?新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷
一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.
1. 復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D.
2. 如圖是一個長方體的展開圖，如果將它還原為長方體，那么線段AB與線段CD所在的直線（ ）

A. 平行 B. 相交 C. 是異面直線 D. 可能相交，也可能是異面直線
3. 某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則（ ）

A. 講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%
B. 講座后問卷答題的正確率的中位數(shù)大于85%
C. 講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D. 講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
4. 已知m，n，l是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，，則 B. 若，，則
C 若，，則 D. 若，，，則
5. 在中，角，，所對的邊分別是，，，，，，則（ ）
A. B. 或 C. D. 或
6. 若隨機(jī)事件滿足，，，則事件與的關(guān)系是（ ）
A. 互斥 B. 相互獨(dú)立 C. 互為對立 D. 互斥且獨(dú)立
7. 在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（ ）
A. B. AB與平面所成的角為
C. D. 與平面所成的角為
8. 如圖，在△ABC中，，，BE交CF于點(diǎn)P，，則（ ）

A B. C. D.
二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），對于復(fù)數(shù)的以下描述，正確的有（ ）
A. B.
C. 的共軛復(fù)數(shù)為 D. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限
10. 已知點(diǎn)O，N在△ABC所在平面內(nèi) ，且，，則點(diǎn)O，N分別是△ABC的（ ）
A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心
11. 一個袋子中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個紅球，2個白球，每次從中隨機(jī)摸出1個球，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若不放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為
B. 若不放回摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為
C. 若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為
D. 若有放回的摸球3次，僅有前2次摸到紅球的概率為
12. 在正方體ABCD—中，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動，則下列說法中正確的有( )

A. 當(dāng)P為中點(diǎn)時，三棱錐P-外接球半徑為
B. 線段PQ長度最小值為2
C. 三棱錐-APC的體積為定值
D. 平面BPQ截該正方體所得截而可能為三角形、四邊形、五邊形
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，則向量的單位向量的坐標(biāo)是___________.
14. 為了解某地居民的月收入情況，一個社會調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了20 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示（最后一組包含兩端值，其他組包含最小值，不包含最大值）.現(xiàn)按月收入分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法在這20 000人中抽出200人進(jìn)一步調(diào)查，則月收入在[3 000，4 000）（單位：元）內(nèi)的應(yīng)抽取________人.

15. 正四面體相鄰兩側(cè)面所成二面角的正弦值是________
16. 某市為了緩解交通壓力，實(shí)行機(jī)動車限行政策，每輛機(jī)動車每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行.某公司有，，，，五輛車，每天至少有四輛車可以上路行駛.已知車周四限行，車昨天限行，從今天算起，，兩車連續(xù)四天都能上路行駛，車明天可以上路，由此可推測出今天是星期___________.


四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知，
（1）設(shè)，的夾角為，求的值；
（2）若向量與互相垂直，求k的值






18. 在中，．
（1）求C；
（2）若，的面積為6，求c的值．






19. 圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，，，.
（1）證明：面.
（2）求圓柱的體積.






20. 《中國制造2025》是中國實(shí)施制造強(qiáng)國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領(lǐng)，制造業(yè)是國民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國之本、興國之器、強(qiáng)國之基．發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國的生命線某電子產(chǎn)品制造企業(yè)為了提升生產(chǎn)效率，對現(xiàn)有的一條電子產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測數(shù)據(jù)得到下表（單位：件）
質(zhì)量指標(biāo)值







產(chǎn)品
60
100
160
300
200
100
80

（1）估計(jì)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的70百分位數(shù).
（2）估計(jì)這組樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；
（3）設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，表示不小于x的最小整數(shù)，s精確到個位，，，，根據(jù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級改造后，若質(zhì)量指標(biāo)值有65%落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定；若有95%落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，可認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．請問：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造是成功的？（參考數(shù)據(jù)： ，）



21. 下圖，直線與的邊，分別相交于點(diǎn)，.設(shè)，，，，請用向量方法證明：.





22. 重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊為吸引游客，準(zhǔn)備在門前兩條小路和之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長，記弓形花園的頂點(diǎn)為，，設(shè).

（1）將、用含有的關(guān)系式表示出來；
（2）該山莊準(zhǔn)備在點(diǎn)處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計(jì)、的長度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大.













新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷
一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.
1. 復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】由已知得，則復(fù)數(shù)的虛部為，
故選：D.
2. 如圖是一個長方體展開圖，如果將它還原為長方體，那么線段AB與線段CD所在的直線（ ）

A. 平行 B. 相交 C. 是異面直線 D. 可能相交，也可能是異面直線
【答案】C
【解析】【分析】將展開圖還原成長方體，即可判斷
【詳解】如圖，將展開圖還原成長方體，易得線段AB與線段CD是異面直線，

故選：C
3. 某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則（ ）

A. 講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%
B. 講座后問卷答題的正確率的中位數(shù)大于85%
C. 講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D. 講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
【答案】B
【解析】【分析】對于AB，根據(jù)中位數(shù)的定義求解判斷，對于C，根據(jù)數(shù)據(jù)的集中程度判斷，對于D，根據(jù)極差的定義判斷
【詳解】對于A，10名社區(qū)居民在講座前問卷答題的正確率分別為65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%，從小到大排列為60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，所以其中位數(shù)為，所以A錯誤，
對于B，10名社區(qū)居民在講座后問卷答題的正確率分別為90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，則從小到大排列為80%，85%，85%，85%，85%，90%，90%，95%，100%，100%，所以其中位數(shù)為，所以B正確，
對于C，因?yàn)橹v座前問卷答題的正確率比講座后問卷答題的正確率的數(shù)據(jù)分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯誤，
對于D，講座前問卷答題的正確率的極差為，講座后問卷答題的正確率的極差，所以講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，所以D錯誤，
故選：B
4. 已知m，n，l是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，，則
【答案】D
【解析】【分析】根據(jù)每項(xiàng)所提供的條件，思考可能的圖像，或者推理，逐項(xiàng)分析.
【詳解】對于A，即 ，若m和l在一個平面內(nèi)，并且相交，
則n垂直于m，l所確定的平面，即m與l的夾角可以不等于 ，故A錯誤；
對于B，若α⊥β，β⊥γ，如圖：

則α與γ可平行，可相交，故B錯誤；
對于C，若，β⊥γ，則m與γ平行或相交，或m?γ，故C錯誤；
對D，若m⊥a，，則n⊥α，又n⊥β，則，故D正確；
故選：D.
5. 在中，角，，所對邊分別是，，，，，，則（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】A
【解析】【分析】利用正弦定理求出，再求.
詳解】由正弦定理得，得，則；
因?yàn)?，則，故，則，所以A正確.
故選：A.
6. 若隨機(jī)事件滿足，，，則事件與的關(guān)系是（ ）
A. 互斥 B. 相互獨(dú)立 C. 互為對立 D. 互斥且獨(dú)立
【答案】B
【解析】【分析】利用獨(dú)立事件，互斥事件和對立事件的定義判斷即可
【詳解】解：因?yàn)椋?，又因?yàn)椋杂校?br /> 所以事件與相互獨(dú)立，不互斥也不對立故選：B.
7. 在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（ ）
A. B. AB與平面所成的角為
C. D. 與平面所成的角為
【答案】D
【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．
【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯誤；
對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯誤；
對于C，，，，C錯誤；
對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．
故選：D．


8. 如圖，在△ABC中，，，BE交CF于點(diǎn)P，，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】由三點(diǎn)共線的性質(zhì)得出.
【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以
所以，解得，
故選：A
二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），對于復(fù)數(shù)的以下描述，正確的有（ ）
A. B.
C. 的共軛復(fù)數(shù)為 D. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限
【答案】BD
【解析】【分析】先由求出復(fù)數(shù)，然后逐個分析判斷即可
【詳解】，
對于A，，所以A錯誤，
對于B，，所以B正確，
對于C，因?yàn)?，所以，所以C錯誤，
對于D，因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以D正確，
故選：BD
10. 已知點(diǎn)O，N在△ABC所在平面內(nèi) ，且，，則點(diǎn)O，N分別是△ABC的（ ）
A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心
【答案】AC
【解析】【分析】分析出點(diǎn)O到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為的外心；先證明點(diǎn)N在AB邊的中線上，同理可得點(diǎn)N在其他邊的中線上，所以點(diǎn)N為的重心.
【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)O到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等，
所以O(shè)為的外心；由，得，
由中線性質(zhì)可知點(diǎn)N在AB邊的中線上，同理可得點(diǎn)N在其他邊的中線上，
所以點(diǎn)N為的重心.故選：AC.
11. 一個袋子中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個紅球，2個白球，每次從中隨機(jī)摸出1個球，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若不放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為
B. 若不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為
C. 若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為
D. 若有放回的摸球3次，僅有前2次摸到紅球的概率為
【答案】ACD
【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用古典概型的概率公式判斷ABD，用條件概率公式判斷C即可
【詳解】對于A，若不放回的摸球3次，則恰好2次摸到紅球的概率為，所以A正確，
對于B，因?yàn)檠b有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個紅球，所以不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率，所以B錯誤，
對于C，設(shè)事件為第一次摸到紅球，事件為第二次摸到紅球，則，，所以，所以若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為，所以C正確，
對于D，若有放回的摸球3次，僅有前2次摸到紅球的概率為，所以D正確，
故選：ACD
12. 在正方體ABCD—中，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動，則下列說法中正確的有( )

A. 當(dāng)P為中點(diǎn)時，三棱錐P-的外接球半徑為
B. 線段PQ長度的最小值為2
C. 三棱錐-APC的體積為定值
D. 平面BPQ截該正方體所得截而可能為三角形、四邊形、五邊形
【答案】ABC
【解析】【分析】A：易知三棱錐P-的外接球球心為中點(diǎn)，據(jù)此即可求解判斷；B：根據(jù)幾何圖形即可判斷線段PQ長度的最小值為AB；C：易知為定值；D：作出平面BPQ與正方體各個面的交線即可判斷其形狀．
【詳解】對于A，當(dāng)P為中點(diǎn)時，

∵是正方形，∴，
∵AB⊥平面，平面，∴AB⊥，
∵AB∩=B，AB、平面ABP，∴平面ABP，
∵平面AP，∴平面AP⊥平面ABP，
易知Rt△ABP外接圓圓心為AP中點(diǎn)，Rt△AP外接圓圓心為中點(diǎn)，
則過Rt△ABP外接圓圓心作平面ABP的垂線，過Rt△AP外接圓圓心作平面AP的垂線，易知兩垂線交點(diǎn)為中點(diǎn)，則三棱錐P-的外接球球心即為中點(diǎn)，外接球半徑即為，故A正確；
對于B，如圖過P作PG⊥BC于G，過Q作QE⊥PG于E，

易知PQ≥QE=AG≥AB，故線段PQ長度的最小值為AB=2，故B正確；
對于C，

∵∥，平面，平面，∴∥平面，
∵P∈，故P到平面的距離為定值，又為定值，則為定值，故C正確；
對于D，易知，截面BPQ與平面的交線始終為，連接，易知∥，過Q作QF∥交于F，連接、QB，則即為截面，其最多為四邊形：

當(dāng)Q與重合，P與重合，此時截面BPQ為三角形：

平面BPQ截該正方體所得截面不可能為五邊形，故D錯誤﹒
故選：ABC﹒
【點(diǎn)睛】本題綜合考察空間中的點(diǎn)、線、面的關(guān)系，A選項(xiàng)的關(guān)鍵是找到外接球球心，B選項(xiàng)利用幾何關(guān)系即可判斷，C選項(xiàng)利用三棱錐等體積法即可判斷，D選項(xiàng)需充分利用空間里面的平行關(guān)系作出截面形狀進(jìn)行判斷.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，則向量的單位向量的坐標(biāo)是___________.
【答案】
【解析】【分析】現(xiàn)根據(jù)求，再代入向量的單位向量為運(yùn)算求解．
【詳解】，則∴向量的單位向量為
故答案為：．
14. 為了解某地居民的月收入情況，一個社會調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了20 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示（最后一組包含兩端值，其他組包含最小值，不包含最大值）.現(xiàn)按月收入分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法在這20 000人中抽出200人進(jìn)一步調(diào)查，則月收入在[3 000，4 000）（單位：元）內(nèi)的應(yīng)抽取________人.

【答案】40
【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求出[3 000，4 000）的頻率，從而可求出應(yīng)抽取的人數(shù)
【詳解】月收入在[3 000，4 000）的頻率為1－（0.000 1＋0.000 25×2＋0.000 15＋0.000 05）×1000＝0.2，
故應(yīng)抽取200×0.2＝40（人）.故答案為：40
15. 正四面體相鄰兩側(cè)面所成二面角的正弦值是________
【答案】
【解析】【分析】由已知中正四面體的所有面都是等邊三角形，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，易得∠AEB即為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面體（所有面都是等邊三角形的三棱錐）相鄰兩側(cè)面所成二面角的余弦值和正弦值．
【詳解】取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，如下圖所示：

設(shè)四面體的棱長為2，則AE=BE=且AE⊥CD，BE⊥CD，則∠AEB即為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角，△ABE中，cos∠AEB==，故正四面體（所有面都是等邊三角形的三棱錐）相鄰兩側(cè)面所成二面角的正弦值是.故答案為：
【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查二面角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 二面角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法、三垂線法、垂面法）證（定義）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出兩個平面的法向量；再代入公式（其中分別是兩個平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通過觀察二面角的大小選擇“”號）
16. 某市為了緩解交通壓力，實(shí)行機(jī)動車限行政策，每輛機(jī)動車每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行.某公司有，，，，五輛車，每天至少有四輛車可以上路行駛.已知車周四限行，車昨天限行，從今天算起，，兩車連續(xù)四天都能上路行駛，車明天可以上路，由此可推測出今天是星期___________.
【答案】四
【解析】【分析】從考慮，它們只能在前三天限行，考慮到昨天行，還有的限制，今天是周四．
【詳解】由題意，只能在每周前三天限行，
又昨天限行,E車明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，
因此今天是周四．這樣周一、周二限行，周三限行，周四限行，周五限行．滿足題意．
故答案為：四．
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知，
（1）設(shè)，的夾角為，求的值；
（2）若向量與互相垂直，求k的值
【答案】（1）； （2）．
【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的夾角公式即可解出；
（2）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及垂直的坐標(biāo)表示即可解出．
【小問1詳解】
因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
由，可得，
，因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，
所以，即，解得：.
18. 在中，．
（1）求C；
（2）若，的面積為6，求c的值．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）結(jié)合正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡整理可得，進(jìn)而結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可求出結(jié)果；
（2）利用三角形的面積公式可以求出邊，進(jìn)而結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】∵，
結(jié)合正弦定理可得，
即，又，，
故，∴．
【小問2詳解】由，的面積為6，
∴，故，
由，
可得．
19. 圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，，，.

（1）證明：面.
（2）求圓柱的體積.
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】【分析】（1）連接，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可得，證明四邊形為平行四邊形，從而可得，再證明四邊形為平行四邊形，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；
（2）連接，證明平面，從而可得，即可求得圓柱的底面圓的半徑和高，再根據(jù)圓柱的體積公式即可得解.
【小問1詳解】證明：連接，，，
可得平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴且，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
【小問2詳解】解：連接，
∵，∴，
∵垂直上底面，∴，
∵，平面，，
∴平面，
又平面，
∴，
∵，∴，
∴為等腰直角三角形，，
∴圓柱的體積為.

20. 《中國制造2025》是中國實(shí)施制造強(qiáng)國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領(lǐng)，制造業(yè)是國民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國之本、興國之器、強(qiáng)國之基．發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國的生命線某電子產(chǎn)品制造企業(yè)為了提升生產(chǎn)效率，對現(xiàn)有的一條電子產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測數(shù)據(jù)得到下表（單位：件）
質(zhì)量指標(biāo)值







產(chǎn)品
60
100
160
300
200
100
80

（1）估計(jì)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的70百分位數(shù).
（2）估計(jì)這組樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；
（3）設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，表示不小于x的最小整數(shù)，s精確到個位，，，，根據(jù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級改造后，若質(zhì)量指標(biāo)值有65%落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定；若有95%落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，可認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．請問：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造是成功的？（參考數(shù)據(jù)： ，）
【答案】（1）69 （2）平均數(shù)61和方差241 （3）不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功
【解析】【分析】（1）由可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)平均值和方差公式求解即可得解；
（3）根據(jù)定義求出，再根據(jù)頻率分布表可求出結(jié)果.
【小問1詳解】設(shè)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的70百分位數(shù)為，
則，解得.
所以估計(jì)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的70百分位數(shù)為.
【小問2詳解】由題，可知
．
．
【小問3詳解】由知，，
則，，
該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率約為；
又，，
該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率約為，
∴可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．
21. 下圖，直線與的邊，分別相交于點(diǎn)，.設(shè)，，，，請用向量方法證明：.

【答案】證明見詳解
【解析】【分析】根據(jù)圖形易得，結(jié)合數(shù)量積可得，根據(jù)數(shù)量積的定義代入運(yùn)算整理即可，注意向量夾角的分析理解．
【詳解】∵，則，即
又∵


∴
即
22. 重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊為吸引游客，準(zhǔn)備在門前兩條小路和之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長，記弓形花園的頂點(diǎn)為，，設(shè).

（1）將、用含有的關(guān)系式表示出來；
（2）該山莊準(zhǔn)備在點(diǎn)處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計(jì)、的長度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大？
【答案】（1），；
（2）當(dāng)時，取最大值.
【解析】【分析】（1）本題可通過正弦定理得出、；
（2）本題首先可根據(jù)題意得出，然后通過余弦定理得出，通過轉(zhuǎn)化得出，最后通過以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.
【詳解】（1）因?yàn)?，，?br /> 所以，，.
（2）因?yàn)?，，所以?br /> 在中，由余弦定理易知，
即

，
因?yàn)椋?，?br /> 當(dāng)，即時，
取最大值，取最大值，
此時，
，
故當(dāng)時，取最大值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查三角恒等變換，考查根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.

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