人教A版 (2019)選擇性必修第一冊3.3 拋物線學案-學案下載-教習網(wǎng)

?第三章　圓錐曲線的方程
3.3.2　拋物線的簡單幾何性質
基礎過關練
題組一　拋物線的簡單幾何性質
1.若拋物線y2=2px(p>0)上任意一點到焦點的距離恒大于1,則p的取值范圍是(　　)
A.p1
C.p2
2.(2023四川成都月考)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M到其準線及對稱軸的距離分別為3和22,則p=(　　)
A.2　　　　B.2或4
C.1或2　　　　D.1
3.等腰直角三角形AOB的三個頂點均在拋物線y2=2px(p>0)上,O為拋物線的頂點,且OA⊥OB,則△AOB的面積是(　　)
A.8p2　　　　B.4p2
C.2p2　　　　D.p2
4.(2022江蘇鎮(zhèn)江中學期中)已知F為拋物線y2=2px(p>0)的焦點,過F作垂直于x軸的直線交拋物線于M,N兩點,以MN為直徑的圓交y軸于C,D兩點,且|CD|=3,則拋物線的標準方程為(　　)
A.y2=2x　　　　B.y2=23x
C.y2=43x　　　　D.y2=6x
5.(2023安徽巢湖第一中學月考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,Q為C上一點,M為C的準線l上一點且QM∥x軸.若O為坐標原點,P在對稱軸上,且在點F的右側,|OP|=4,|QF|=|QP|,∠MQP=120°,則準線l的方程為(　　)
A.x=-165　　　　B.x=?25
C.x=-45　　　　D.x=?85
6.已知拋物線的頂點在原點,對稱軸為y軸且經過點(4,1),則其準線與對稱軸的交點坐標是　　　　.?
題組二　直線與拋物線位置關系的簡單應用
7.已知過點P(0,1)的直線l與拋物線y2=4x相交于不同的兩點,k為直線l的斜率,則k的取值范圍為(　　)
A.(-∞,0)∪(0,1)　　　　B.(-∞,1)
C.(-∞,0)　　　　D.(0,1)
8.(2022四川成都七中期中)若過點P(0,2)的直線l與拋物線C:y2=2x有且只有一個公共點,則這樣的直線l共有(　　)
A.1條　　　　B.2條
C.3條　　　　D.4條
9.(2023江蘇揚州中學月考)已知拋物線C:y2=4x,過點P(2,1)的直線l與拋物線C交于A,B兩點,若點P是線段AB的中點,則直線l的斜率為(　　)
A.4　　　　B.2
C.1　　　　D.12
10.(2022浙江寧波鎮(zhèn)海中學期中)已知斜率為3的直線l經過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,并與拋物線交于A,B兩點,且|AB|=8,則p=(　　)
A.1　　　　B.2　　
C.3　　　　D.4
11.已知拋物線y2=4x的焦點為點F,過焦點F的直線l交該拋物線于A、B兩點,O為坐標原點,若△AOB的面積為22,則直線l的斜率為(　　)
A.±12　　　　B.±1　　
C.±2　　　　D.±2
12.(2023河南鄭州外國語學校期中)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點A(2,y0)為拋物線上一點,且|AF|=4.
(1)求拋物線的方程;
(2)不過原點的直線l:y=x+m與拋物線交于不同兩點P,Q,若OP⊥OQ,求m的值.

13.已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與x軸交于點M,過點M的直線l與拋物線交于A、B兩點,設A(x1,y1)到準線的距離為d.
(1)若y1=d=3,求拋物線的標準方程;
(2)若2MA=AB,求直線l的斜率.

14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)與直線y=x+2相切.
(1)求C的方程;
(2)過C的焦點F的直線l與C交于A,B兩點,AB的中垂線與C的準線交于點P,若|PA|=32|AB|,求l的方程.

題組三　拋物線的綜合應用
15.雙曲線C1:x24?y2b2=1(b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)相交于點O,A,B(O為坐標原點),若△OAB的垂心為C2的焦點F,求b的值.

16.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F與曲線x2+2y2=1的右頂點重合,過點P(0,-4)的直線l與拋物線交于A,B兩點.
(1)求拋物線的方程;
(2)若PB=4PA,且A在x軸的下方,B在x軸的上方,求△OAB的面積.

17.(2023黑龍江哈三中月考)以拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦AB為直徑的圓與準線切于點(-2,-3).
(1)求這個圓的方程;
(2)求△AOB的面積.
能力提升練
題組一　拋物線的幾何性質
1.(2023重慶部分學校聯(lián)考)設O為坐標原點,P是以F為焦點的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點,且點P在第一象限,M是線段PF上的點,若|PM|=3|MF|,則直線OM的斜率的最大值為　(　　)
A.22　　　　B.33
C.12　　　　D.55
2.(多選題)(2023浙江Z20聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線方程為x=-1,過點F的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B兩點分別作準線的垂線,垂足分別為A1,B1,P為線段AB的中點,O為坐標原點,則(　　)
A.線段AB長度的最小值為4
B.∠A1FB1為銳角
C.A,O,B1三點共線
D.P的坐標可能為(3,-2)
3.(多選題)(2023遼寧大連第二十四中學月考)已知拋物線C:y2=2px(p>0),C的準線與x軸交于K,過焦點F的直線l與C交于A、B兩點,A在第一象限,連接AK、BK,設AB的中點為P,過P作AB的垂線交x軸于Q,下列結論正確的是(　　)
A.|AF|·|BK|=|AK|·|BF|　　　　
B.tan∠AKF=cos∠PQF
C.△AKB面積的最小值為p22　　　　
D.|AB|=2|FQ|
4.一條光線從拋物線y2=2px(p>0)的焦點F射出,經拋物線上一點B反射后,反射光線經過點A(5,4),若|AB|+|FB|=6,則拋物線的標準方程為　　　　　.?
題組二　拋物線的焦點弦、相交弦
5.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為(　　)
A.16　　　　B.14
C.12　　　　D.10
6.(2023河南平頂山月考)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作傾斜角為π6的直線,交拋物線于A,B兩點,若1|AF|+1|BF|=2,則實數(shù)p的值為(　　)
A.12　　　　B.1
C.32　　　　D.3
7.(2023遼寧省實驗中學段考)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點,且AF=2FB,拋物線的準線l與x軸交于點C,AA1⊥l于點A1,若四邊形AA1CF的面積為52,則準線l的方程為(　　)
A.x=-2　　　　B.x=?22
C.x=-2　　　　D.x=-1
8.(2023河南鄭州四中期中)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F且斜率為1的直線與拋物線C交于點A,B兩點,以線段AB為直徑的圓E上存在兩點P,Q,使得以PQ為直徑的圓過點D(-2,t),則實數(shù)t的取值范圍為(　　)
A.(-∞,-1]∪[3,+∞)　　　　
B.[-1,3]
C.(-∞,2-7]∪[2+7,+∞)　　　　
D.[2-7,2+7]
9.已知點F為拋物線C:y2=4x的焦點.若過點F的直線l交拋物線C于A,B兩點,交該拋物線的準線于點M,且MA=λ1AF,MB=λ2BF,則λ1+λ2=(　　)
A.2　　　　B.1
C.0　　　　D.-12
10.(2023河南鄭州回民高級中學期中)已知直線l:2kx-2y-kp=0與拋物線C:y2=2px(p>0)相交于A、B兩點,點M(-1,-1)是拋物線C的準線與以AB為直徑的圓的公共點,則下列結論錯誤的是(　　)
A.p=2　　　　
B.k=-2
C.△MAB的面積為55　　　　
D.|AB|=5
11.(多選題)(2023江蘇南京一中期中)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線l交拋物線于A、B兩點,以線段AB為直徑的圓交y軸于M、N兩點,設線段AB的中點為P,則(　　)
A.OA·OB=?3p24
B.若|AF|·|BF|=4p2,則直線AB的斜率為3
C.若拋物線上存在一點E(2,t)到焦點F的距離等于3,則拋物線的方程為y2=8x
D.若點F到拋物線準線的距離為2,則sin∠PMN的最小值為12
題組三　直線與拋物線位置關系的應用
12.(多選題)已知點M(1,0),直線l:x=-2,若某直線上存在點P,使得點P到點M的距離比其到直線l的距離小1,則稱該直線為“最遠距離直線”,則下列結論正確的是(　　)
A.點P的軌跡是一條線段
B.點P的軌跡與直線x=-1沒有交點
C.y=2x+6不是“最遠距離直線”
D.y=12x+1是“最遠距離直線”
13.在平面直角坐標系Oxy中,拋物線的頂點是原點,對稱軸為x軸,且經過點A(1,2).過點A作直線l1,l2分別交拋物線于點C,D(異于點A),直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,且滿足k1+k2=-4.
(1)求該拋物線的方程;
(2)試判斷直線CD是否過定點.若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.

14.如圖,已知橢圓C1:x22+y2=1,拋物線C2:y2=2px(p>0),點A是橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點,過點A的直線l交橢圓C1于點B,交拋物線C2于M(B,M不同于A).
(1)若p=116,求拋物線C2的焦點坐標;
(2)若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點,求p的最大值.

15.(2023遼寧省實驗中學期中)已知拋物線C:y2=4x,點P(4,4).
(1)設斜率為1的直線l與拋物線C交于A,B兩點,若△PAB的面積為22,求直線l的方程;
(2)是否存在定圓M:(x-m)2+y2=4,使得過曲線C上任意一點Q作圓M的兩條切線,與曲線C交于另外兩點A,B時,總有直線AB也與圓M相切?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

答案與分層梯度式解析
第三章　圓錐曲線的方程
3.3.2　拋物線的簡單幾何性質
基礎過關練
1.D
2.B
3.B
4.B
5.C
7.A
8.C
9.B
10.C
11.B

1.D　取拋物線上任意一點P,則P到焦點的距離等于其到準線:x=-p2的距離,
顯然當P為拋物線的頂點時,P到準線的距離取得最小值p2,∴p2>1,即p>2.故選D.
2.B　因為拋物線y2=2px(p>0)上一點M到其準線及對稱軸的距離分別為3和22,
所以|yM|=22,xM+p2=3,即|yM|=22,xM=3?p2,代入拋物線方程可得8=2p3?p2,
整理得p2-6p+8=0,解得p=2或p=4.故選B.
3.B　不妨設點A在x軸上方,由拋物線的對稱性及題意可知kOA=1,故直線OA的方程為y=x,則A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=12×2p×4p=4p2.
4.B　不妨設M、C在x軸上方,如圖,連接CF,由題意可知|MN|=2p(p>0),所以圓的半徑為p,由對稱性知|OC|=12|CD|=32,在Rt△COF中,p22+322=p2,解得p=3(負值舍去),所以拋物線的標準方程為y2=23x.故選B.

5.C　根據(jù)拋物線的對稱性,不妨設點Q在第一象限,如圖,

由題知P(4,0),QM⊥l,
由拋物線的定義知|QF|=|QM|,∵|QF|=|QP|,
∴|QP|=|QM|,
又∠MQP=120°,QM∥x軸,∴∠QPF=60°,∴△PFQ為等邊三角形,
∴點Q的橫坐標xQ=p2+4?p22=2+p4,
∴|QM|=2+p4+p2=2+3p4,
又|QM|=|QP|=|FP|=4-p2,∴2+3p4=4?p2,解得p=85,∴準線l的方程為x=-45,故選C.
6.答案　(0,-4)
解析　依題意設拋物線的方程為x2=2py(p>0),則42=2p×1,即p=8,所以拋物線的方程為x2=16y,其準線為直線y=-4,則準線與對稱軸的交點坐標是(0,-4).
7.A　直線l的方程為y=kx+1,聯(lián)立y=kx+1,y2=4x,化簡得k2x2+(2k-4)x+1=0,
∵直線l與拋物線y2=4x相交于不同的兩點,
∴k≠0,Δ>0,即k≠0,?16k+16>0,∴k0)過點A(2,y0),|AF|=4,得2+p2=4,∴p=4,
所以拋物線方程為y2=8x.
(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立y=x+m,y2=8x,得x2+(2m-8)x+m2=0,
所以x1+x2=8-2m,x1x2=m2,由題意知Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,所以m0,即k20,y1+y2=8m,
則M(4m2+2,4m),N(-2,4m),AB的中垂線的方程為mx+y-4m3-6m=0,
∴P(-2,4m3+8m),則|PN|=|4m3+4m|,|MN|=4m2+4,
即|4m3+4m|=4m2+4,解得m=±1,
故l的方程為x+y-2=0或x-y-2=0.
15.解析　如圖,不妨設A在第二象限.

易得雙曲線的漸近線方程為y=±b2x.由x2=2py,y=?b2x,得x=?pb,y=b2p2,故A?pb,b2p2,同理,Bpb,b2p2.
易得拋物線的焦點為F0,p2,
所以AF=pb,p2?b2p2,OB=pb,b2p2.
因為點F為△OAB的垂心,所以AF⊥OB,
所以pb,p2?b2p2·pb,b2p2=0,所以b=5.
16.解析　(1)曲線x2+2y2=1為焦點在x軸上的橢圓,其右頂點為(1,0),則由題意可得拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F(1,0),∴p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.
(2)設AyA24,yA,ByB24,yB,
由PB=4PA,得yB24,yB+4=4yA24,yA+4,
即yB2=4yA2,yB+4=4(yA+4),
結合A,B的位置,解得yA=-2,yB=4,故A(1,-2),B(4,4),
直線l的斜率k=?2?41?4=2,則直線l的方程為y=2x-4,直線l與x軸相交于點(2,0),
所以△OAB的面積S△OAB=12×2×(yB-yA)=12×2×6=6.
17.解析　(1)由拋物線的方程知其準線方程為x=-p2,設焦點弦AB的中點為M(x0,y0),由以焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切于點(-2,-3),可知?p2=?2,y0=?3,∴p=4,y0=?3,所以焦點為(2,0),拋物線方程為y2=8x,記F(2,0).
設弦AB所在直線的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AB:y=k(x-2),
與拋物線方程聯(lián)立,得y=k(x?2),y2=8x?ky2-8y-16k=0,所以y1+y2=8k=2y0=-6,y1y2=-16,
∴k=-43,∴直線AB:y=-43x+83.將y0=-3代入,得x0=174,則這個圓的圓心為174,?3,半徑為254,
故所求圓的方程為x?1742+(y+3)2=62516.
(2)S△AOB=S△AOF+S△BOF=12|OF|×|y1-y2|=12×2(y1+y2)2?4y1y2=10.

能力提升練
1.B
2.ACD
3.BD
5.A
6.B
7.D
8.D
9.C
10.C
11.AD
12.BCD

1.B　由題可知Fp2,0,設P點坐標為y022p,y0(y0>0),則OM=OF+FM=OF+14FP=OF+14(OP?OF)=14OP+34OF=y028p+3p8,y04,kOM=y04y028p+3p8=2y0p+3py0≤223=33,當且僅當y02=3p2,即y0=3p時,等號成立.故選B.
2.ACD　由題意知,拋物線C的方程為y2=4x,線段AB長度的最小值為2p=4,A正確;
易知|AA1|=|AF|,AA1∥x軸,∴∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,∴∠A1FB1=90°,B錯誤;
設直線AB:x=my+1,與拋物線方程聯(lián)立并整理,得y2-4my-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=4m,y1·y2=-4,kOA=y1x1=4y1=-y2,
∵B1(-1,y2),∴kOB1=-y2=kOA,故A,O,B1三點共線,C正確;
設P(x0,y0),則y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,當m=-1時,P(3,-2),D正確.
故選ACD.
3.BD　設直線AB的傾斜角為α,即∠AFx=α,設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
若|AF|·|BK|=|AK|·|BF|,則|AF||BF|=|AK||BK|,則根據(jù)角平分線的性質可知,x軸應平分∠AKB,但x軸不一定平分∠AKB,故|AF|·|BK|=|AK|·|BF|不一定成立,故A錯誤;
過A作AD⊥x軸,垂足為D,則tan∠AKF=|AD||KD|=y1x1+p2,cos∠PQF=cosπ2?α=sin α=|AD||AF|=y1x1+p2,∴tan∠AKF=cos∠PQF,故B正確;
S△AKB=S△AKF+S△BKF=12·|KF|·(y1-y2)=p2·(y1-y2)≥p2·2p=p2,當且僅當y1-y2=|AB|=2p,即AB⊥x軸時,取等號,故△AKB面積的最小值為p2,但此時Q不存在,不符合題意,故C錯誤;
對于D:y12=2px1,y22=2px2?(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),則tan α=y1?y2x1?x2=2py1+y2=py0,
∴直線PQ的方程為y-y0=-y0p(x-x0),令y=0,得-y0=-y0p(x-x0)?x=p+x0,∴Q(p+x0,0),∴|FQ|=p+x0-p2=p2+x0,∴|AB|=x1+x2+p=2x0+p=2|FQ|,故D正確.故選BD.
4.答案　y2=4x
解析　拋物線具有光學性質,即從焦點出發(fā)的光線經拋物線上一點反射后,反射光線沿平行(或重合)于拋物線對稱軸的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴xA-xB+xB+p2=6,即5+p2=6,∴p=2,∴拋物線的標準方程為y2=4x.
5.A　因為直線l1過F,且F(1,0),所以設l1的方程為x=my+1,聯(lián)立y2=4x,x=my+1,得y2-4my-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),故y1+y2=4m,y1y2=-4,則|AB|=m2+116m2+16=4(m2+1).同理可得|DE|=41m2+1,所以|AB|+|DE|=42+m2+1m2≥16,當且僅當m=±1時,取“=”,故選A.
6.B　易得Fp2,0,設直線方程為y=kx?p2,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx?p2,y2=2px,得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,所以x1+x2=k2p+2pk2,x1x2=p24,又|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,所以1|AF|+1|BF|=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24,把x1+x2=k2p+2pk2,x1x2=p24代入得1|AF|+1|BF|=2p=2,所以p=1.
導師點睛　AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直線的傾斜角為α,則有下列結論成立:
(1)x1x2=p24,y1y2=-p2.
(2)|AF|=x1+p2=p1?cosα,|BF|=x2+p2=p1+cosα,|AF||BF|=1+cosα1?cosα,1|AF|+1|BF|=2p.
(3)|AB|=x1+x2+p=2psin 2α.
7.D　解法一:由題意知Fp2,0,準線l的方程為x=-p2,設A(x1,y1),B(x2,y2),
則AF=p2?x1,?y1,FB=x2?p2,y2,由AF=2FB,得p2?x1=2x2?p2,即x2=14(3p-2x1),①
由題意知直線AB的斜率存在且不為0,
設直線AB的方程為y=kx?p2(k≠0),代入拋物線方程,消去y,得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,
所以x1x2=p24,②
聯(lián)立①②,得2x12-3px1+p2=0,
解得x1=p或x1=p2(舍去),所以|y1|=2p,
因為S四邊形AA1CF=12x1+p2+p·|y1|=52,
將x1,|y1|的值代入,解得p=2(舍負),所以準線l的方程為x=-1,故選D.
解法二:不妨設A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,
則|AF|=p1?cosθ,|BF|=p1+cosθ,
因為AF=2FB,所以p1?cosθ=2×p1+cosθ,解得cos θ=13,則sin θ=223,
因為四邊形AA1CF是直角梯形,其中|CF|=p,|AA1|=|AF|=p1?cosθ=32p,高為|AF|sin θ=32p·223=2p,所以四邊形AA1CF的面積為12p+32p·2p=524p2=52,解得p=2(舍負),所以準線l的方程為x=-1,故選D.
8.D　由題得直線AB的方程為y-0=x-1,即y=x-1,設A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立y=x?1,y2=4x,可得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,x1·x2=1,
∴x1+x22=3,y1+y22=x1?1+x2?12=2,|AB|=1+12·36?4=8,
∴以線段AB為直徑的圓E的圓心為(3,2),半徑為4,
∴圓E的方程為(x-3)2+(y-2)2=16,
∴點D恒在圓E外,
若圓E上存在兩點P,Q,使得以PQ為直徑的圓過點D(-2,t),即圓E上存在兩點P,Q,使得DP⊥DQ,顯然當DP,DQ均與圓E相切時,∠PDQ最大,此時應滿足∠PDQ≥π2,所以|EP||DE|=4(3+2)2+(2?t)2≥22,整理得t2-4t-3≤0,
解得2-7≤t≤2+7,故選D.
9.C　解法一:(特值法)取l的傾斜角為α=π3,不妨設B在A上方,聯(lián)立y2=4x,y=3(x?1),得x=13,y=?233或x=3,y=23,故A13,?233,B(3,23),又M(-1,-23),F(1,0),∴MA=43,433,MB=(4,43),AF=23,233,BF=(-2,-23),∴λ1=2,λ2=-2,∴λ1+λ2=0.故選C.
解法二:如圖,易知λ10.過B作BN⊥l于點N,由MB=λ2BF?cos α=|BN||BM|=|BF||BM|=1λ2,
由MA=λ1AF?|MA|=-λ1|AF|?(1+λ2)|BF|+|AF|=-λ1|AF|?|AF||BF|=?1+λ21+λ1,
又|AF||BF|=1+cosα1?cosα,所以-1+λ21+λ1=1+cosα1?cosα=1+1λ21?1λ2,化簡得λ1+λ2=0,故選C.

10.C　由題意知,拋物線C的準線方程為x=-1,即p2=1,解得p=2,故選項A中結論正確;
因為p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x,其焦點為(1,0),記F(1,0),
又直線l:2kx-2y-kp=0,即y=k(x-1),所以直線l恒過拋物線的焦點F(1,0),
設點A(x1,y1),B(x2,y2),因為A、B兩點在拋物線C上,
所以y12=4x1,y22=4x2,兩式相減并整理可得,y1?y2x1?x2=4y1+y2=k,設AB的中點為Q(x0,y0),則y0=y1+y22=2k,
因為點Q(x0,y0)在直線l上,所以y0=k(x0-1),所以x0=2k2+1,所以點Q2k2+1,2k,易知Q是以AB為直徑的圓的圓心,
由拋物線的定義知,圓Q的半徑r=|AB|2=x1+x2+22=2x0+22=2k2+2.
因為|QM|2=2k2+22+2k+12=r2,所以2k2+22+2k+12=2k2+22,解得k=-2,故選項B中結論正確;
因為k=-2,所以|AB|=5,直線l:y+2(x-1)=0,即2x+y-2=0,
由點到直線的距離公式可得,點M到直線l的距離d=|?2?1?2|22+12=5,
所以S△MAB=12·d·|AB|=12×5×5=552,故選項C中結論錯誤,D中結論正確.故選C.
11.AD　若直線l⊥y軸,則直線l與拋物線y2=2px(p>0)有且只有一個交點,不符合題意.
設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為x=my+p2,
聯(lián)立y2=2px,x=my+p2,整理可得y2-2pmy-p2=0,
則Δ=4m2p2+4p2>0,y1+y2=2pm,y1y2=-p2,x1x2=y122p·y222p=p44p2=p24,
∴OA·OB=x1x2+y1y2=p24?p2=?34p2,A正確;
|AF|·|BF|=x1+p2x2+p2=(my1+p)(my2+p)=m2y1y2+mp(y1+y2)+p2=-m2p2+2m2p2+p2=(m2+1)p2=4p2,解得m=±3,
所以直線AB的斜率為1m=±33,B錯誤;
若拋物線上一點E(2,t)到焦點的距離為3,則2+p2=3,可得p=2,故拋物線方程為y2=4x,C錯誤;
拋物線的焦點F到準線的距離為2,則p=2,所以拋物線的方程為y2=4x,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
所以圓P的直徑為|AB|=x1+x2+2=4m2+4,則半徑r=|AB|2=2m2+2,
點P到y(tǒng)軸的距離d=x1+x22=2m2+1,
∴sin∠PMN=dr=2m2+12m2+2=2m2+2?12m2+2=1?12m2+2,
∵2m2+2≥2,
∴12m2+2∈0,12,
∴sin∠PMN∈12,1,
即(sin∠PMN)min=12,D正確.
故選AD.
12.BCD　點P到點M的距離比其到直線l的距離小1,等價于點P到點M的距離等于其到直線l':x=-1的距離,故點P的軌跡是以M(1,0)為焦點,直線l':x=-1為準線的拋物線,其方程是y2=4x,故A錯誤;
點P的軌跡是拋物線y2=4x,它與直線l'沒有交點,故B正確;
要成為“最遠距離直線”,則必須滿足其與拋物線y2=4x有交點,把y=2x+6代入拋物線方程y2=4x中,消去y并整理得x2+5x+9=0,因為Δ=52-4×1×9=-110,有解,所以y=12x+1是“最遠距離直線”,故D正確.故選BCD.
13.解析　(1)設拋物線的方程為y2=2px(p>0),
由拋物線經過點A(1,2),得p=2,
∴拋物線的方程為y2=4x.
(2)設C(x1,y1),D(x2,y2),x1≠1,x2≠1.
若直線CD的斜率存在,設直線CD的方程為y=kx+t(k≠0).
由y2=4x,y=kx+t,消去x,得ky2-4y+4t=0,
則y1+y2=4k,y1y2=4tk.
∵k1+k2=y1?2x1?1+y2?2x2?1=4(y1?2)4x1?4+4(y2?2)4x2?4
=4(y1?2)y12?4+4(y2?2)y22?4=4y1+2+4y2+2=-4,
∴y1+2+y2+2=-(y1+2)(y2+2),
∴3(y1+y2)+y1y2+8=0,
∴12k+4tk+8=0,即t=-2k-3,
∴直線CD:y=kx-2k-3,即y=k(x-2)-3,
∴直線CD過定點(2,-3).
若直線CD的斜率不存在,則C(x1,y1),D(x1,-y1),
∴k1+k2=y1?2x1?1+?y1?2x1?1=?4x1?1=-4,∴x1=2.
∴直線CD:x=2,此時直線CD過點(2,-3).
綜上所述,直線CD過定點(2,-3).
方法點睛　在圓錐曲線綜合題的運算中,參數(shù)的選擇很重要,在有關拋物線的問題中巧妙運用拋物線方程的特點進行變量的轉化能夠很大程度降低運算量.
14.解析　(1)當p=116時,C2的方程為y2=18x,故拋物線C2的焦點坐標為132,0.
(2)解法一(根與系數(shù)的關系+基本不等式法):設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),l:x=λy+m(m≠0),
由x22+y2=1,x=λy+m得(2+λ2)y2+2λmy+m2-2=0,
∴y1+y2=?2λm2+λ2,y0=?λm2+λ2,x0=λy0+m=2m2+λ2,
由M在拋物線上,可得λ2m2(2+λ2)2=4pm2+λ2,即λ2m2+λ2=4p,①
又y2=2px,x=λy+m?y2=2p(λy+m)?y2-2pλy-2pm=0,
∴y1+y0=2pλ,
∴x1+x0=λy1+m+λy0+m=2pλ2+2m,
∴x1=2pλ2+2m-2m2+λ2.②
由x22+y2=1,y2=2px得x2+4px-2=0,
∴x1=?4p+16p2+82=?2p+4p2+2,③
由①②③得-2p+4p2+2=2pλ2+2m·1+λ22+λ2=2pλ2+8pλ2+8p≥16p,當且僅當λ2=2時,λ=2時取“=”,
∴4p2+2≥18p,即p2≤1160,故04,由①②解得m=3.
下面證m=3時,對任意的動點Q,直線AB和圓M相切.
設Q14a2,a,當a=0時,上面假設已經說明成立;
當a=±2,過Q作圓的切線時,一條切線與x軸平行,不能與拋物線交于另一點,故a≠±2;
以下就a≠0且a≠±2的情況進行證明.
設過Q的切線方程為x=t(y-a)+14a2,A14y12,y1,B14y22,y2,
由3?14a2+ta1+t2=2,可得(a2-4)t2-12a2?6at+14a2?32-4=0,
∴t1+t2=a12a2?6a2?4,t1t2=14a2?32?4a2?4.
把x=t(y-a)+14a2代入y2=4x,可得y2-4ty+4ta-a2=0,
又切線與拋物線相交于兩點A,B,
故得y12=4t1(y1-a)+a2,y22=4t2(y2-a)+a2,
則a,y1是方程y2=4t1(y-a)+a2的兩根,即有ay1=4t1a-a2,即y1=4t1-a,同理可得y2=4t2-a.則有A14(4t1-a)2,4t1-a,B14(4t2-a)2,4t2-a,
故直線AB:
y-(4t1-a)=22(t2+t1)?ax?14(4t1?a)2,
即y-(4t1-a)=4?a24ax?14(4t1?a)2,
則圓心(3,0)到直線AB的距離
d=4?a24a3?14(4t1?a)2+4t1?a1+a2?44a2,
由(a2-4)t12?12a2?6at1+14a2?32-4=0,
可得d=2|4+a2|4+a2=2,
則對任意的動點Q,存在實數(shù)m=3,使得直線AB與圓M相切.

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