4.2.1　等差數(shù)列的概念
第1課時(shí)　等差數(shù)列的概念
一般地，如果一個(gè)數(shù)列__________起，每一項(xiàng)與_____________的差都等于_____________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的_______，公差通常用字母d表示．
想一想：對(duì)等差數(shù)列的理解，有哪些問(wèn)題需要注意？提示：1．“從第2項(xiàng)起”因?yàn)槭醉?xiàng)沒(méi)有“前一項(xiàng)”；2．一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差即使等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)這些常數(shù)不同時(shí)，該數(shù)列不是等差數(shù)列，因此定義中強(qiáng)調(diào)“同一個(gè)常數(shù)”，注意不要漏掉這一條件．3．求公差d時(shí)，可以用d＝an－an－1(n≥2)來(lái)求，也可以用d＝an＋1－an來(lái)求．注意公差是每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差，且用d＝an－an－1求公差時(shí)，要求n≥2，n∈N*.
練一練：判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)1，3，5，7，9，…；(2)2，－2，2，－2，2，－2，…；(3)1，1，1，1，…；(4)6，5，3，1，－1，－3，….
[解析]　(1)該數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)2，所以是等差數(shù)列．(2)－2－2＝－4，2－(－2)＝4，相鄰兩項(xiàng)的差不是同一個(gè)常數(shù)，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列．(3)該數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)0，所以是等差數(shù)列．(4)因?yàn)?－6＝－1，而從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)－2，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列，但可以說(shuō)從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列．
想一想：“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”與“2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)”之間是什么關(guān)系？提示：等價(jià)關(guān)系．練一練：已知實(shí)數(shù)a＝2，b＝8，則a，b的等差中項(xiàng)為_(kāi)___．
想一想：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式有怎樣的內(nèi)涵？提示：(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知，等差數(shù)列中的任一項(xiàng)均可用首項(xiàng)和公差表示出來(lái)，因此，要確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差即可，因此我們把等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差稱(chēng)為等差數(shù)列的基本量．(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中涉及an，a1，d，n四個(gè)量，知道其中三個(gè)量可以求出第四個(gè)量．
練一練：已知{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝－1，公差d＝－3，則a8＝_______．
由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以當(dāng)d≠0時(shí)，等差數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an是一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)當(dāng)x＝n時(shí)的函數(shù)值，即an＝f(n)．
等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
想一想：等差數(shù)列與一次函數(shù)有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別？提示：
練一練：已知點(diǎn)(1，5)，(2，3)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點(diǎn)，則數(shù)列{an}為(　　)A．遞增數(shù)列　　B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列　　D．無(wú)法確定
　(1)2 020是等差數(shù)列4，6，8，…的(　　)A．第1 008項(xiàng)　　B．第1 009項(xiàng)C．第1 010項(xiàng)　　D．第1 011項(xiàng)(2)已知等差數(shù)列1，－3，－7，－11，…，求它的通項(xiàng)公式及第20項(xiàng)．[分析]　(1)4，6，8?公差?通項(xiàng)公式?解方程得n.(2)首項(xiàng)1與第二項(xiàng)－3?公差?通項(xiàng)公式?第20項(xiàng)．
[解析]　(1)數(shù)列4，6，8，…的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2.則2n＋2＝2 020.解得n＝1 009.(2)由題意可知a1＝1，a2＝－3，所以公差d＝a2－a1＝－4.所以an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.所以a20＝5－4×20＝－75.即該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝5－4n，第20項(xiàng)為－75.
[規(guī)律方法]　等差數(shù)列通項(xiàng)公式的四個(gè)主要應(yīng)用(1)已知an，a1，n，d中的任意三個(gè)量，求出第四個(gè)量．(2)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求出該數(shù)列中的任意項(xiàng)，也可以判斷某一個(gè)數(shù)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)．(3)根據(jù)等差數(shù)列的兩個(gè)已知條件建立關(guān)于“基本量”a1和d的方程組，求出a1和d，從而確定通項(xiàng)公式，求得所要求的項(xiàng)．(4)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，則可判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，則a9＝(　　)A．8　　　　　　　　　B．12C．16　　D．24(2)等差數(shù)列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
[解析]　(1)設(shè)公差為d，首項(xiàng)為a1，∴a9＝a1＋8d＝16.
(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.②an＝a1＋(n－1)d，所以a5＝a1＋4d，所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，令－2n＋21＝1，得n＝10.
[分析]　(1)求a，b的等差中項(xiàng)?等差中項(xiàng)的定義?等式?計(jì)算．(2)先根據(jù)已知求出x的值，再求出數(shù)列的第四項(xiàng)．
(2)由題意得2(3x＋3)＝x＋(6x＋6)，所以x＝0.所以等差數(shù)列的前三項(xiàng)為0，3，6，公差為3，所以等差數(shù)列的第四項(xiàng)為9.故選B．
[規(guī)律方法]　1．等差中項(xiàng)的應(yīng)用策略(1)涉及等差數(shù)列中相鄰三項(xiàng)問(wèn)題可用等差中項(xiàng)求解．(2)在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)；實(shí)際上，等差數(shù)列中的某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m

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4.2 等差數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊(cè)

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