習題課　組合數的綜合應用
1．對于含有限制條件的組合問題，要合理分類，必要時可用間接法．2．對于分組問題應注意避免計數的重復或遺漏，對于分配問題解題的關鍵是要搞清楚事件是否與順序有關．思考：在解決排列組合的綜合問題時要注意哪些問題？提示：在解決此類問題時，要注意題中的隱含條件；解題過程中要首先分清“是分類還是分步”“是排列還是組合”；在應用分類加法計數原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏．
(1)為了配合創(chuàng)建全國文明城市的活動，某?，F從4名男教師和5名女教師中選取3人組成創(chuàng)文明志愿者小組，若男女教師至少各有一人，則不同的選法共有(　　)A．140種B．84種C．70種D．35種(2)某人決定投資8種股票和4種債券，經紀人向他推薦了12種股票和7種債券，則此人有__________種不同的投資方式．
(3)(2022·福建省泉州市期中)現有8本雜志，其中有3本是完全相同的文學雜志，另5本是互不相同的數學雜志，從這8本里選取3本，則不同選法的種數為_____.[分析]　(1)選出的3名教師之間無順序之分，因此是組合問題，但需要對教師的組成人員分類求解；(2)選出的8種股票無順序之分，選出的4種債券也無順序之分，因此是組合問題，但需要分選股票、選債券兩步求解；(3)本小題需要注意一個問題，從3本完全相同的文學雜志中選書并不是組合問題，只有從5本不同的數學雜志中選書才是組合問題．
[規(guī)律方法]　求解無限制條件的組合問題的思路對于無限制條件的組合問題，首先要分清完成一件事情是需要分類還是分步，在每一類(或每一步)中注意分清對象的總數及取出對象的個數，按照組合的定義，正確地表示出相應的組合數，再利用分類加法計數原理或分步乘法計數原理計數．
(3)5個不同的球，放入8個不同的盒子中，每個盒里放球數量不限，則不同的放法有(　　)
(1)從5名男生和4名女生中選出3名學生參加某次會議，則至少有1名女生參加的情況有_____種．(2)學校邀請了4位學生的父母共8人，并請這8位家長中的4位介紹其對子女的教育情況，如果這4位家長中至多有一對夫妻，那么不同的選擇方法有_____種．
[分析]　(1)選出的3人中至少有1名女生，有三種情況：①2名男生和1名女生；②1名男生和2名女生；③3名女生．也可用間接法，用總的選法數減去全部是男生的選法數．(2)應分類考慮，第一類，4位作介紹的家長中沒有任何兩個人是夫妻．第二類，4位作介紹的家長中僅有一對夫妻．在每一類中應分兩步：第一步，先確定家長來自哪個家庭；第二步，在選出的家庭中確定具體的人來介紹子女的教育情況．也可以采用間接法，用總的選法數減去4位家長有2對夫妻的選法數．
[規(guī)律方法]　常見的限制條件及解題方法(1)特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據．(2)含有“至多、至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據，或采用間接法求解．(3)分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復雜問題分類表達，逐類求解．
【對點訓練】? 在一次數學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人去參加市級培訓，在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人．(2)甲、乙、丙三人必須參加．(3)甲、乙、丙三人不能參加．(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加．(5)甲、乙、丙三人至少1人參加．(6)甲、乙、丙三人至多2人參加．
(1)大學在高考錄取時采取專業(yè)志愿優(yōu)先的錄取原則．一考生從某大學所給的10個專業(yè)中，選擇3個作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個專業(yè)不能同時填報，則該考生有______種不同的填報專業(yè)志愿的方法(用數字作答)．(2)從0，1，2，3，4，5這六個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數的個數為(　　)A．300B．216C．180D．162
[規(guī)律方法]　求解排列、組合綜合問題的注意事項解決排列與組合問題，首先要把握問題的實質，并結合兩個計數原理，按元素的性質確定分類的標準，按事情發(fā)生的過程確定分步的順序．此外還應遵循以下原則：(1)先組合后排列；(2)先特殊后一般．
【對點訓練】? 20所高校要去某校進行高考招生政策宣講，該學校辦公室要從小鄭、小趙、小李、小湯、小王5名工作人員中選派4人分別從事接待、禮儀、保衛(wèi)、司機四項不同的工作，若其中小鄭和小趙只能從事前兩項工作，其余3人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有(　　)A．48種B．36種C．18種D．12種
角度1　不同對象分配問題6本不同的書，按下列要求分組或分配，求各有多少種不同的分法．(1)平均分給甲、乙、丙三人，每人2本；(2)平均分為三份，每份2本；(3)分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
(5)分成三份，一份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人得1本；(7)分給甲、乙、丙三人，甲1本，乙2本，丙3本；(8)甲3本，另外兩人中有1人1本，1人2本．
角度2　相同對象分配問題有10個運動員名額，分給班號分別為1，2，3的3個班．(1)每班至少1個名額，有多少種分配方案？(2)每班至少2個名額，有多少種分配方案？(3)可以允許某些班級沒有名額，有多少種分配方案？[分析]　(1)直接使用隔板法計數；(2)(3)先將問題進行等價轉化，再使用隔板法計數．
[規(guī)律方法]　1．分組、分配問題的求解策略(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種．①完全均勻分組，每組的元素個數均相等；②部分均勻分組，應注意不要重復，若有n組均勻，最后必須除以n?。虎弁耆蔷鶆蚍纸M，這種分組不考慮重復現象．(2)分配問題屬于“排列”問題．分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．
【對點訓練】? (1)(2022·南充高二檢測)我省5名醫(yī)學專家馳援湖北武漢抗擊新冠肺炎疫情，現把5名專家分配到A，B，C三個集中醫(yī)療點，每個醫(yī)療點至少要分配1人，其中甲專家不去A醫(yī)療點，則不同分配種數為(　　)A．116B．100C．124D．90(2)有30個完全相同的蘋果，分給4個不同的小朋友，每個小朋友至少分得4個蘋果，問有多少種不同的分配方案？(　　)A．680B．816C．1 360D．1 456
計數時重復或遺漏致錯將4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，則恰好有1個空盒子的放法有______種(用數字作答)．
[辨析]　導致錯解的原因；錯解一是重復計數；錯解二是遺漏計數，分析如下．設4個不同的小球為a，b，c，d，從4個小球中取出3個，若取出的是a，b，c，則d與a，b，c搭配，有a，d；b，d；c，d.若取出的是b，c，d，則a與b，c，d搭配，有b，a；c，a；d，a.其中a，d與d，a是同一種情況．這就是錯解一中出錯的地方．
取3個小球，若取出的是a，b，c，則d與a，b，c搭配有a，d；b，d；c，d 3種情況．遺漏了a，b；b，c；a，c這3種情況．這就是錯解二中出錯的地方．
1．一個口袋中裝有大小相同的6個白球和4個黑球，從中取2個球，則這兩個球同色的不同取法有(　　)A．27種B．24種C．21種D．18種
2．某班組織文藝晚會，準備從A，B等7個節(jié)目中選出3個節(jié)目演出，要求A，B兩個節(jié)目中至少有一個被選中，且A，B同時選中時，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序的種數為(　　)A．84B．72C．76D．130
3．5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有(　　)A．150種B．180種C．200種D．280種
4．6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有(　　)A．120種B．90種C．60種D．30種

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高中數學人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

6.2 排列與組合

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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