6.2.1- 6.2.2   排列與排列數(shù)1.理解并掌握排列、排列數(shù)的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列.2.掌握排列數(shù)公式及其變式,并能運用排列數(shù)公式熟練地進(jìn)行相關(guān)計算.3.掌握有限制條件的排列應(yīng)用題的一些常用方法,并能運用排列的相關(guān)知識解一些簡單的排列應(yīng)用題.重點：理解排列的定義及排列數(shù)的計算 難點：運用排列解決計算問題 兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別 分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復(fù) 一、排列的相關(guān)概念1.排列:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2.相同排列:兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.名師點析理解排列應(yīng)注意的問題(1)排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.(2)定義中的“一定順序”說明了排列的本質(zhì):有序.二、排列數(shù)與排列數(shù)公式1.排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做   從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號表示.2.排列數(shù)公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,這里m,n∈N*,并且m≤n.3.全排列和階乘:n個不同元素全部取出的一個排列,叫做n個元素的一個全排列.這時,排列數(shù)公式中m=n,即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是說,將n個不同的元素全部取出的排列數(shù),等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘,用n!表示.于是,n個元素的全排列數(shù)公式可以寫成=n!.另外,我們規(guī)定,0!=1.1.下列問題中:①10本不同的書分給10名同學(xué),每人一本;②10位同學(xué)互通一次電話;③10位同學(xué)互通一封信;④10個沒有任何三點共線的點構(gòu)成的線段.屬于排列的有(　　)A.1個　　　　　　　B.2個 C.3個 D.4個 一、問題探究問題1.  從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動.   如果把上面問題中被取出的對象叫做元素，則問題可敘述為：從3個不同的元素中任意取出2個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？問題2. 從1,2,3,4這4個數(shù)字中選出3個能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？      同樣，問題2可以歸結(jié)為：          從4個不同的元素中任意取出3個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？  問題3. 你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個概念嗎?它們有什么區(qū)別? 二、典例解析例1. 某省中學(xué)足球隊賽預(yù)選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進(jìn)行多少場比賽？  例2. （1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？（2）學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？  例3. 計算：（1）例4.用0~9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 1.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個題的目的是:希望通過對本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法對重要元素區(qū)別對待,間接法對對立面比較容易求解的題目特別實用. 跟蹤訓(xùn)練 有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程,從中選4門安排在上午的4節(jié)課中,其中化學(xué)不排在第四節(jié),共有多少種不同的安排方法?  1.從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué),每人一本,則不同的送書方法的種數(shù)為(　　)A.5    B.10     C.20                   D.602.設(shè)m∈N*,且m<15,則=(　　)A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)3.某次演出共有6位演員參加,規(guī)定甲只能排在第一個或最后一個出場,乙和丙必須排在相鄰的順序出場,不同的演出順序共有(　　)A.24種               B.144種          C.48種        D.96種4.有8種不同的菜種,任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地里,有　　　種不同的種法. 5.用1、2、3、4、5、6、7這7個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個?能被5整除的有多少個?(2)這些四位數(shù)中大于6 500的有多少個?   參考答案：知識梳理1.解析:由排列的定義可知①③是排列,②④不是排列.答案:B學(xué)習(xí)過程一、問題探究問題1.  分析：要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動，1名參加上午的活動，另1名參加下午的活動”，可以分兩個步驟：第1步，確定上午的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；第2步，確定下午的同學(xué)，只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為3×2=6.問題問題2.分析：從4個數(shù)中每次取出三個按“百位、十位、個位” 的順序排成一列，就得到一個三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)，可以分三個步驟解決：第1步，確定百位上的數(shù)字，從1、2、3、4這4個數(shù)中任取一個，有4種方法；
第2步，確定十位上的數(shù)字，只能從余下的3個數(shù)字中取，有3種方法；
第3步，確定個位上的數(shù)字，只能從余下的2個數(shù)字中取，有2種方法；
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從1、2、3、4這4個不同的數(shù)字中，每次取出3個數(shù)字，按百位、十位、個位的順序排成一列，不同的排列方法為4×3×2=24因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖所示     同樣，問題2可以歸結(jié)為：          從4個不同的元素中任意取出3個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？  不同的排列方法為4×3×2=24上述問題1,2的共同特點是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？問題3. “排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念,一個排列是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)”,它是一個數(shù).二、典例解析例1. 分析：每組任意2支隊之間進(jìn)行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊中選取2支，按“主隊、客隊”的順序排成的一個排列.解：可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客隊.按分步乘法計數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場數(shù)為6×5=30.例2. 分析：3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3個位置（給3名同學(xué)）的一個排列；而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個排列.解： （1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5×4×3=60.（2）可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5×5×5=125.問題3. “排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念,一個排列是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)”,它是一個數(shù).例3. 解：根據(jù)排列（1） （2） （3） （4）由例3可以 即例4.分析：在0~9這10個數(shù)字中，因為0不能在百位上，而其他9個數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個特殊的元素。一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題。解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：第1步，確定百位上的數(shù)字可以從1~9這9個數(shù)字中取出1個，有種取法；第2步，確定十位和個位上的數(shù)字，可以從剩下的9個數(shù)中取2個, 有種取法； 如圖根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為 9×9×8648.解法2：如圖，符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類，每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，可以從1~9這9個數(shù)字中取出3個，有種取法；第2類，個位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)中取出2個放在百位和十位，有種取法；第3類，十位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個放在百位和個位，有種取法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,所求三位數(shù)的個數(shù)為=9×8×7+9×8+9×8=648.解法3：從0~9這10個數(shù)字中選取3個的排列數(shù)為，其中0在百位上的排列數(shù)為，它們的差就是用這10個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求三位數(shù)的個數(shù)為10×9×89×8648.1.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個題的目的是:希望通過對本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法對重要元素區(qū)別對待,間接法對對立面比較容易求解的題目特別實用.跟蹤訓(xùn)練 解:(方法一　分類法)分兩類:第1類,化學(xué)被選上,有種不同的安排方法;第2類,化學(xué)不被選上,有種不同的安排方法.故共有=300(種)不同的安排方法.(方法二　分步法)第1步,第四節(jié)有種排法;第2步,其余三節(jié)有種排法,故共有=300(種)不同的安排方法.(方法三　間接法)從6門課程中選4門安排在上午,有種排法,而化學(xué)排第四節(jié),有種排法,故共有=300(種)不同的安排方法.達(dá)標(biāo)檢測1.解析:此問題相當(dāng)于從5個不同元素中取出2個元素的排列數(shù),即共有   =20(種)不同的送書方法.答案:C2.解析:   是指從20-m開始依次連續(xù)的6個數(shù)相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).答案:C3.解析:第1步,先安排甲有種不同的演出順序;第2步,安排乙和丙有種不同的演出順序;第3步,安排剩余的三個演員有種不同的演出順序.根據(jù)分步計數(shù)原理,共有=96(種)不同的演出順序.故選D.答案:D 4.解析:將4塊不同土質(zhì)的地看作4個不同的位置,從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地里,則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題,所以不同的種法共有 =8×7×6×5=1 680(種).答案:1 6805.解:(1)偶數(shù)的個位數(shù)只能是2、4、6,有種排法,其他位上有種排法,由分步乘法計數(shù)原理,知共有四位偶數(shù)=360(個);能被5整除的數(shù)個位必須是5,故有=120(個).(2)最高位上是7時大于6 500,有種,最高位上是6時,百位上只能是7或5,故有2×種.由分類加法計數(shù)原理知,這些四位數(shù)中大于6 500的共有+2×=160(個). 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

6.2 排列與組合

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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