第二講　用樣本估計(jì)總體
知識梳理 · 雙基自測
知識點(diǎn)一　總體取值規(guī)律的估計(jì)頻率分布表與頻率分布直方圖頻率分布表和頻率分布直方圖，是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，從中可以看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況．
注：①平均數(shù)表示“平均水平”，中位數(shù)表示“中等水平”，眾數(shù)表示“多數(shù)水平”，它們都有各自的使用范圍，在實(shí)際應(yīng)用中要注意選擇．②一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)都是唯一的．眾數(shù)不唯一，也可以有多個(gè)．③眾數(shù)一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)，平均數(shù)和中位數(shù)都不一定是原始數(shù)據(jù)中的數(shù).
題組一　走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．( 　　)(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．( 　　)(3)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．( 　　)
(4)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．( 　　)(5)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．( 　　)(6)對單峰頻率直方圖，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊．( 　　)
題組二　走進(jìn)教材2．(多選題)(必修2P222T2改編)在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．過去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，一定符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染標(biāo)志的是( )A．A地：中位數(shù)為2，極差為5B．B地：總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2C．C地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0D．D地：總體平均數(shù)為2，總體方差為3
3．(必修2P197T1改編)從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50～350 kW·h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，則直方圖中x＝________________，在被調(diào)查的用戶中，用電量的平均值為_________kW·h，用電量落在區(qū)間[100,250)內(nèi)的戶數(shù)為_______.
[解析]　(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，計(jì)算得x＝0.004 4.50×(75×0.002 4＋125×0.003 6＋175×0.006＋225×0.004 4＋275×0.002 4＋325×0.001 2)＝186.(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.
題組三　走向高考4．(2021·天津高考)從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評分分?jǐn)?shù)，將所得400個(gè)評分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：[66,70)、[70,74)、…、[94,98]，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間[82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是( 　　)A．20 B．40 C．64 D．80
[解析]　由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間[82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量為400×0.05×4＝80.故選D.
5．(2022·全國高考甲卷)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則( 　　)A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
考點(diǎn)突破 · 互動(dòng)探究
(多選題)(2022·湖北八市聯(lián)考)立德中學(xué)舉行黨史知識競賽，對全校參賽的1 000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是( )A．圖中的x值為0.020B．這組數(shù)據(jù)的極差為50C．得分在80分及以上的人數(shù)為400D．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為77
[解析]　由(0.005＋x＋0.035＋0.030＋0.010)×10＝1，解得x＝0.020，故選項(xiàng)A正確；頻率分布直方圖無法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故選項(xiàng)B不正確；得分在80分及以上的人數(shù)的頻率為(0.030＋0.010)×10＝0.4，故人數(shù)為1 000×0.4＝400，故選項(xiàng)C正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝77，故選項(xiàng)D正確．
應(yīng)用頻率分布直方圖時(shí)的注意事項(xiàng)用頻率分布直方圖解決相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)正確理解圖表中各個(gè)量的意義，識圖掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵．頻率分布直方圖有以下幾個(gè)要點(diǎn)：(1)縱軸表示頻率/組距；(2)頻率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比；(3)頻率分布直方圖中每一個(gè)矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個(gè)區(qū)間上的頻率，所有的小矩形的面積之和等于1，即頻率之和為1.
〔變式訓(xùn)練1〕(2023·湖北恩施州質(zhì)檢)為了解人們對環(huán)保知識的認(rèn)知情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)對A地區(qū)隨機(jī)選取n個(gè)居民進(jìn)行了環(huán)保知識問卷調(diào)查(滿分為100分)，并根據(jù)問卷成績(不低于60分記為及格)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六組)，若問卷成績最后三組頻數(shù)之和為360，則下列結(jié)論正確的是_________.
①n＝480②問卷成績在[70,80)內(nèi)的頻率為0.3③a＝0.030④以樣本估計(jì)總體，若對A地區(qū)5 000人進(jìn)行問卷調(diào)查，則約有1 250人不及格
角度1　總體集中趨勢的估計(jì) (1)(多選題)(2022·西南四省名校聯(lián)考改編)第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日在國家體育場鳥巢舉行了盛大開幕式．在冬奧會(huì)的志愿者選拔工作中，某高校承辦了面試工作，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績并分為五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)( )
A．直方圖中b的值為0.025B．候選者面試成績的中位數(shù)約為69.4C．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間[65,75)之間的學(xué)生有30人D．估計(jì)候選者的面試成績的平均數(shù)約為69.5分
(2)(2022·江西九江模擬三)小明同學(xué)本學(xué)期5次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，最高分為90分，最低分為70分，中位數(shù)為85分，則這5次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的平均分不可能是( 　　)A．80分 B．81分C．84分 D．85分
[解析]　(1)∵(0.005＋b＋0.045＋0.02＋0.005)×10＝1，∴b＝0.025，故A正確；設(shè)候選者面試成績的中位數(shù)為x，則(0.005＋0.025)×10＋(x－65)×0.045＝0.5，解得x≈69.4，故B正確；成績在區(qū)間[65,75)的頻率為0.045×10＝0.45，故人數(shù)有80×0.45＝36，故C錯(cuò)誤；50×0.005×10＋60×0.025×10＋70×0.045×10＋80×0.02×10＋90×0.005×10＝69.5，D正確．故選ABD.
〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2022·廣西南寧市一模)某中學(xué)高三文科2班在每周的星期一、三、五的晚自習(xí)前都要用半個(gè)小時(shí)進(jìn)行英語聽力測試，一共30個(gè)小題，每個(gè)小題1分，共30分．測試完后，該班英語老師都會(huì)隨機(jī)抽取一個(gè)小組進(jìn)行現(xiàn)場評閱，下表是該班英語老師在某個(gè)星期一隨機(jī)抽取一個(gè)小組進(jìn)行現(xiàn)場評閱的得分情況：
對這個(gè)小組的英語聽力測試分?jǐn)?shù)，有下面四種說法：①該小組英語聽力測試分?jǐn)?shù)的極差為12②該小組英語聽力測試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為21③該小組英語聽力測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為21④該小組英語聽力測試分?jǐn)?shù)的方差為11其中說法正確的個(gè)數(shù)是( 　　)A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(多選題)(2022·河北邯鄲期末)2021年7月1日是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某單位為了慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，組織了學(xué)黨史、強(qiáng)信念、跟黨走系列活動(dòng)，對本單位200名黨員同志進(jìn)行黨史測試并進(jìn)行評分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6組：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．下列說法正確的是( )A．a(chǎn)＝0.040B．得分在[95,100]的人數(shù)為4人C．200名黨員員工測試分?jǐn)?shù)的眾數(shù)約為87.5D．據(jù)此可以估計(jì)200名黨員員工測試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為85
(2)(0.025＋0.035＋a＋0.05＋0.03＋0.02)×5＝1，得a＝0.040，A正確；得分在[95,100]的人數(shù)為0.02×5×200＝20，B錯(cuò)誤；200名黨員員工測試分?jǐn)?shù)的眾數(shù)約為87.5，C正確；又前三個(gè)小矩形面積和為(0.025＋0.035＋0.04)×5＝0.5.∴可以估計(jì)200名黨員員工測試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為85.D正確，故選ACD.
(1)(2023·貴州遵義新高考協(xié)作體質(zhì)檢)某同學(xué)利用暑假積極參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，幫助湄潭翠芽經(jīng)銷商進(jìn)行促銷，該同學(xué)在兩周內(nèi)的每日促銷量如圖所示，根據(jù)此折線圖，下面結(jié)論中正確的是( 　　)A．這14天的促銷量的中位數(shù)大于200B．這14天促銷量超過200的天數(shù)所占比例大于50%C．這14天內(nèi)，促銷量的極差小于200D．前7天促銷量的方差小于后7天促銷量的方差
(2)(多選題)(2023·湖北“騰云聯(lián)盟”聯(lián)考)集成電路產(chǎn)業(yè)是信息產(chǎn)業(yè)發(fā)展的核心，是支撐經(jīng)濟(jì)社會(huì)和保障國家信息安全的戰(zhàn)略性、基礎(chǔ)性和先導(dǎo)性產(chǎn)業(yè)．下表統(tǒng)計(jì)了2015－2021年我國集成電路市場規(guī)模及同比增長情況，關(guān)于2015－2021年我國集成電路市場規(guī)模的下列說法正確的是( )
A．集成電路市場規(guī)模逐年增長B．同比增長率的平均數(shù)不超過20%C．集成電路市場規(guī)模同比增長率最高的年份是2017年D．集成電路市場規(guī)模的中位數(shù)小于極差
折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的變化趨勢．
〔變式訓(xùn)練3〕(多選題)(2023·廣西摸底改編)沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中正確的是( )A．月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元B．這一年的總利潤超過400萬元C．這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30D．7月份的利潤最大
[解析]　由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；各個(gè)月的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30，所以總利潤為20＋30＋20＋10＋30＋30＋60＋40＋30＋30＋50＋30＝380(萬元)，故B錯(cuò)誤；這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故C正確；7月份的利潤最大，為60萬元，故D正確．故選ACD.
名師講壇 · 素養(yǎng)提升
(1)(2021·全國高考)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
與“用樣本估計(jì)總體”相關(guān)的高考題例析
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是( 　　)A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
(2)(2021·全國高考)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：
[解析]　(1)因?yàn)轭l率分布直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率．樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為0.02＋0.04＝0.06＝6%，故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為0.04＋0.02×3＝0.10＝10%，故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率估計(jì)值為0.10＋0.14＋0.20×2＝0.64＝64%>50%，故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(萬元)，超過6.5萬元，故C錯(cuò)誤．綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選C.
〔變式訓(xùn)練4〕(2019·高考全國Ⅲ卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：
記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．

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