6.2.1　排　列6.2.2　排 列 數(shù)
排列的概念(1)一般地，從n個不同對象中，任取m(m≤n)個對象，按照________ _____排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)特別地，_______時的排列(即_______________的排列)稱為全排列．思考1：兩個排列相同的條件是什么？提示：兩個排列相同則應(yīng)具備排列的元素及排列的順序均相同．
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n·(n－1)·(n－2)·…·2·1
思考2：排列與排列數(shù)的區(qū)別是什么？提示：“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念，“排列”是指“按照一定的順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事，“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m，n都是正整數(shù)，m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個數(shù)．如從a，b，c中任取兩個元素的排列有以下6種形式：ab， ac， ba， bc， ca， cb，這里每一種形式都是一個排列，而排列數(shù)則是6.
下列問題是排列問題嗎？說明你的理由．(1)從1，2，3三個數(shù)字中，任選兩個做加法，其結(jié)果有多少種不同的可能？(2)從1，2，3，5四個數(shù)字中，任選兩個做除法，其結(jié)果有多少種不同的可能？
(3)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排3個客人，又有多少種方法？(4)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(5)某班40名學(xué)生在假期相互通信．[分析]　判斷是不是排列問題關(guān)鍵是選出的元素在被安排時，是否與順序有關(guān)．若與順序有關(guān)，就是排列問題，否則就不是排列問題．
[解析]　(1)不是；(2)是；(3)第一問不是，第二問是；(4)是；(5)是．理由是：(1)(2)中由于加法運算滿足交換律，所以選出的兩個元素做加法時，與兩元素的順序無關(guān)，但做除法時，兩元素誰作除數(shù)，誰作被除數(shù)不一樣，此時與順序有關(guān)，故做加法不是排列問題，做除法是排列問題．(3)中選座位與順序無關(guān)，“入座”問題，與順序有關(guān)，故選3個座位安排三位客人是排列問題．(4)中每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(5)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．
[規(guī)律方法]　1．解決本題的關(guān)鍵有兩點：一是“取出元素不重復(fù)”，二是“與順序有關(guān)”．2．判斷一個具體問題是不是排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應(yīng)視具體問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結(jié)果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題．
【對點訓(xùn)練】? 判斷下列問題是不是排列問題．(1)從1到10十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點的坐標(biāo)，可得多少個不同的點的坐標(biāo)？(2)從10名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開座談會，有多少種不同的抽取方法？(3)某商場有四個大門，若從一個門進(jìn)去，購買物品后再從另一個門出來，不同的出入方式共有多少種？
[解析]　(1)由于取出的兩數(shù)組成點的坐標(biāo)與哪一個數(shù)作橫坐標(biāo)，哪一個數(shù)作縱坐標(biāo)的順序有關(guān)，所以這是一個排到問題．(2)因為從10名同學(xué)中抽取兩人去學(xué)校開座談會的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問題．(3)因為從一門進(jìn)，從另一門出是有順序的，所以是排列問題．綜上，(1)(3)是排列問題，(2)不是排列問題．
[分析]　(1)直接用排列數(shù)公式計算；(2)(3)用排列數(shù)公式的定義解答即可．
[規(guī)律方法]　排列數(shù)的計算方法(1)排列數(shù)的計算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列對象的總個數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取對象的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．(2)應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會減少運算量．
(1)有7 本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書(每種不少于3本)，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？[分析]　(1)從7本不同的書中選出3本送給3名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；(2)給每人的書均可以從7種不同的書中任選1本，各人得到哪本書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行計算．
[規(guī)律方法]　(1)沒有限制的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制，這一類問題相對簡單，分清元素和位置即可．(2)典型的排列問題，用排列數(shù)計算其排列方法數(shù)；排列指從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，由排列的概念可知排列問題中元素不能重復(fù)選?。?br/>【對點訓(xùn)練】? 將4名醫(yī)生與4名護(hù)士分配到四個不同單位，每個單位分配一名醫(yī)生與一名護(hù)士，共有多少種不同的分配方案？
1．(多選)下列問題屬于排列問題的是(　　)A．從10個人中任選2人分別去種樹和掃地B．從10個人中任選2人去掃地C．從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊D．從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)組成兩位數(shù)[解析]　由排列的定義知AD是排列問題．
2．從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)做加、減、乘、除運算，分別計算它們的結(jié)果，在這些問題中，有幾種運算可以看作排列問題(　　)A．1B．2C．3D．4[解析]　因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩數(shù)做加法和乘法時，結(jié)果與兩個數(shù)字位置無關(guān)，故不是排列問題，而減法、除法與兩個數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問題．
4．從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成_____個以b為首的不同排列，它們分別是_________________________________ ________________________.
[解析]　畫出樹狀圖如下：可知共12個，它們分別為bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，
bdc，bde，bea，bec，bed

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

6.2 排列與組合

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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