初高中銜接素養(yǎng)提升專(zhuān)題講義第八講  集合的基本運(yùn)算（精講）【知識(shí)點(diǎn)透析】一、交集1、文字語(yǔ)言：對(duì)于兩個(gè)給定的集合A，B，由屬于A又屬于B的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A，B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”2、符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3、圖形語(yǔ)言：陰影部分為A∩B4、性質(zhì)：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?∩A＝?，如果A?B，則A∩B＝A5、解題思路：單個(gè)數(shù)字交集找相同，不等式的交集畫(huà)數(shù)軸，不同集合高度畫(huà)不同。二、并集1、文字語(yǔ)言：對(duì)于兩個(gè)給定的集合A，B，由兩個(gè)集合的所有的元素組成的集合，叫做A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”2、符號(hào)語(yǔ)言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、符號(hào)語(yǔ)言：陰影部分為A∪B    4、性質(zhì)：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A，如果A?B，則A∪B＝B.5、解題思路：兩個(gè)集合所有元素集中在一起，但是重復(fù)元素只寫(xiě)一次，要滿(mǎn)足集合中的互異性三、補(bǔ)集1、全集：在研究集合與集合之間的關(guān)系時(shí)，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱(chēng)這個(gè)給定的集合為全集．記法：全集通常記作U.2、補(bǔ)集（1）文字語(yǔ)言：如果給定集合A是全集U的一個(gè)子集，由U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A在U中的補(bǔ)集，記作.（2）符號(hào)語(yǔ)言：（3）符號(hào)語(yǔ)言：（4）性質(zhì)：A∪?UA＝U；A∩?UA＝?；?U(?UA)＝A.【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看題目的。四、利用交并補(bǔ)求參數(shù)范圍的解題思路1、根據(jù)并集求參數(shù)范圍：，若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；若B有參數(shù)，則2、根據(jù)交集求參數(shù)范圍：若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；若B有參數(shù)，則  【知識(shí)點(diǎn)精講】題型一 并集、交集、補(bǔ)集的運(yùn)算【例題1】設(shè)全集，集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)并集的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：C【例題2】設(shè)集合，，則　　A． B． C． D．【答案】B【解析】，，．故選B．【例題3】已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的值為（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，所以或，解得：．故選：C．【例題4】已知集合， ，若，（       ）A．  B．  C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由求出的值，進(jìn)一步求出得答案.【詳解】因?yàn)?/span>， ，并且，所以，所以.故選：B.【例題5】已知全集，集合，，則___________.【答案】．【解析】解：，1，2，3，4，，，1，2，，，，，，，4，.故答案為：，4，.【例題6】已知全集，集合，則（       ）．A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】直接根據(jù)補(bǔ)集概念運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)槿?/span>，集合，所以或.故選：D.【例題7】已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】．（1）；（2）或.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故；（2）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，則或，解得或，此時(shí)有.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.【變式1】若集合，，則A．    B．   C． D．【答案】B【分析】利用集合的交并運(yùn)算求、，注意是否存在包含關(guān)系，即可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，相互沒(méi)有包含關(guān)系.故選：B【變式2】設(shè)集合，，則（       ）A．  B． C． D．【答案】A【分析】先求解二次不等式得，再根據(jù)集合運(yùn)算法則算即可【詳解】由題，，則，故選：A【變式3】已知集合，，則（       ）A．       B．     C．     D．【答案】C【解析】，.故選：C.【變式4】已知集合，則（       ）A．    B．  C． D．【答案】C【解析】由題意知：.故選：C.題型二  并集、交集、補(bǔ)集綜合運(yùn)算及性質(zhì)的應(yīng)用【例題8】已知全集，集合，，，則集合（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.【詳解】集合，又故選：D【例題9】已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的所有值構(gòu)成的集合是（       ）A．   B．    C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得的所有值構(gòu)成的集合.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足，只有D選項(xiàng)符合.當(dāng)時(shí)，，要使，則或或，即或或，所以實(shí)數(shù)a的所有值構(gòu)成的集合是. 故選：D【例題10】已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，且，所以，解得，即；故選：D【例題11】已知A，B都是非空集合，且．若，，則（       ）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)交集、并集的運(yùn)算及新定義求解即可.【詳解】由題意，得，，故或．故選：D【例題12】已知集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若 ，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】：（1）因?yàn)?/span>，所以，；      （2）若 ，則 或，不等式組無(wú)解，所以  時(shí)，所以 【變式1】集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】．，由題意，知，因?yàn)?/span>，所以.（1）若，則1是方程的根，所以. 當(dāng)時(shí)，，符合題意.（2）若，則2是方程的根，所以.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿(mǎn)足，所以不符合題意.（3）若，則，解得，此時(shí).綜上所述，的取值范圍為.【變式2】已知，設(shè)集合，，（1）當(dāng)時(shí)，求集合A．（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，解得，故．（2）∵，∴，不等式可以表示成，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，，成立，當(dāng)時(shí)，，若此時(shí)成立，則，解得，故．綜上所述，．【變式3】已知集合，．(1)在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析   (2)【分析】（1）代入的值求出集合，再求并集可得答案；（2）求出，根據(jù)可得，分、討論可得答案.（1）選擇條件①：因?yàn)?/span>，所以，又，所以；選擇條件②：因?yàn)?/span>，所以，又，所以；選擇條件③：因?yàn)?/span>，所以，又，所以；（2）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，此時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，則或，解得或，綜上，a的取值范圍為．題型三  Venn圖的應(yīng)用【例題13】已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（    ）A． B． C． D．【答案】．B【解析】，所以，圖象表示集合為，，.故選：B 【例題14】已知全集，集合，，則下列Venn圖中陰影部分表示的集合為（    ）A．      B．     C． D．【答案】．C【解析】，集合．因?yàn)榧?/span>，所以，所以Venn圖中陰影部分表示的集合為，故選：C．【例題15】國(guó)慶期間，高一某班名學(xué)生去電影院觀看了《長(zhǎng)津湖》、《我和我的父輩》這兩部電影中的一部或兩部.其中有人觀看了《長(zhǎng)津湖》，有人觀看了《我和我的父輩》則同時(shí)觀看了這兩部電影的人數(shù)為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算可得答案.【詳解】解：由已知得同時(shí)觀看了這兩部電影的人數(shù)為.故選：A.【變式】某公司共有50人，此次組織參加社會(huì)公益活動(dòng)，其中參加項(xiàng)公益活動(dòng)的有28人，參加項(xiàng)公益活動(dòng)的有33人，且，兩項(xiàng)公益活動(dòng)都不參加的人數(shù)比都參加的人數(shù)的三分之一多1人，則只參加項(xiàng)不參加項(xiàng)的有（       ）A．7人 B．8人 C．9人 D．10人【答案】D【分析】設(shè)，兩項(xiàng)公益活動(dòng)都參加的有人，得出僅參加，項(xiàng)和兩項(xiàng)公益活動(dòng)都不參加的人數(shù)，列出方程，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，兩項(xiàng)公益活動(dòng)都參加的有人，則僅參加項(xiàng)的有人，僅參加項(xiàng)的有人，，兩項(xiàng)公益活動(dòng)都不參加的有人，由題意得，解得，所以只參加項(xiàng)不參加項(xiàng)的有人）.故選D．題型四  集合新定義創(chuàng)新類(lèi)型【例12】已知對(duì)于集合、，定義，.設(shè)集合，集合，則中元素個(gè)數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】．D【解析】∵，，∴，，∴，其中有個(gè)元素，故選D.已知集合，是實(shí)數(shù)集的子集，定義，若集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求函數(shù)的值域求得，由此求得.【詳解】在上遞減，所以，的對(duì)稱(chēng)軸為軸，所以，所以.故選:B【變式1】設(shè)，與是的子集，若，則稱(chēng)為一個(gè)“理想配集”.那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定與是兩個(gè)不同的“理想配集”的個(gè)數(shù)是（    ）A．16 B．9 C．8 D．4【答案】B【解析】由題意，對(duì)子集分類(lèi)討論：當(dāng)集合，集合可以是，共4中結(jié)果；當(dāng)集合，集合可以是，共2種結(jié)果；當(dāng)集合，集合可以是，共2種結(jié)果；當(dāng)集合，集合可以是，共1種結(jié)果，根據(jù)計(jì)數(shù)原理，可得共有種結(jié)果.故選：B.【變式2】對(duì)于兩個(gè)正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“⊙”如下，當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，m⊙n＝m+n；當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，m⊙n＝mn，則在此定義下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的個(gè)數(shù)是_____.【答案】13【解析】∵當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，m⊙n＝m+n；當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，m⊙n＝mn，∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，共13個(gè)元素，故答案為：13
初高中銜接素養(yǎng)提升專(zhuān)題課時(shí)檢測(cè)第八講  集合的基本運(yùn)算（精練）（測(cè)試時(shí)間60分鐘）一、單選題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，，則A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】解：因?yàn)?/span>，，所以.故選：B2．已知集合，，則集合（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得集合表示滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)對(duì)，集合表示滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)對(duì)，聯(lián)立方程組，解得，表示同時(shí)滿(mǎn)足集合與的實(shí)數(shù)對(duì)，所以，故選：D.3．設(shè)集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，∴.故選：D.4．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（       ）A．    B．    C． D．【答案】C【解析】解：因?yàn)?/span>，，所以，所以.故選：C5．設(shè)全集，集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以.故選：D.6．已知集合，集合若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由，得：①若，即時(shí)，，符合題意；②若，即時(shí)，因?yàn)?/span>，則或解得， 綜上所述：，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：．故選：B．二、多選題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的．）7．已知集合，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）A．   B．   C． D．【答案】AC【解析】.因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)A結(jié)論不正確；因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)B結(jié)論正確；因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)C結(jié)論不正確；因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)D結(jié)論正確，故選：AC8．集合，是實(shí)數(shù)集的子集，定義，叫做集合的對(duì)稱(chēng)差．若集合，，則以下說(shuō)法正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】，A錯(cuò)誤；，，B正確；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題9．已知集合，，若，，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，所以，所以，得，所以，所以，即有且只有一個(gè)實(shí)根，所以，解得.故答案為：10．從集合的子集中選出兩個(gè)非空集合A，B，滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①；②若，則．共有________種不同的選擇．【答案】5【解析】由于若，則，故集合A中最大的元素只能出現(xiàn)3，且不能同時(shí)出現(xiàn)，故A中最多有兩個(gè)元素（1）中只有一個(gè)元素：，；，；，；（2）中有兩個(gè)元素：，； ，；因此，共有5種不同的選法.故答案為：5四、解答題（解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）11．已知集合，B={2，3}，C={，2，5}.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求  (2)若，且，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】(1)   (2)【解析】(1)當(dāng)時(shí)，.由，得，則或，所以.因?yàn)?/span>，則.因?yàn)?/span>，則.(2)由，得，即，所以.因?yàn)?/span>，且，則.若，即，則，符合要求.若，即，則，此時(shí)，不合題意.綜上分析，.12．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中，并求解下列問(wèn)題：已知集合，，若       ____，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】若選①：，當(dāng)時(shí)，有，即時(shí)，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，或，解得，此時(shí)，實(shí)數(shù)a的范圍是．若選②：，則是的子集，，當(dāng)，有，即，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，或，解得，此時(shí)，實(shí)數(shù)a的范圍是．若選③：，則，當(dāng)，有，即，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，解得；此時(shí)，實(shí)數(shù)a的范圍是.    
 

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