長(zhǎng)方體和正方體綜合運(yùn)用（教師版） 課首溝通 1、了解學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體、正方體的特征認(rèn)識(shí)，以及表面積、體積計(jì)算的公式熟練程度； 2、了解學(xué)生能否對(duì)常用的面積單位進(jìn)行換算； 知識(shí)導(dǎo)圖 課首小測(cè) [難度： ★★ ] 用一根24分米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)最大的正方體形狀的框架，這個(gè)正方體的體積是( )立方分米 【參考答案】8 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 加工一個(gè)長(zhǎng)方體鐵皮油桶，長(zhǎng)2.5分米，寬1.6分米，高3分米，至少要用多少平方分米鐵皮？ 【參考答案】32.6平方分米 [難度： ★★ ] 學(xué)校要挖一個(gè)長(zhǎng)方形狀沙坑，長(zhǎng)4米，寬2米，深0.4米，需要多少立方米的黃沙才能填滿？ 學(xué)生姓名年級(jí)學(xué)科授課教師日期時(shí)段核心內(nèi)容長(zhǎng)方體、正方體拼切問(wèn)題，表面積、體積綜合練習(xí)課型一對(duì)一 教學(xué)目標(biāo)1、鞏固復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體的表面積體積計(jì)算， 2、能熟練解決有關(guān)體積的等體積變換和拼切的應(yīng)用題； 3、提高綜合運(yùn)用公式解決復(fù)雜問(wèn)題；重、難點(diǎn)重點(diǎn)：教學(xué)目標(biāo)1、2 難點(diǎn)：教學(xué)目標(biāo)3【參考答案】3.2立方米 導(dǎo)學(xué)一 ： 長(zhǎng)方體、正方體的拼切問(wèn)題 知識(shí)點(diǎn)講解 1：表面積體積拼切綜合應(yīng)用例題 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 一根長(zhǎng)方體形狀的木料，把它截成兩段后，正好是兩個(gè)完全一樣的立方體，表面積增加了32平方分米，這根長(zhǎng)方體木料的體積是多少？ 【參考答案】128立方分米 【題目解析】截成兩段增加兩個(gè)面，每個(gè)面的面積是32÷2=16平方分米，而16=4×4，所以正方體的棱長(zhǎng)是4分米，所 以原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別是8、4、4分米，它的體積是8×4×4=128立方分米。 32÷2=16（平方分米）16=4×4，8×4×4=128（立方分米） 答：這根長(zhǎng)方體木料的體積是128立方分米。 【思維對(duì)話】 常見思維障礙：找不到題目中正方體的棱長(zhǎng)是多少？ 思維障礙點(diǎn)突破方法：1、教學(xué)生畫好立體圖形，指出切開的面是正方形；2、認(rèn)識(shí)正方形面積計(jì)算方法和結(jié)果是一個(gè)完全平方數(shù)，寫出一些常見的平方數(shù)，如9=3×3；16=4×4；25=5×5；從而得出正方體的棱長(zhǎng)是4分米。 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209 平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高以厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積各是多少？ 【參考答案】374立方厘米；486平方厘米 【題目解析】長(zhǎng)方體的前面和上面的面積是長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高=長(zhǎng)×（寬＋高），由于此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高用厘米為單 位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=11×19=11×（17＋2），即長(zhǎng)、寬、高分別為11、2、17厘米。知道了長(zhǎng)、寬、高求體積和表面積就容易了。 209=11×19=11×（17＋2） 體積：11×17×2=374（立方厘米）； 表面積：（11×17+11×2+17×2）×2=486（平方厘米） 答：這個(gè)長(zhǎng)方體體積是374立方厘米，表面積是486平方厘米。 【思維對(duì)話】  常見思維障礙：(1)不能分辨清楚上面和前面這兩個(gè)面是有什么數(shù)據(jù)算出來(lái)的；(2)不知如何分解209的質(zhì)因數(shù)(3)找不到長(zhǎng)寬高的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)； 思維障礙點(diǎn)突破方法：(1)畫好立體圖形，讓學(xué)生寫出前面和上面的計(jì)算公式，并引導(dǎo)提取公因數(shù)；(2) 讓學(xué)生自己動(dòng)手，將209分解質(zhì)因數(shù)；209=11×19，(3)再將19分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，19=2+17，得出長(zhǎng)寬高各是多少. 我愛展示 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 把一根長(zhǎng)6米的方木（底面是正方形）鋸成三段，表面積增加了20平方分米， 原來(lái)這根方木的體積是多少立方分米? 【參考答案】300立方分米 【題目解析】本題中鋸成三段，是需要鋸兩次，則增加4個(gè)底面，先求出每個(gè)底面的面積，6米=60分20÷4=5（平方分米）5×60=300（立方分米） 答：它的體積是300立方分米。 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 一種油箱，從里面量，底面正方形的面積是25平方分米，高是10分米，按每升汽油重0.68千克計(jì)算，現(xiàn)有150千克這種汽油，這個(gè)油箱能裝得下嗎？ 【參考答案】25×10×0.68=170（千克） 170千克大于150千克，可以裝下； 知識(shí)點(diǎn)講解 2：拼切后表面積的變化例題 [長(zhǎng)、正方體的表面積] [難度： ★★ ] 一個(gè)棱長(zhǎng)為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長(zhǎng)為2厘米的正方體若干塊，表面積增加多少厘米？ 【參考答案】432平方厘米 【題目解析】把棱長(zhǎng)為6厘米的正方體鋸成棱長(zhǎng)為2厘米的正方體，可以按下圖中的線共鋸6次，每鋸一次就增加兩個(gè)6×6=36平方厘米的面，鋸6次共增加36×2×6=432平方厘米的面積。因此，鋸好后表面積增加432平方厘米。 6×6=36（平方厘米），36×2×6=432（平方厘米） 答：表面積增加了432平方厘米。 【思維對(duì)話】 常見思維障礙：1、不能理解如何切成棱長(zhǎng)2厘米的正方體？2、怎樣切？需要切幾次？3、切成后增加了幾個(gè)怎樣的面？ 思維障礙點(diǎn)突破方法：1、教學(xué)生畫好大正方體的立體圖形，沿著上面、前面、側(cè)面垂直切下去；2、切成的小正方體棱長(zhǎng)為2厘米，算出每一個(gè)方向要切成幾段？需要切幾次？（切成3段，需要切2次）；3、每一個(gè)方向切2次，就會(huì)增加幾個(gè)面？（4個(gè)正方形的面），就一共增加（12）個(gè)面。 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 一個(gè)正方體木頭，棱長(zhǎng)是6厘米，在6個(gè)面的中央各挖一個(gè)長(zhǎng)、寬、高都是2厘米的洞孔，這時(shí)它的表面積、體積各是多少？ 【參考答案】312平方厘米，168立方厘米； 【題目解析】表面積等于正方體表面積加上6個(gè)洞孔的4個(gè)面的面積；體積等于正方體的體積減去6個(gè)洞孔的體積． 解：表面積為：6×6×6＋2×2×4×6＝312（平方厘米） 體積為：6×6×6－2×2×2×6=168（立方厘米） 答：表面積為312平方厘米，體積為168立方厘米 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高增加3厘米，就成為一個(gè)正方體。這時(shí)表面積比原來(lái)增加了96平方厘米。原來(lái)的長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？ 【參考答案】320立方厘米； 【題目解析】表面積增加96平方厘米，是指四個(gè)小長(zhǎng)方形，它們的高是3厘米，可以用96÷4÷3=8厘米，求出原來(lái)長(zhǎng)方 體的長(zhǎng)與寬，而它的高原來(lái)是8-3=5厘米，則可以求出它的體積了。 96÷4÷3=8（厘米） 8×8×5=320（立方厘米） 答：原來(lái)這根方木的體積是320立方厘米。 我愛展示 [長(zhǎng)、正方體的表面積] [難度： ★★ ] 有一個(gè)正方體木塊，把它分成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，表面積增加了24平方厘米，這個(gè)正方體木塊原來(lái)的表面積是多少平方厘米？ 【參考答案】72平方厘米 【題目解析】把正方體分成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，增加了兩個(gè)面，每個(gè)面的面積是24÷2=12平方厘米，而正方體有6個(gè)這樣的 面。所以原正方體的表面積是12×6=72平方厘米。 24÷2=12平方厘米 12×6=72平方厘米答：原來(lái)表面積是72平方厘米。 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，若從下部和上部分別截去高為4分米和3分米的體積后，便成為一個(gè)正方體，表面積減少了336平方分米．求原來(lái)的長(zhǎng)方體的體積是多少立方米？ 【參考答案】2.736 【題目解析】根據(jù)條件“表面積減少了336平方分米”，實(shí)際上減少的面積在4個(gè)側(cè)面上，也就是減少了高為4＋3＝ 7（分米）的4個(gè)側(cè)面的面積，再根據(jù)截去后剩下的部分“便成為一個(gè)正方體”可知原來(lái)長(zhǎng)方體的底面是正方形，故4個(gè)側(cè)面減少的面積相等，求出底面邊長(zhǎng)，從而可以求出長(zhǎng)方體的體積． 底面邊長(zhǎng)：336÷4÷（4＋3）＝12（分米） 體積： 12×12×（12＋4＋3）=2736（立方分米）＝2.736（立方米） 答：原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是2.736立方米． 導(dǎo)學(xué)二 ： 長(zhǎng)方體、正方體綜合復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解 1：長(zhǎng)方體、正方體的棱長(zhǎng)和例題 1. [長(zhǎng)、正方體的棱長(zhǎng)和] [難度： ★★ ] 有一個(gè)禮盒需要用彩帶捆扎，捆扎效果如圖，打結(jié)部分需要10厘米彩帶，一共需要多長(zhǎng)的彩帶？ 【參考答案】190厘米 【題目解析】本題雖然并未直接提出求棱長(zhǎng)和，但由于彩帶的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解決問(wèn)題時(shí)首先確定每部分彩帶與哪條棱平行，從而間接去求棱長(zhǎng)和。 前面和后面的彩帶長(zhǎng)度=高的長(zhǎng)度； 左面和右面的彩帶長(zhǎng)度=高的長(zhǎng)度； 上面和下面的彩帶長(zhǎng)度=長(zhǎng)的長(zhǎng)度； 上下兩個(gè)面，短的部分＝寬的長(zhǎng)度 需要彩帶的長(zhǎng)度=高×6+長(zhǎng)×2+打結(jié)部分長(zhǎng)度：20×6+30×2+10=190cm 答：一共需要彩帶190厘米長(zhǎng)。 我愛展示 1. [長(zhǎng)、正方體的棱長(zhǎng)和] [難度： ★★ ] 用一根鐵絲圍成一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體框架，用同樣長(zhǎng)的鐵絲能圍成一個(gè)長(zhǎng)8分米，寬6分米的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的高應(yīng)是多少？ 【參考答案】4分米 知識(shí)點(diǎn)講解 2：表面積例題 [長(zhǎng)、正方體的表面積] [難度： ★★ ] 一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的表面積是多少平方厘米？（單位： 厘米） 【參考答案】232平方厘米 【題目解析】求這個(gè)零件的表面積，看起來(lái)比較復(fù)雜，其實(shí)，朝上的兩個(gè)面的面積和正好與朝下的一個(gè)面的面積相 等；朝右的兩個(gè)面的面積和正好與朝左的一個(gè)面的面積相等。因此，此零件的表面積就是4×6- 2×4=16（平方厘米）（10×6＋10×4＋16）×2=232（平方厘米）。 答：它的表面積是232平方厘米。 [長(zhǎng)、正方體的表面積] [難度： ★★ ] 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個(gè)體積相等的小長(zhǎng)方體，這三個(gè)小長(zhǎng)方體表面積的和最大是多少平方厘米？ 【參考答案】268平方厘米； 【題目解析】這個(gè)長(zhǎng)方體原來(lái)的表面積是（6×5＋6×4＋5×4）×2=148平方厘米，每切割一刀，增加2個(gè)面。切成三 個(gè)體積相等的小長(zhǎng)方體要切2刀，一共增加2×2=4個(gè)面。要求表面積和最大，應(yīng)該增加4個(gè)6×5=30平方厘米的面。所以，三個(gè)小長(zhǎng)方體表面積和最大是148＋6×5×4=268平方厘米。 答：這三個(gè)小長(zhǎng)方體表面積的和最大是268平方厘米. 我愛展示 [長(zhǎng)、正方體的表面積] [難度： ★★ ] 一個(gè)抽屜，長(zhǎng)50厘米，寬30厘米，高10厘米，做一個(gè)這樣的抽屜，至少需要木板多少平方厘米？ 【參考答案】3100平方厘米 【題目解析】一個(gè)抽屜有5個(gè)面，分別是前面、后面、左面、右面、底面。所以做這樣一個(gè)抽屜所需要的木板，只要算 出這5個(gè)面的面積就可以了。長(zhǎng)方體的表面積= 長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高×2+寬×高×2 50×30+50×10×2+30×10×2=3100(平方厘米) 答：至少需要木板3100平方厘米 [長(zhǎng)、正方體的表面積] [難度： ★★ ] 在一個(gè)長(zhǎng)20米，寬8米，深1.5米的長(zhǎng)方體蓄水池里面貼瓷磚，瓷磚是邊長(zhǎng)為 0.2米的正方形，貼完共需瓷磚多少塊？ 【參考答案】6100塊 知識(shí)點(diǎn)講解 3：體積計(jì)算例題 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 一個(gè)長(zhǎng)方體的水槽長(zhǎng)18厘米，寬12厘米，高10厘米，里面水深6厘米，將一個(gè)不規(guī)則的土豆放入后，水面上升到8厘米處，這個(gè)土豆的體積是多少？ 【參考答案】432立方厘米 【題目解析】根據(jù)物體排開水的體積等于物體的體積，可知在放入土豆前后水面高度分別為6厘米和8厘米，可見土豆 排開水的高度為2厘米，因此土豆的體積就等于這部分水的體積 18×12×（8－6）=432立方厘米。 答：這個(gè)土豆的體積是432立方厘米 [難度： ★★ ] 把一個(gè)長(zhǎng)方形的鐵皮，長(zhǎng)10厘米，寬8厘米，在它的四角減去邊長(zhǎng)是2厘米的正方形，然后焊接成一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒，這個(gè)鐵盒的容積是多少？ 【參考答案】48毫升 【題目解析】用這塊鐵皮做成鐵盒后，鐵盒的長(zhǎng)和寬都發(fā)生了變化，鐵盒的長(zhǎng)為10-2-2=6厘米，寬為8-2-2=4厘米，高 為2厘米，再計(jì)算鐵盒的容積， 6×4×2=48立方厘米，48立方厘米=48毫升。答：這個(gè)鐵盒的容積是48毫升。 [長(zhǎng)、正方體的表面積] [難度： ★★ ] 一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高增加2厘米就成了一個(gè)正方體，表面積增加了56平方厘米，原來(lái)這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？ 【參考答案】245立方厘米； 我愛展示 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 一根長(zhǎng)方體木料長(zhǎng)3米，現(xiàn)在把這根木料鋸成4段后，表面積比原來(lái)增加了48平方分米，原來(lái)這個(gè)長(zhǎng)方體木料的體積是 （ ）立方分米。 【參考答案】240立方分米 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 有一個(gè)完全封閉的容器，里面的長(zhǎng)是20厘米、寬是16厘米、高是10厘米，平放時(shí)里面裝了7厘米深的水，如果把這個(gè)容器豎起來(lái)放（以寬和高所在的面為底），水面的高度是多少？ 【參考答案】14厘米 【題目解析】根據(jù)體積變形的原理，先計(jì)算出原有水的體積，20×16×7=2240（立方厘米），容器豎立起來(lái)后，側(cè)面 就變成了底面，2240÷16÷10=14厘米； 答：水的高度是14厘米。 限時(shí)考場(chǎng)模擬 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 有一個(gè)長(zhǎng)方體容器，從里面量長(zhǎng)5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。如果把一塊邊長(zhǎng)2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？ 【參考答案】0.4分米 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積。 【參考答案】216立方厘米； 【題目解析】本題根據(jù)表面積除以6個(gè)面得出的每個(gè)面正好是一個(gè)完全平方數(shù)，可以引導(dǎo)學(xué)生求出棱長(zhǎng)，因而再求出每 個(gè)正方體的體積。54÷6=9=3×3；96÷6=16=4×4；150÷6=25=5×5；所以三個(gè)正方體體積分別為： 27,64；125；大正方體的體積則是27+64+125=216立方厘米； 答：這個(gè)大正方體的體積是216立方厘米。 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 有一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來(lái)，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？ 【參考答案】18厘米； 【題目解析】根據(jù)體積不變的原理，先計(jì)算出原有水的體積，30×20×6=3600（立方厘米），容器豎立起來(lái)后，側(cè)面 就變成了底面，3600÷20÷10=18厘米； 答：里面水深18厘米。 [長(zhǎng)、正方體的表面積] [難度： ★★ ] 一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成了一個(gè)新的長(zhǎng)方體，拼成的長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積增加了40平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？ 【參考答案】60平方厘米 【題目解析】本題中表面積增加50平方厘米，是指增加4個(gè)正方形面，每個(gè)底面是40÷4=10平方厘米，所以原來(lái)正方體 的表面積是10×6=60平方厘米。 答：原正方體的表面積是60平方厘米。 課后作業(yè) [體積、容積及其單位;面積單位間的進(jìn)率及單位換算] [難度： ★★ ] 填空題 【參考答案】（1）150；125；（2）6；3；200;(3)27; [長(zhǎng)、正方體的表面積] [難度： ★★ ] 有一個(gè)正方體木塊，把它分成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，表面積增加了24平方厘米，這個(gè)正方體木塊原來(lái)的表面積是多少平方厘米？ 【參考答案】72平方厘米 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 有一塊長(zhǎng)為35厘米、寬為25厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，在四個(gè)角上分別剪去面積相等的正方形后，正好折成一個(gè)深為5厘米的無(wú)蓋鐵盒。求這個(gè)鐵盒的容積。 【參考答案】1875立方厘米 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 有一個(gè)長(zhǎng)方體的玻璃魚缸，從里面量得長(zhǎng)為80cm，寬為50cm,所盛水深為 62cm?，F(xiàn)在把40條金魚放入魚缸內(nèi)，水面上升到了62.2cm。平均每條金魚的體積是多少？ 【參考答案】20立方厘米 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 在一個(gè)長(zhǎng)方體的一端截去一個(gè)體積是800立方厘米的長(zhǎng)方體后，正好剩下一個(gè)棱長(zhǎng)是10cm的正方體，原來(lái)這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？ （1）一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是5厘米,它的表面積是（）平方厘米,體積是（）立方厘米（2） 600 平方厘米=( )平方分米3.2立方米=（ ）立方米（）立方分米（3）表面積是54 平方厘米的正方體，它的體積是（）立方厘米【參考答案】1800立方厘米； [難度： ★★ ] 學(xué)校要砌一道長(zhǎng)20米，厚0.25米，高3米的磚墻，如果每立方米用磚510塊。一共需要多少塊磚？ 【參考答案】7650塊 [長(zhǎng)、正方體的體積] [難度： ★★ ] 有一個(gè)長(zhǎng)方體玻璃容器，從里面量長(zhǎng)、寬均為3dm，向容器中倒入13L水，再把一個(gè)蘋果放入水中，這時(shí)量得容器內(nèi)的水深是15cm。這個(gè)蘋果的體積是多少？ 【參考答案】0．5立方分米 1、學(xué)完這節(jié)課的內(nèi)容后，課后要加強(qiáng)講義中典型題型的溫習(xí)鞏固； 2、標(biāo)注理解不夠深刻的例題回去復(fù)習(xí)。 3、加強(qiáng)練習(xí)，提高自己對(duì)長(zhǎng)方體正方體的綜合解題能力；

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