人教A版 (2019)必修第二冊(cè)8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積達(dá)標(biāo)測(cè)試-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積 8.3.2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積
A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固
1.若一飛行昆蟲被長(zhǎng)為12 cm的細(xì)繩綁在房間兩垂直墻面與天花板形成的交點(diǎn)處,則飛行昆蟲活動(dòng)范圍的體積為 (　　)
A.144π cm3 B.288π cm3
C.576π cm3 D.864π cm3
解析:飛行昆蟲活動(dòng)的范圍是以墻角為球心,半徑為12 cm 的球在房間內(nèi)的部分,即整個(gè)球的,所以飛蟲活動(dòng)范圍的體積為××π×123=288π(cm3).
答案:B
2.如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π,那么圓柱的體積等于 (　　)
A.π B.2π C.4π D.8π
解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,則圓柱的母線長(zhǎng)為2r,由題意得S圓柱側(cè)=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圓柱=πr2×2r=2πr3=2π.
答案:B
3.若表面積為Q的多面體的每一個(gè)面都與表面積為64π的球相切,則這個(gè)多面體的體積為(　　)
A.Q B.Q C.Q D.2Q
解析:由4πR2=64π,得R=4,所以V=QR=Q.
答案:C
4.如圖所示,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是　　　　.?

解析:設(shè)球的半徑為r, 則==.
答案:
5.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm,它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°,求圓臺(tái)的表面積.
解:如圖所示,設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c cm,

由于扇環(huán)的圓心角是180°,則c=π·SA=2π×10,
所以SA=20 cm.
同理可得SB=40 cm. 所以AB=SB-SA=20 cm.
所以S表=S側(cè)+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=
1 100π(cm2).
B級(jí)　能力提升
6.將若干毫升水倒入底面半徑為2 cm的圓柱形器皿中,量得水面高度為6 cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面高度為 (　　)
A.6 cm B.6 cm
C.2 cm D.3 cm
解析:設(shè)圓錐中水的底面半徑為r cm,由題意知πr2×r=π×22×6,得r=2,所以水面的高度是×2=6(cm).
答案:B
7.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為　　　　.?
解析:如圖所示,設(shè)球半徑為R,底面中心為O'且球心為O.
因?yàn)樵谡睦忮FP-ABCD中,AB=2,所以AO'=.
因?yàn)镻O'=4,所以在Rt△AOO'中,AO2=AO'2+OO'2,
所以R2=()2+(4-R)2,解得R=,
所以該球的表面積為4πR2=4π×（）2=.

答案:
8.如圖所示,一個(gè)圓錐的底面半徑為2 cm,高為6 cm,其中有一個(gè)高為x cm的內(nèi)接圓柱.

(1)試用x表示圓柱的側(cè)面積.
(2)當(dāng)x為何值時(shí),圓柱的側(cè)面積最大?最大是多少?
解:(1)根據(jù)題意畫出軸截面圖,如圖所示,

設(shè)圓柱的半徑為r,則根據(jù)三角形相似可得,
=,則r=2-,則
S圓柱側(cè)=2πrx=2π（2-）x=4πx-x2, x∈(0,6).
(2)由(1)知,當(dāng)x=-=3時(shí),這個(gè)二次函數(shù)有最大值6π,
所以當(dāng)圓柱的高為3 cm時(shí),它的側(cè)面積最大為6π cm2.
9.若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,求該球的體積和表面積.
解:如圖所示,連接BE,BE1.

可知BE=2DE,所以BE=.
在Rt△BEE1中,BE1==2,
所以2R=2,則R=,
所以球的體積V球=πR3=4π,
球的表面積S球=4πR2=12π.
C級(jí)　挑戰(zhàn)創(chuàng)新
10.(2022·全國(guó)乙卷,理)已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),其高為 (　　)
A. B. C. D.
解析:不妨設(shè)四棱錐的底面是正方形,邊長(zhǎng)為a,底面正方形外接圓的半徑為r,則r=a,四棱錐的高h(yuǎn)=,
所以四棱錐的體積
V=a2=≤==,當(dāng)且僅當(dāng)=1-,即a2=時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)四棱錐的高h(yuǎn)===,故選C.
答案:C

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