一、圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1．求圓錐曲線方程的常用方法(1)直接法：動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系，只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程．(2)定義法：動點滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量．(3)代入法：動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點(稱之為相關(guān)點)而運動的．如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時我們可以用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程．(4)待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類型，可設(shè)出方程形式，再根據(jù)條件確定待定的系數(shù)．2．求圓錐曲線方程體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．例1　(1)已知拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為________．答案　x2－＝1解析　由題意得解得則b2＝c2－a2＝3，因此雙曲線方程為x2－＝1.(2)在圓x2＋y2＝4上任取一點P，設(shè)點P在x軸上的正投影為點D.當(dāng)點P在圓上運動時，動點M滿足＝2，動點M形成的軌跡為曲線C.求曲線C的方程．解　方法一　由＝2，知點M為線段PD的中點，設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，則點P的坐標(biāo)為(x，2y)．因為點P在圓x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4，所以曲線C的方程為＋y2＝1.方法二　設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則D(x0，0)，由＝2，得x0＝x，y0＝2y，因為點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，(*)把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，所以曲線C的方程為＋y2＝1.反思感悟　(1)應(yīng)用定義解題時注意圓錐曲線定義中的限制條件．(2)涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決．(3)在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形，利用幾何意義去解決．跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知動點M的坐標(biāo)滿足方程5＝|3x＋4y－12|，則動點M的軌跡是(　　)A．橢圓   B．雙曲線C．拋物線   D．以上都不對答案　C解析　把軌跡方程5＝|3x＋4y－12|寫成＝.∴動點M到原點的距離與它到直線3x＋4y－12＝0的距離相等．∴點M的軌跡是以原點為焦點，以直線3x＋4y－12＝0為準(zhǔn)線的拋物線．(2)點P是拋物線y2＝8x上的任意一點，F是拋物線的焦點，點M的坐標(biāo)是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此時點P的坐標(biāo)．解　拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程是x＝－2，那么點P到焦點F的距離等于它到準(zhǔn)線x＝－2的距離，過點P作PD垂直于準(zhǔn)線x＝－2，垂足為D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.如圖所示，根據(jù)平面幾何知識，當(dāng)M，P，D三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值為|MD|＝2－(－2)＝4，所以|PM|＋|PF|的最小值是4.此時點P的縱坐標(biāo)為3，所以其橫坐標(biāo)為，即點P的坐標(biāo)是.二、圓錐曲線的幾何性質(zhì)1．本類問題主要有兩種考查類型：(1)已知圓錐曲線的方程研究其幾何性質(zhì)，其中以求橢圓、雙曲線的離心率為考查重點．(2)已知圓錐曲線的性質(zhì)求其方程，基本方法是待定系數(shù)法，其步驟可以概括為“先定位、后定量”．2．圓錐曲線的性質(zhì)的討論和應(yīng)用充分體現(xiàn)了直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．例2　(1)如圖，F1，F2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　由橢圓可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.因為四邊形AF1BF2為矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，因此對于雙曲線有a＝，c＝，所以C2的離心率e＝＝.(2)已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為________．答案　x±y＝0解析　設(shè)橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2，則e1＝，e2＝.因為e1·e2＝，所以＝，即4＝，所以＝.故雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即x±y＝0.反思感悟　求解離心率的三種方法(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法．(2)方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法．(3)幾何法：求與過焦點的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀．跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分別是長軸、短軸的一個端點，O為原點，若△ABO的面積是c2，則此橢圓的離心率是(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　由ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝＝.(2)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　)A．x2＝y   B．x2＝yC．x2＝8y   D．x2＝16y答案　D解析　由e2＝1＋＝4得＝，則雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，拋物線C2的焦點坐標(biāo)為，則有＝2，解得p＝8，故拋物線C2的方程為x2＝16y.三、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式．2．借用直線與圓錐曲線問題培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．例3　已知橢圓＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(0，)，離心率為，左、右焦點分別為F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：y＝－x＋m與橢圓交于A，B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點，且滿足＝，求直線l的方程．解　(1)由題設(shè)知解得a＝2，b＝，c＝1，∴橢圓的方程為＋＝1.(2)由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1，∴圓心到直線l的距離d＝，由d<1得|m|<.①∴|CD|＝2＝2＝.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－mx＋m2－3＝0，Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2>0.②由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝＝.由＝，得＝1，解得m＝±，經(jīng)檢驗滿足①②.∴直線l的方程為y＝－x＋或y＝－x－.反思感悟　(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可以通過代數(shù)法判斷．(2)一元二次方程的判別式Δ、弦長公式是代數(shù)法解決問題的常用工具．跟蹤訓(xùn)練3　已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦點為F1，F2，離心率為，直線l：x＋2y－2＝0與x軸，y軸分別交于點A，B.(1)若點A是橢圓E的一個頂點，求橢圓的方程；(2)若線段AB上存在點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范圍．解　(1)由橢圓的離心率為，得a＝c，由A(2,0)，得a＝2，∴c＝，b＝，∴橢圓方程為＋＝1.(2)由e＝，設(shè)橢圓方程為＋＝1，聯(lián)立得6y2－8y＋4－a2＝0，若線段AB上存在點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，則線段AB與橢圓E有公共點，等價于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．設(shè)f(y)＝6y2－8y＋4－a2，∴即∴≤a2≤4，故a的取值范圍是.四、圓錐曲線的綜合問題1．圓錐曲線的綜合問題包括位置關(guān)系的證明及定點、定值、最值、探索性問題，解決的基本思路是利用代數(shù)法，通過直線與圓錐曲線的方程求解．2．圓錐曲線的綜合問題的解決培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．例4　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)經(jīng)過點P(2,2)，A，B是拋物線C上異于點O的不同的兩點，其中O為原點．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)若OA⊥OB，求△AOB面積的最小值．解　(1)由拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點P(2,2)知，4p＝4，解得p＝1.則拋物線C的方程為y2＝2x.拋物線C的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－.(2)由題意知，直線AB不與y軸垂直，設(shè)直線AB：x＝ty＋a，由消去x，得y2－2ty－2a＝0.Δ＝4t2＋8a.設(shè)A，B，則y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a.因為OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4.所以－2a＝－4，解得a＝2.滿足Δ>0.所以直線AB：x＝ty＋2.所以直線AB過定點(2,0)．S△AOB＝×2×＝＝≥＝4.當(dāng)且僅當(dāng)y1＝2，y2＝－2或y1＝－2，y2＝2時，等號成立．所以△AOB面積的最小值為4.反思感悟　(1)解決最值問題常見的題型，可用建立目標(biāo)函數(shù)的方法求解．(2)圓錐曲線的綜合問題可以從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，利用直線系或曲線系方程或函數(shù)方程思想，通過聯(lián)想與類比，使問題獲解．跟蹤訓(xùn)練4　已知動圓P與圓O1：x2－x＋y2＝0內(nèi)切，且與直線x＝－1相切，設(shè)動圓圓心P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)過曲線C上一點M(y0>0)作兩條直線l1，l2與曲線C分別交于不同的兩點A，B，若直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝1.證明：直線AB過定點．(1)解　由題意可知，動圓圓心P到點的距離與到直線x＝－的距離相等，所以點P的軌跡是以為焦點，直線x＝－為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為y2＝2x.(2)證明　易知M(2,2)，設(shè)點A，B，直線AB的方程為x＝my＋b，聯(lián)立得y2－2my－2b＝0，所以所以因為k1k2＝·＝1，即y1y2－2＝x1x2－2，所以b2－2b－4m2＋4m＝0，所以(b－1)2＝(2m－1)2，所以b＝2m或b＝－2m＋2.當(dāng)b＝－2m＋2時，直線AB的方程為x＝my－2m＋2過定點(2,2)與M重合，舍去；當(dāng)b＝2m時，直線AB的方程為x＝my＋2m過定點(0，－2)，所以直線AB過定點(0，－2)．

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