【真題體驗】
1.(2021·全國甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐O－ABC的體積為( )
A.eq \f(\r(2),12) B.eq \f(\r(3),12)
C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(3),4)
2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3eq \r(3)和4eq \r(3)，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為( )
A.100π B.128π
C.144π D.192π
3.(2022·全國乙卷)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
【熱點突破】
熱點一 外接球問題
考向1 墻角模型
墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形的模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長.長方體同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球半徑為R.則(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).常見的有以下三種類型：
例1 已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為( )
A.8eq \r(6)π B.4eq \r(6)π
C.2eq \r(6)π D.eq \r(6)π
考向2 對棱相等模型
對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等的模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長，如圖所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(長方體的長、寬、高分別為a，b，c)，即R2＝eq \f(1,8)(x2＋y2＋z2)，如圖.
例2 (2023·涼山二模)在四面體A－BCD中，AB＝CD＝eq \r(7)，AD＝BC＝eq \r(29)，AC＝BD＝2eq \r(7)，則四面體A－BCD外接球表面積是( )
A.64π B.32π
C.256π D.eq \f(256,3)π
考向3 漢堡模型
漢堡模型是直三棱柱、圓柱的外接球模型，模型如下，
由對稱性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2的連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝eq \f(h,2)，所以R2＝r2＋eq \f(h2,4).
例3 (2023·天津模擬)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上.若該棱柱的體積為eq \r(3)，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則外接球的表面積等于( )
A.8π B.9π
C.10π D.11π
考向4 垂面模型
垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內(nèi)接于球.如圖所示，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑CO1＝r，OO1＝eq \f(h,2)，則R＝eq \r(r2＋\f(h2,4)).

例4 (2023·武漢模擬)已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝eq \r(3)，E是CD邊的中點.現(xiàn)以AE為折痕將△ADE折起，當三棱錐D－ABE的體積最大時，該三棱錐外接球的體積為________.
考向5 切瓜模型
切瓜模型是有一側(cè)面垂直底面的棱錐模型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABC⊥底面BCD，設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，△BCD的外心為O1，O1到BC的距離為d，O與O1的距離為m，△BCD和△ABC外接圓的半徑分別為r1，r2，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(R2＝req \\al(2,1)＋m2，,R2＝d2＋req \\al(2,2)，))解得R，可得R＝eq \r(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－\f(l2,4))(l為兩個面的交線段長).
例5 (2023·臨沂質(zhì)檢)在邊長為6的菱形ABCD中，A＝eq \f(π,3)，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，當三棱錐A－BCD的體積最大時，三棱錐A－BCD的外接球的表面積為________.
規(guī)律方法 求解空間幾何體的外接球問題的方法
一是構(gòu)造模型來解決，二是確定球心后求出球的半徑，在此過程中要注意選準最佳角度作出截面(使此截面盡可能多的包含球與幾何體的各種元素)，來達到空間問題平面化的目的.
訓(xùn)練1 (1)(2023·湖州模擬)已知四棱錐S－ABCD的所有頂點都在球O的球面上，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD且滿足AB＝2AD＝2DC＝2，且∠DAB＝eq \f(π,3)，SC＝eq \r(2)，則球O的表面積是( )
A.5π B.4π
C.3π D.2π
(2)(2023·銅仁二模)半徑為4的球的球面上有四點A，B，C，D，已知△ABC為等邊三角形且其面積為9eq \r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為________.
熱點二 內(nèi)切球問題
內(nèi)切球問題的解法(以三棱錐為例)
第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體的體積；
第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋
VO－PBC?VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·r＋eq \f(1,3)S△PAB·r＋eq \f(1,3)S△PAC·r＋eq \f(1,3)SPBC·r＝eq \f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝eq \f(3VP－ABC,S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC).
例6 (1)(2023·長沙模擬)在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，則該三棱錐內(nèi)切球的體積為( )
A.eq \f(9π,16) B.eq \f(9π,4)
C.eq \f(16π,9) D.eq \f(4π,3)
(2)已知球O的半徑為2，圓錐內(nèi)接于球O，當圓錐的體積最大時，圓錐內(nèi)切球的半徑為( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(3)＋1
C.eq \f(4（\r(3)－1）,3) D.eq \f(4（\r(3)＋1）,3)
規(guī)律方法 空間幾何體的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.
訓(xùn)練2 (1)在平面中，若正△ABC內(nèi)切圓的面積為S1，內(nèi)切圓與外接圓之間的圓環(huán)面積為S2，則eq \f(S1,S2)＝eq \f(1,3).在空間中，若正四面體PABC內(nèi)切球的體積V1，內(nèi)切球之外與外接球之內(nèi)的幾何體的體積為V2，則eq \f(V1,V2)＝( )
A.eq \f(1,63) B.eq \f(1,26)
C.eq \f(1,15) D.eq \f(1,7)
(2)(2023·湖北名校聯(lián)考)已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為( )
A.eq \f(49π,36) B.eq \f(576π,49)
C.eq \f(576π,25) D.eq \f(344π,25)

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