīng)的實數(shù)的集合.  的解集的解集【知識點精講】【例8】  求下列不等式的解集. （1）               （2）   【答案】                             【答案】 【解析】  -5<2x-3< 5                      【解析】 x2-3x>4  或 x2-3x<-4        解得 -1<x<4                               解得  x< -1   或  x>4  （3）                    （4）【答案】         【答案】【解析】                     【解析】【變式1】、不等式的解為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化去絕對值，移項合并即可【詳解】解：因為，所以，解得，故選：C【變式2】．不等式≥1的實數(shù)解為________．【解析】　≥1?|x＋1|≥|x＋2|，且x＋2≠0.∴x≤－且x≠－2.【答案】　    
初高中銜接素養(yǎng)提升專題課時檢測第五講   常見不等式的解法（精練）（測試時間60分鐘）一、單選題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．不等式的解集是（   ）A．或    B．或   C．    D． 【解析】由，可得；，所以原不等式的解集為。【答案】C2．關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集為－1<x<2，則關(guān)于x的不等式bx2－ax－2>0的解集為(　　)A．－2<x<1    B．x>2或x<－1    C．x>1或x<－2 D．x<－1或x>1【答案】C【解析】　∵ax2＋bx＋2>0的解集為－1<x<2，∴解得∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2.3．若0<t<1，則不等式(x－t)<0的解集為(　　)A.   B.  C.   D.【答案】D　【解析】[t∈(0,1)時，t<，∴解集為.]4．一元二次不等式kx2+2（2k+1）x+9＞0對一切實數(shù)x恒成立，則k的取值范圍是（　?。?/span>A．（0，1） B． C． D．（0，+∞）【解答】解：設(shè)f（x）＝kx2+2（2k+1）x+9，當k＝0時，f（x）＝2x+9＞0，解得，不合題意；當k≠0時，則，解得；綜上，實數(shù)k的取值范圍為．故選：B．5．不等式|x2－2|＜2的解集是(　　)A．(－1,1)     B．(－2,2)     C．(－1,0)∪(0,1)   D．(－2,0)∪(0,2)【解析】　由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集為(－2,0)∪(0,2)．【答案】　D6.不等式的解集是   （　?。?/span>Ａ.   Ｂ.    Ｃ.　 Ｄ.【解答】C【解析】先將原不等式化為，即，化簡得，即，解得，故選C.7.不等式的解集為（   ）A.     B. C.    D. 【解答】C【解析】原不等式可化為，即，解得或，故選C. 二、填空題8．拋物線的部分圖像如圖所示，則不等式的解集為______． 【答案】x＜-3或x＞1解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=-1，該拋物線與x軸的一個交點為（1，0），∴該拋物線與x軸的另一個交點為（-3，0）又∵拋物線開口向上∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜-3或x＞1．故答案為：x＜-3或x＞1．9．關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】∵ 不等式的解集為∴或是方程的解，即， ，∴∵∴或∴或∴不等式的解集為，故答案為10.已知不等式的解集為，則不等式的解集為___________．【答案】【詳解】因為不等式的解集為，所以1和2是方程的兩根，且，由韋達定理可得則不等式可化為，即即，解得，所以不等式解集為故答案為: 三、解答題（解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）11.求下列不等式的解集.（1）；  （2）；（3）；  （4）.【解析】（1）因為，所以原不等式等價于，解得，所以原不等式的解集為.（2）原不等式可化為,配方得 ,又,所以,解得，所以原不等式的解集為.（3）原不等式可化為，因為恒成立，所以原不等式的解集為.（4）原不等式可化為，因為恒成立，所以原不等式無解，即原不等式的解集為.12.解下列不等式（1）    （2）    （3） 【解析】：：（1），所以原不等式的解集為．（2），所以原不等式的解集為．（3）所以原不等式的解集為．  

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