?第4課時(shí)　空間向量的綜合應(yīng)用



必備知識(shí)基礎(chǔ)練
進(jìn)階訓(xùn)練第一層
1．[2023·福建寧德高二檢測](多選)直線a的方向向量為a，平面α，β的法向量分別為m，n，則下列命題為真命題的是(　　)
A.若α∥β，則m∥n
B.若a∥m，則直線a⊥平面α
C.若a⊥m，則直線a∥平面α
D.若cos 〈a，m〉＝，則直線a與平面α所成的角為
2．(多選)已知＝(0，1，1)，＝(2，－1，2)，BE⊥平面BCD，則(　　)
A.點(diǎn)A到平面BCD的距離為
B.AB與BE所成角的正弦值為
C.點(diǎn)A到平面BCD的距離為
D.AB與平面BCD所成角的正弦值為
3．[2023·江蘇淮安高二檢測](多選)如圖所示，在正方體ABCD - A1B1C1D1中，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.向量與的夾角為60°
D.AC1⊥平面CB1D1
4.

(多選)如圖，正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長為2，E是DD1的中點(diǎn)，則(　　)
A.B1C⊥BD1
B.點(diǎn)E到直線B1C的距離為3
C.直線B1E與平面B1C1C所成的角的正弦值為
D.點(diǎn)C1到平面B1CE的距離為
5．如圖，在棱長為1的正方體ABCD - A′B′C′D′中，M為BC的中點(diǎn)，則AM與D′B′所成角的余弦值為________；點(diǎn)C到平面DA′C′的距離為________．

6．如圖在棱長為2的正方體ABCD - A1B1C1D1中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求：
(1)異面直線D1E和A1B所成的角的余弦值；
(2)點(diǎn)A1到平面BB1D1D的距離．










關(guān)鍵能力綜合練
進(jìn)階訓(xùn)練第二層
1.

(多選)如圖，在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，DC＝DA＝2，DD1＝4，點(diǎn)E在C1C上，且CE＝1.則下列說法正確的是(　　)
A.A1D⊥BE
B.異面直線A1D與B1B所成角的正切值為2
C.A1C⊥平面DBE
D.直線BE與平面A1DE所成角的正弦值為
2．(多選)

如圖，在棱長為1的正方體ABCD - A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，BB1的中點(diǎn)，則(　　)
A.直線FC1與底面ABCD所成的角為30°
B.平面AB1E與底面ABCD夾角的余弦值為
C.直線FC1與直線AE的距離為
D.直線FC1與平面AB1E的距離為
3.

(多選)如圖，已知四棱錐P - ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD＝4，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，下列說法正確的是(　　)
A.PB與CD所成的角是60°
B.平面PCD與平面PBA所成的銳二面角余弦值是
C.三棱錐P - ACD的體積是
D.PB與平面PCD所成的角的正弦值是
4．[2023·湖北荊州高二檢測](多選)已知O是邊長為2的正方形ABCD的中心，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，沿對(duì)角線AC把正方形ABCD折成直二面角D - AC - B，則以下說法正確的是(　　)
A.∠EOF＝60°
B.EF的長度為
C.異面直線OE，BC所成的角是60°
D.點(diǎn)D到平面EOF的距離為
5．[2023·山東濰坊高二檢測]已知正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱CC1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A，M，N確定的平面為α，當(dāng)點(diǎn)N為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面α截正方體的截面的面積為________，點(diǎn)A1到平面α的距離的最小值為________．
6．[2023·河北石家莊高二檢測]如圖，在三棱錐P - ABC中，AC＝2，BC＝4，△PAC為正三角形，D為AB的中點(diǎn)，∠PCB＝∠ACB＝90°.

(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若O為AC的中點(diǎn)，求平面POD與平面PBC夾角；
(3)求點(diǎn)D到平面PBC的距離．









7．如圖，在梯形ABCD中，已知AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M為AB的中點(diǎn)．將△ADM沿DM翻折至△PDM，連接PC，PB.

(1)證明：DM⊥PC；
(2)若二面角P - DM - C的大小為60°，求PB與平面ABCD所成角的正弦值．








8．如圖，在三棱柱ABC - A1B1C1中，BC＝BB1，BC1∩B1C＝O，AO⊥平面BB1C1C.

(1)求證：AB⊥B1C；
(2)若∠B1BC＝60°，直線AB與平面BB1C1C所成的角為30°，求二面角A1 - B1C1 - A的余弦值．










核心素養(yǎng)升級(jí)練
進(jìn)階訓(xùn)練第三層
1．[2023·廣東茂名高二測試](多選)如圖，在棱長為2的正方體ABCD - A1B1C1D1中，點(diǎn)E是線段CD1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是(　　)

A.直線AC1⊥平面BCD1A1
B.點(diǎn)B1到平面BCD1A1的距離是
C.無論點(diǎn)E在線段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1E
D.若異面直線B1E與AD所成的角為θ，則sin θ的最小值為
2．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝60°，AB＝2AD＝2CD＝4，P為AB的中點(diǎn)，線段AC與DP交于O點(diǎn)，將△ACD沿AC折起到△ACD′的位置，使得平面ACB⊥平面ACD′.

(1)求證：BC∥平面POD′；

(2)求平面ABC與平面BCD′夾角的余弦值；
(3)線段PD′上是否存在點(diǎn)Q，使得CQ與平面BCD′所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．







第4課時(shí)　空間向量的綜合應(yīng)用
必備知識(shí)基礎(chǔ)練
1．答案：ABD
解析：對(duì)于A，由面面平行的性質(zhì)知，α∥β時(shí)，則m∥n，正確；
對(duì)于B，由線面垂直的判定知，a∥m時(shí)，直線a⊥平面α，正確；
對(duì)于C，a⊥m，則a∥α或a?α，故不正確；
對(duì)于D，設(shè)直線a與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos 〈a，m〉|＝，由0≤θ≤，可得θ＝，故D正確．故選ABD.
2．答案：CD
解析：因?yàn)锽E⊥平面BCD，所以是平面BCD的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)A到平面BCD的距離為＝，故A錯(cuò)誤，C正確；AB與BE所成角的余弦值為＝＝，正弦值為 ＝，B錯(cuò)誤；AB與平面BCD所成角的正弦值為＝＝，D正確．故選CD.
3．答案：ABD
解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，

則有A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(1，1，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1)，
對(duì)于選項(xiàng)A，由＝可得B1D1∥BD，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，由·＝－1＋1＋0＝0可得AC1⊥BD，B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由cos 〈，〉＝＝－，0°≤〈，CB1〉≤180°，故向量與的夾角為135°，C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，由AC1·B1D1＝－1＋1＋0＝0，·＝0－1＋1＝0，所以⊥，AC1⊥CB1，B1D1∩CB1＝B1，B1D1，CB1?平面CB1D1，所以AC1⊥平面CB1D1，D正確．故選ABD.
4．答案：AC
解析：

如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(0，2，1)，B1(2，0，2)，D1(0，2，2)，C1(2，2，2)，＝(0，2，－2)，＝(－2，2，2)，則·＝0＋4－4＝0，所以⊥，故A正確；
＝(－2，2，－1)，則cos 〈，〉＝＝＝，所以sin ∠CB1E＝，所以點(diǎn)E到直線B1C的距離為|B1E|sin ∠CB1E＝，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)镃1D1⊥平面B1C1C，所以＝(2，0，0)，即為平面B1C1C的一個(gè)法向量，則直線B1E與平面B1C1C所成的角的正弦值為＝＝，故C正確；
＝(0，0，2)，設(shè)平面B1CE的法向量為n＝(x，y，z)，則有，可取n＝(1，2，2)，則點(diǎn)C1到平面B1CE的距離為＝，故D錯(cuò)誤．故選AC.
5．答案：　
解析：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，1)，M(，1，1)，B′(0，1，0)，D′(1，0，0)，＝(，1，0)，＝(－1，1，0)，cos 〈，〉＝＝，AM與D′B′所成角的余弦值為.如圖所示，設(shè)點(diǎn)C到平面DA′C′的距離為d，因?yàn)閂C - A′DC′＝VA′ - DCC′，××××sin 60°·d＝××1×1×1?d＝.

6．解析：(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則E(1，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，

所以異面直線D1E和A1B所成的角的余弦值為.


令x＝1，則n＝(1，－1，0)，
所以點(diǎn)A1到平面BB1D1D的距離d＝＝＝.
關(guān)鍵能力綜合練
1．答案：ACD
解析：

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，E(0，2，1)，
對(duì)于A，∵＝(－2，0，－4)，＝(－2，0，1)，∴·＝0，∴A1D⊥BE，A正確；
對(duì)于B，∵＝(－2，0，－4)，＝(0，0，4)，設(shè)異面直線A1D與B1B所成的角為θ，∴cos θ＝＝＝，∴tan θ＝，B錯(cuò)誤；
DB?平面DBE，∴A1C⊥平面DBE，C正確；

∴n＝(4，1，－2)，又＝(－2，0，1)，∴|cos 〈，n〉|＝＝＝，即直線BE與平面A1DE所成角的正弦值為，D正確．故選ACD.
2．答案：BCD
解析：

如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，則A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，E(0，0，)，F(xiàn)(1，1，)，
A選項(xiàng)：＝(－1，0，)，平面ABCD的法向量為＝(0，0，1)，設(shè)直線FC1與底面ABCD所成的角為θ，則sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝，∴直線FC1與底面ABCD所成的角不為30°，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：＝(0，1，1)，＝(－1，0，)，設(shè)平面AB1E的法向量為n＝(x，y，z)，則，令z＝2，則n＝(1，－2，2)，設(shè)平面AB1E與底面ABCD的夾角為α，則cos α＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，∴平面AB1E與底面ABCD夾角的余弦值為，故B正確；
C選項(xiàng)，＝(－1，－1，0)，直線FC1與直線AE的距離為
＝· ＝，故C正確；
D選項(xiàng)，∵FC1∥AE，AE?平面AB1E，F(xiàn)C1?平面AB1E，又＝(0，1，)，平面AB1E的法向量為n＝(1，－2，2)，∴直線FC1與平面AB1E的距離為h＝＝＝，故D正確．故選BCD.
3．答案：ACD
解析：由AD∥BC，∠ABC＝90°，可得AD⊥AB，又PA⊥平面ABCD，故以AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2).
選項(xiàng)A.由＝(－2，0，2)，＝(－2，2，0)，則cos 〈，〉＝＝＝，所以〈，〉＝，所以PB與CD所成的角是60°，故選項(xiàng)A正確．
選項(xiàng)B.由題意n＝(0，1，0)為平面PAB的一個(gè)法向量．設(shè)m＝(x，y，z)為平面PCD的一個(gè)法向量，＝(0，－4，2).由，即，則取m＝(1，1，2)，所以cos 〈n，m〉＝＝＝，所以平面PCD與平面PBA所成的銳二面角余弦值是，故選項(xiàng)B不正確．
選項(xiàng)C.VP - ACD＝S△ACDPA＝××AD×AB×PA＝×4×2×2＝，故選項(xiàng)C正確．
選項(xiàng)D.＝(－2，0，2)，設(shè)PB與平面PCD所成的角為θ，則sin θ＝|cos 〈，m〉|＝＝＝，故選項(xiàng)D正確．故選ACD.
4．答案：BCD
解析：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則F(1，1，0)，E(0，－1，1)，

∴＝(0，－1，1)，＝(1，1，0)，||＝||＝，∴cos ∠EOF＝＝－，∴∠EOF＝120°，故A錯(cuò)誤；
∵＝－＝(1，2，－1)，∴|EF|＝＝，故B正確；
∵B(2，0，0)，C(0，2，0)?＝(－2，2，0)，又＝(0，－1，1)，∴cos 〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝120°，所以異面直線OE，BC所成的角是60°，故C正確；
設(shè)平面EOF的法向量為u＝(x，y，z)，則，即，令x＝1，得y＝z＝－1，于是u＝(1，－1，－1)，又D(0，0，2)?＝(0，0，2)，所以點(diǎn)D到平面EOF的距離d＝＝＝，故D正確．故選BCD.
5．答案：　
解析：當(dāng)N是CC1的中點(diǎn)時(shí)，連接AD1，BC1，由于MN∥BC1∥AD1，

所以A，M，N，D1四點(diǎn)共面，所以平面α即平面AMND1，
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，四邊形AMND1是等腰梯形，
MN＝，AD1＝2，D1N＝AM＝，
所以等腰梯形AMND1的高為 ＝，
所以截面面積為×＝.
當(dāng)N是棱CC1上任意一點(diǎn)時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

A(2，0，0)，M(1，2，0)，＝(－1，2，0)，
設(shè)N(0，2，t)，0≤t≤2，＝(－1，0，t)，
設(shè)平面α的法向量為n＝(x，y，z)，
則，故可設(shè)n＝(2t，t，2)，＝(0，0，2)，
所以點(diǎn)A1到平面α的距離為＝，
0≤t2≤4，4≤5t2＋4≤24，
所以當(dāng)t＝2，5t2＋4＝24時(shí)，點(diǎn)A1到平面α的距離取得最小值為＝.
6．解析：(1)證明：因?yàn)椤螾CB＝∠ACB＝90°，
所以PC⊥CB，AC⊥CB，又PC∩AC＝C，PC?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，又BC?平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)因?yàn)椤鱌AC為正三角形，O為AC中點(diǎn)，連接PO，OD，
所以PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
所以PO⊥平面ABC，又OD?平面ABC，
所以PO⊥OD，又D為AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)D∥BC，OD⊥AC，
如圖以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0，0，)，C(－1，0，0)，B(－1，4，0)，
所以＝(－1，0，－)，＝(0，4，0)，
設(shè)平面PBC的法向量為m＝(x，y，z)，
則，令z＝－1，可得m＝(，0，－1)，
又平面POD的一個(gè)法向量可取n＝(1，0，0)，
設(shè)平面POD與平面PBC夾角為θ，
則cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝，又θ∈[0，]，
所以θ＝，即平面POD與平面PBC的夾角為.
(3)由題可知D(0，2，0)，＝(0，－2，)，平面PBC的法向量為m＝(，0，－1)，
所以點(diǎn)D到平面PBC的距離為＝.
7．解析：(1)證明：連接AC，交DM于點(diǎn)O，連接PO.
因?yàn)锳B＝4，AD＝DC＝BC＝2，M為AB的中點(diǎn)，所以AM＝AD＝CD.
又四邊形ABCD為梯形，則四邊形AMCD為菱形，所以DM⊥AC.
又PD＝PM，O是DM的中點(diǎn)，所以DM⊥PO.
因?yàn)锳C?平面PCO，PO?平面PCO，AC∩PO＝O，所以DM⊥平面PCO.
又PC?平面PCO，所以DM⊥PC.

(2)以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)槎娼荘 - DM - C的大小為60°，由(1)DM⊥平面PCO，所以∠POC＝60°，

易得∠BAD＝60°，則B(2，，0)，P(0，，)，＝(2，，－).
平面ABCD的一個(gè)法向量為m＝(0，0，1)，設(shè)PB與平面ABCD所成的角為α，
則sin α＝|cos 〈，m〉|＝＝，即PB與平面ABCD所成角的正弦值為.
8．解析：(1)∵AO⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，
∵BC＝BB1，四邊形BB1C1C是平行四邊形，
∴四邊形BB1C1C是菱形．
∴BC1⊥B1C，
∵AO∩BC1＝O，AO?平面ABC1，BC1?平面ABC1，
∴B1C⊥平面ABC1，
∵AB?平面ABC1，∴B1C⊥AB.
(2)∵AB與平面BB1C1C所成的角為30°，AO⊥平面BB1C1C，
∴∠ABO＝30°，
若∠B1BC＝60°，則△BCB1是正三角形．
令BC＝2，則B1C＝2，BO＝，OA＝1，
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OB1，OA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則O(0，0，0)，B(，0，0)，B1(0，1，0)，A(0，0，1)，C1(－，0，0)，

設(shè)平面AB1C1的一個(gè)法向量為n1＝(x，y，z)，

設(shè)二面角A1 - B1C1 - A的大小為θ，由圖知θ非鈍角，
∴cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝.
∴二面角A1 - B1C1 - A的余弦值為.
核心素養(yǎng)升級(jí)練
1．答案：BCD
解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，A(0，0，0)，C1(2，2，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D1(0，2，2)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，D(0，2，0).

A.＝(2，2，2)，＝(0，2，0)，因?yàn)椤ぁ?，所以AC1與BC不垂直，那么AC1與平面BCD1A1不垂直，故A錯(cuò)誤；
B．點(diǎn)B1到平面BCD1A1的距離即點(diǎn)B1到平面BCD1的距離，設(shè)點(diǎn)B1到平面BCD1A1的距離為d，因?yàn)閂B1 - BCD1＝VD1 - B1BC，即×S△BCD1×d＝×S△B1BC×C1D1，得××2×2×d＝××2×2×2，解得d＝，故B正確；
C．因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD1上，所以E(2－z，2，z)，＝(2，2，2)，＝(－z，2，z－2)，·＝－2z＋4＋2(z－2)＝0，所以AC1⊥B1E，故C正確；
D．＝(0，2，0)，＝(－z，2，z－2)，cos θ＝|cos 〈，B1E〉|＝＝＝，因?yàn)閟in θ＝，所以求sinθ的最小值，即求cos θ的最大值，當(dāng)z＝1時(shí)，cos θ取得最大值，最大值是，此時(shí)sin θ＝，故D正確．故選BCD.
2．解析：

(1)連接PC，因?yàn)锳B＝2AD＝2CD＝4，P為AB的中點(diǎn)，AB∥CD，
所以AP＝CD，AP∥CD，
故四邊形APCD為平行四邊形，
故O是AC，DP的中點(diǎn)，
因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)P∥CB，
因?yàn)镻O?平面POD′，BC?平面POD′，
所以BC∥平面POD′.
(2)因?yàn)槠矫鍭CB⊥平面ACD′，交線為AC，
因?yàn)锳D′＝D′C，O是AC的中點(diǎn)，所以O(shè)D′⊥AC，
因?yàn)镺D′?平面ACD′，所以O(shè)D′⊥平面ACB，
因?yàn)锳C，OP?平面ACB，
所以O(shè)D′⊥AC，OD′⊥OP，
因?yàn)椤螧AD＝60°，AP＝AD，
所以三角形ADP為等邊三角形，
因?yàn)镺是DP的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，
所以O(shè)D′，AC，OP兩兩垂直，

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OP，OD′為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)锳B＝2AD＝2CD＝4，
所以A(，0，0)，B(－，2，0)，C(－，0，0)，D′(0，0，1)，
設(shè)平面BCD′的法向量為m＝(x，y，z)，
則，
解得y＝0，令x＝1，則z＝－，
所以m＝(1，0，－)，
平面ABC的法向量為n＝(0，0，1)，
設(shè)平面ABC與平面BCD′的夾角為θ，
則cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝
＝＝，
故平面ABC與平面BCD′的夾角的余弦值為.
(3)存在點(diǎn)Q，
理由如下：設(shè)Q(0，a，1－a)，a∈[0，1]，
則＝(0，a，1－a)－(－，0，0)＝(，a，1－a)，
由(2)知：平面BCD′的法向量為m＝(1，0，－)，
設(shè)CQ與平面BCD′所成的角為α，
則sin α＝|cos 〈，m〉|＝
＝＝，
因?yàn)閍∈[0，1]，解得a＝，故＝.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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