(暑期班)初升高數(shù)學(xué)銜接講義第01講因式分解的拓展精講精煉（2份打包，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第一講因式分解的拓展（精講）【知識點(diǎn)透析】因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。【方法精講】一．提公因式法提取公因式法：把一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)都有的公因式提到括號外邊來．符號語言：【例1】因式分解．【變式】因式分解．【例2】計(jì)算．【變式1】已知，，則________．【變式2】因式分解：；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆變換對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．常見的公式如下：（1）a2－b2=__；（平方差公式）（2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（兩個(gè)數(shù)））（3）a3±b3=__；（立方和差公式）（4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式）（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三個(gè)數(shù)））【例3】因式分解．【變式】因式分解：(1)； (2)．【例4】多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，還有立方和公式與立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式.根據(jù)以上材料，請完成下列問題：（1）因式分解：（2）因式分解：（3）已知：的值【變式1】因式分解．【變式2】分解下列因式 (1) (2) 【變式3】分解因式：(1) (2) 三．十字相乘法十字相乘法：對于二次三項(xiàng)式或可看作二次三項(xiàng)式的多項(xiàng)式分解因式．【例5】在因式分解的學(xué)習(xí)中我們知道對二次三項(xiàng)式可用十字相乘法方法得出，用上述方法將下列各式因式分解：(1)__________．(2)__________．(3)__________．(4)__________．【例6】．【知識背景】八年級上冊第121頁“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關(guān)系得到：．【方法探究】對于多項(xiàng)式我們也可這樣分析：它的二次項(xiàng)系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項(xiàng)pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)．所以例如，分解因式：它的二次項(xiàng)系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項(xiàng)6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)5．所以）．類比探究：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，我們也可仿照上述方式進(jìn)行因式分解．例如，分解因式：．分析：二次項(xiàng)系數(shù)2分解成2與1的積；常數(shù)項(xiàng)－6分解成－1與6（或－6與1，－2與3，－3與2）的積，但只有當(dāng)－2與3時(shí)按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)－1．所以．【方法歸納】一般地，在分解形如關(guān)于x的二次三項(xiàng)式時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成與的積，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；常數(shù)項(xiàng)c分解成與的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，把，，，按如圖4所示方式排列，當(dāng)且僅當(dāng)（一次項(xiàng)系數(shù)）時(shí)，可分解因式．即．我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法應(yīng)用】利用上面的方法將下列各式分解因式：(1)； (2)； (3) 【變式1】將下列各式分解因式（1）；（2）．【變式2】（1）；（2）．【變式3】把下列各式因式分解：(1) (2) 【例7】（提高型）：分解因式. 【變式】（1）；（2）. 四、分組分解法根據(jù)多項(xiàng)式各項(xiàng)的特點(diǎn)，適當(dāng)分組，分別變形，再對各組之間進(jìn)行整體分解（先部分后整體的分解方法）【例8】．（2022·甘肅省蘭州市教育局八年級期中）【閱讀學(xué)習(xí)】課堂上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們學(xué)習(xí)了“提公因式法、公式法”兩種因式分解的方法．分解因式的方法還有許多，如分組分解法．它的定義是：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫分組分解法．使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)，而在分組時(shí)，必須有預(yù)見性．能預(yù)見到下一步能繼續(xù)分解．例如：（1）；（2）．【學(xué)以致用】請仿照上面的做法，將下列各式分解因式：（1）；（2）．【拓展應(yīng)用】已知：，．求：的值．將下列各式分解因式（1）；（2）．【例9】分解因式：（1）；（2）．【變式】（1）；（2）．五．換元法換元法分解因式：是將多項(xiàng)式中的某一部分用新的變量替換，從而使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡化【例10】．閱讀下列材料：在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，這種方法就是換元法．對于．解法一：設(shè)，則原式；解法二：設(shè)，，則原式．請按照上面介紹的方法解決下列問題：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)．【變式1】將下列各式分解因式（1）；（2）【變式2】（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1 六．配方法【例題11】．（2022·上海·七年級期末）閱讀理解：對于形如這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項(xiàng)式，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使它與的和成為一個(gè)完全平方式，再減去，整個(gè)式子的值不變，于是有：＝＝＝＝，像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．請利用“配方法”進(jìn)行因式分解：(1)； (2)．七．因式分解的應(yīng)用【例題12】．閱讀下列材料：若一個(gè)正整數(shù)能表示成（a，b是正整數(shù)，）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“明禮崇德數(shù)”，a與b是x的一個(gè)平方差分解，例如，所以是“明禮崇德數(shù)”與是的平方差分解；再如：(為正整數(shù)），所以也是“明禮崇德數(shù)”，（）與是的一個(gè)平方差分解．(1)判斷 “明禮崇德數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)已知與是的一個(gè)平方差分解，求代數(shù)式P；(3)已知（是正整數(shù)，是常數(shù)，且），要使是“明禮崇德數(shù)”，試求出符合條件的值，并說明理由．【例題13】．已知，，求的值．【變式1】．（1）因式分解：．（2）先化簡，再求值：，其中．【變式2】閱讀理解題：已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x＋m有一個(gè)因式是x＋3，求另一個(gè)因式及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為x＋n，依題意得x2﹣4x＋m＝（x＋3）（x＋n）．即x2﹣4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n，比較系數(shù)得：，解得．∴另一個(gè)因式為x﹣7，m的值為﹣21仿照上述方法解答下列問題：(1)已知二次三項(xiàng)式2x2＋3x﹣k有一個(gè)因式是2x﹣1，求另一個(gè)因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一個(gè)因式x﹣4，則p＝．
初高中銜接素養(yǎng)提升專題課時(shí)檢測第一講因式分解的拓展（精練）（測試時(shí)間60分鐘）一、單選題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列多項(xiàng)式中，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能進(jìn)行因式分解的是（）A． B． C． D．2．下列因式分解正確的是（）A． B．C． D．3．將多項(xiàng)式分解成因式的積，結(jié)果是（）A． B．C． D．4．要是二次三項(xiàng)式在整數(shù)范圍內(nèi)可因式分解，則正整數(shù)的取值可以有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)5.計(jì)算的值為（）．A． B． C． D．二、填空題6．已知正數(shù)a、b、c滿足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c=3，則（a+1）（b+1）（c+1）=_________．7．因式分解=_________．8．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解3x2+6x﹣2＝____．三、解答題（解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）9．分解因式：（1）（2） 10、已知a、b、c是△ABC的三條邊，且滿足，試判斷△ABC的形狀． 11．先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題：問題：對于形如，這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成的形式.但對于二次三項(xiàng)式，就不能直接運(yùn)用公式了.此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使它與的和成為一個(gè)完全平方式，再減去，整個(gè)式子的值不變，于是有：像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”.利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：；(2)若①當(dāng)滿足條件：時(shí)，求的值；②若△ABC的三邊長是，且邊的長為奇數(shù)，求的周長 12.在二次三項(xiàng)式先加上一項(xiàng)4，使它與成為一個(gè)完全平方式，然后再減去4，使整個(gè)式子的值不變，于是有：．像這種先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．請利用“配方法”解決下列問題：(1)已知：，求的值．(2)已知：求的值．

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