再練一課(范圍：§3.1～§3.2)一、單項選擇題1．若橢圓的焦距與短軸長相等，則此橢圓的離心率為(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　依題意，2c＝2b，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e2＝，又0＜e＜1，所以e＝.2．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，焦點到漸近線的距離為3，則雙曲線C的實軸長為(　　)A.  B．3  C．2  D．6答案　D解析　由題意，雙曲線的一條漸近線為y＝－x，即bx＋ay＝0，設(shè)雙曲線的右焦點為F(c，0)，c>0，則c2＝a2＋b2，所以焦點到漸近線的距離d＝＝＝b＝3，又離心率e＝＝，所以a＝3，所以雙曲線C的實軸長為2a＝6.3．若橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，線段F1F2被點分成5∶3的兩段，則此橢圓的離心率為(　　)A.   B.C.   D.答案　D解析　依題意得＝，所以c＝2b，所以a＝＝b，所以e＝＝＝.4．已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線C的右支上一點，且|PF2|＝|F1F2|，則△PF1F2的面積為(　　)A.  B.  C．2  D．4答案　A解析　∵在雙曲線C：－＝1中，a＝3，b＝4，c＝5，∴F1(－5，0)，F2(5，0)，|F1F2|＝10.∵|PF2|＝|F1F2|＝，∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋＝.∴在△PF1F2中，cos∠PF1F2＝＝，∴sin∠PF1F2＝，∴△PF1F2的面積為××10×＝.5．若ab≠0，則ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲線只可能是下圖中的(　　)答案　C解析　原方程分別可化為y＝ax＋b和＋＝1.從B，D中的兩橢圓看，a>0，b>0，但由B中的直線可得a<0，b<0，矛盾，應排除，由D中的直線可得a<0，b>0，矛盾，應排除；由A中的雙曲線可得a<0，b>0，但由直線可得a>0，b>0，矛盾，應排除；由C中的雙曲線可得a>0，b<0，由直線可得a>0，b<0.6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與圓(x－2)2＋y2＝6相交于A，B兩點，且|AB|＝4，則此雙曲線的離心率為(　　)A．2  B.  C.  D.答案　D解析　設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為bx－ay＝0，∵|AB|＝4，r＝，∴圓心(2，0)到漸近線的距離為，即＝，解得2b＝c，又由a2＋b2＝c2，得c＝a，∴此雙曲線的離心率為e＝＝.二、多項選擇題7．已知曲線C：mx2＋ny2＝1.(　　)A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD．若m＝0，n>0，則C是兩條直線答案　ACD解析　對于A，當m>n>0時，有>>0，方程化為＋＝1，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，當m＝n>0時，方程化為x2＋y2＝，表示半徑為的圓，故B錯誤；對于C，當m>0，n<0時，方程化為－＝1，表示焦點在x軸上的雙曲線，其中a＝，b＝，漸近線方程為y＝±x；當m<0，n>0時，方程化為－＝1，表示焦點在y軸上的雙曲線，其中a＝，b＝，漸近線方程為y＝±x，故C正確；對于D，當m＝0，n>0時，方程化為y＝±，表示兩條平行于x軸的直線，故D正確．8．橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1和F2，P為橢圓C上的動點，則下列說法正確的是(　　)A．a＝b，滿足∠F1PF2＝90°的點P有兩個B．a<b，滿足∠F1PF2＝90°的點P有四個C．△PF1F2的面積的最大值為D．△PF1F2的周長小于4a答案　ACD解析　記橢圓C的上、下頂點分別為B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2＝∠F1B2F2.選項A中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2＝90°，正確；選項B中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2<90°，不存在90°的∠F1PF2，錯誤；選項C中，面積≤·2c·b＝bc≤＝，正確；選項D中，周長＝2c＋2a<4a，正確．三、填空題9．若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則雙曲線－＝1的漸近線方程為________．答案　y＝±x解析　因為e＝＝，不妨設(shè)a＝4，c＝1，則b＝，所以對應雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.10．在平面直角坐標系Oxy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，直線y＝x被橢圓C截得的線段長為，則橢圓C的方程為________．答案　＋y2＝1解析　由題意知＝，可得a2＝4b2.橢圓C的方程可化簡為x2＋4y2＝a2.將y＝x代入可得x＝±，因此×＝，可得a＝2.因此b＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1.11．已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－＝1交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，則m的值是________．答案　±1解析　由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．則x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以線段AB的中點坐標為(m，2m)，又因為點(m，2m)在圓x2＋y2＝5上，所以5m2＝5，所以m＝±1.12．已知F1，F2是雙曲線－＝1的左、右焦點，PQ是過焦點F1的弦，且PQ的傾斜角為60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值為________．答案　16解析　在雙曲線－＝1中，2a＝8，由雙曲線定義，得|PF2|－|PF1|＝8，|QF2|－|QF1|＝8，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝(|PF2|－|PF1|)＋(|QF2|－|QF1|)＝16.四、解答題13．已知定點A(a，0)，其中0<a<3，它到橢圓＋＝1上的點的距離的最小值為1，求a的值．解　設(shè)橢圓上任一點為P(x，y)(－3≤x≤3)，則|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋(36－4x2)＝2＋4－a2，當0<a≤時，有0<a≤3.所以當x＝a時，(|PA|2)min＝4－a2＝1，解得a＝>(舍)；當<a<3時，有3<a<，當且僅當x＝3時，(|PA|2)min＝a2－6a＋9＝1，解得a＝2或a＝4(舍)，綜上可得a＝2.14．已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0，6)．當△APF的周長最小時，求該三角形的面積．解　設(shè)雙曲線的左焦點為F1，由雙曲線方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3，0)．當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線的定義知|PF|－|PF1|＝2，∴|PF|＝|PF1|＋2，從而△APF的周長＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.∵|AF|＝＝15為定值，∴當|AP|＋|PF1|最小時，△APF的周長最小．由圖象可知，當|AP|＋|PF1|最小時，點P在線段AF1與雙曲線的交點處(如圖所示)．由題意可知直線AF1的方程為y＝2x＋6，由得y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8(舍去)，∴S△APF＝＝×6×6－×6×2＝12.15．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的頂點到直線l1：y＝x的距離分別為和.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)平行于l1的直線l交C于A，B兩點，且|＋|＝||，求直線l的方程．解　(1)由直線l1：y＝x可知其與兩坐標軸的夾角均為45°，故長軸端點到直線l1的距離為a，短軸端點到直線l1的距離為b，所以a＝，b＝，解得a＝2，b＝1，所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1.(2)設(shè)直線l：y＝x＋t(t≠0)，聯(lián)立整理得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，則Δ＝64t2－16×5(t2－1)>0，解得－<t<且t≠0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝，故y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝(x1＋x2)t＋x1x2＋t2＝，因為|＋|＝||，所以OA⊥OB，即·＝x1x2＋y1y2＝＋＝0，解得t＝±，滿足－<t<且t≠0，所以直線l的方程為y＝x＋或y＝x－.

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