2022-2023學(xué)年福建省福州外國(guó)語學(xué)校高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（    ）A． B． C．1 D．6【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，進(jìn)而得出虛部.【詳解】，則z的虛部是故選：D2．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，可得，所以A不正確；由，所以與不共線，所以B不正確；由，所以，所以C不正確；由，所以，所以D正確.故選：D.3．設(shè)，為非零向量，則“”是“與共線”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由化簡(jiǎn)得出，從而得出與共線，當(dāng)與共線時(shí)，，，不一定相等，最后由充分條件和必要條件的定義作出判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，即，，即與共線當(dāng)與共線時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，，與不一定相等，即不一定相等故“”是“與共線”的充分不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于熟練掌握向量的數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算以及向量共線定理.4．如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，與軸交于點(diǎn)，其中，，則原圖形的面積是（    ）A．24 B． C． D．12【答案】B【分析】根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出直觀圖形的面積，根據(jù)直觀圖的面積：原圖的面積，得到原圖形的面積是，得到結(jié)果．【詳解】矩形是一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，直觀圖的面積是直觀圖的面積：原圖的面積原圖形的面積是.故選：B5．如圖，已知點(diǎn) C 為△OAB邊AB上一點(diǎn)，且AC=2CB，若存在實(shí)數(shù)m，n，使得，則的值為（    ）．A． B．0 C． D．【答案】A【解析】根據(jù)平面向量的基本定理和共線定理，結(jié)合已知求出的值.【詳解】，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理和共線定理，屬于基礎(chǔ)題.6．函數(shù) 的部分圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的特值可得結(jié)果.【詳解】由，則當(dāng) 時(shí)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，排除選項(xiàng)A，C又 ，排除除選項(xiàng)B故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及特值是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．7．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則角的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)余弦定理有，利用基本不等式求角的范圍，即可確定最大值.【詳解】由，則，所以，，所以，故的最大值為.故選：B8．如圖，直角梯形 中，已知，，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值是（   ）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】設(shè)，可以用表示和，從而得到與的關(guān)系，再利用均值不等式求解.【詳解】設(shè)因?yàn)?/span>所以所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即取等，此時(shí)，與重合，符合題意.故選：C.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是利用平面向量基本定理找到與的關(guān)系，從而把問題轉(zhuǎn)化為均值不等式問題. 二、多選題9．用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個(gè)幾何體可能是A．圓錐 B．圓柱 C．三棱錐 D．正方體【答案】ACD【分析】根據(jù)物體特征分析截面可能的情況即可得解.【詳解】圓錐的軸截面是三角形，圓柱的任何截面都不可能是三角形，三棱錐平行于底面的截面是三角形，正方體的截面可能是三角形，如圖：故選：ACD【點(diǎn)睛】此題考查物體截面辨析，關(guān)鍵在于熟悉常見幾何體的幾何特征，分析截面可能的情況.10．已知是虛數(shù)單位，則下列說法正確的有（    ）A．B．“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的必要不充分條件C．若復(fù)數(shù)，且，則D．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為-2【答案】BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)得乘方運(yùn)算即可判斷A；根據(jù)純虛數(shù)得定義及充分性和必要性得定義即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)得模得計(jì)算求出，即可判斷C；設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)得加法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等得條件即可求出復(fù)數(shù)，從而可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若復(fù)數(shù)，則且，所以“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的必要不充分條件，故B正確；對(duì)于C，若復(fù)數(shù)，且，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以，故，所以復(fù)數(shù)的虛部為-2，故D正確.故選：BD.11．下列命題中，正確的是（    ）A．在△中，若，則B．在銳角△中，不等式恒成立C．在△中，若，則△必是等腰直角三角形D．在△中，若，，則△必是等邊三角形【答案】ABD【分析】A應(yīng)用正弦定理及三角形中大邊對(duì)大角即可判斷正誤；B由銳角三角形易得，根據(jù)銳角正弦函數(shù)的大小關(guān)系及誘導(dǎo)公式即可判斷正誤；C由正弦定理邊角關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)判斷內(nèi)角A、B的數(shù)量關(guān)系；D利用余弦定理，結(jié)合已知得，進(jìn)而判斷△的形狀.【詳解】A：若，而，即，故，正確；B：由銳角△知：，即，則，正確；C：由題設(shè)，可得，又，則或，故△為等腰或直角三角形，錯(cuò)誤；D：由題設(shè)，，故，即，又，可知，故△必是等邊三角形，正確.故選：ABD12．已知四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則（    ）A．最小值為 B．最大值為C．無最小值 D．無最大值【答案】AD【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，用坐標(biāo)表示出數(shù)量積，通過函數(shù)分析出其最值情況．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則，，，.設(shè)，則，，，，所以，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值，無最大值.故選：AD．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積，求平面向量數(shù)量積的最值，一種方法直接用數(shù)量積的定義表示出數(shù)量積求解，一種方法是建立平面直角坐標(biāo)系，把數(shù)量積用坐標(biāo)表示，然后用函數(shù)的知識(shí)求解． 三、填空題13．若是虛數(shù)單位，則__________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：14．已知向量，滿足，，，則__________.【答案】【分析】先將平方求出，再將平方計(jì)算即可.【詳解】由已知得，，，.故答案為：15．一船以22 km/h的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船的北偏東45°，1小時(shí)30分后航行到B處，在B處看燈塔S在船的南偏東15°，則燈塔S與B之間的距離為________ km．【答案】66【分析】根據(jù)題意連接可得如圖三角形，再由所給角度可得∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，利用正弦定理解即可得解.【詳解】如圖，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，根據(jù)航速為22 km/h，則（），由正弦定理可得，所以SB＝66(km)，故答案為：66.16．已知等邊，D是外的一點(diǎn)，且，，則平面四邊形的面積的最大值是_________．【答案】【分析】設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為，應(yīng)用三角形面積公式、余弦定理有、，代換后應(yīng)用輔助角公式及正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】若等邊三角形邊長(zhǎng)為，則，又，所以，而，則，所以當(dāng)時(shí)，平面四邊形的面積的最大值是.故答案為： 四、解答題17．已知，復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，列出方程，解得即可得出答案；（2）求出，根據(jù)其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z是純虛數(shù)，所以，解得：；（2）由已知得，因?yàn)槠湓趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以，解得：或即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.18．已知，，.（1）求與的夾角θ的余弦值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值和向量.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求夾角.（2）根據(jù)題意可得，再根據(jù)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）由，，所以，所以與的夾角θ的余弦值為.（2）若，則，所以，即，解得..19．已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.【分析】（I）將化簡(jiǎn)整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據(jù)，可求的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因?yàn)?/span>，所以.要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準(zhǔn)確性，及公式中符號(hào)的正負(fù).20．在△ABC中，，，.(1)求BC邊的長(zhǎng)；(2)求AB邊上的中線CD的長(zhǎng).【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知結(jié)合同角平方關(guān)系求sinC，進(jìn)而可求sinA，由正弦定理即可求解；（2）由正弦定理可求AB，然后結(jié)合余弦定理可求.【詳解】（1）由得，，由正弦定理得；（2）由正弦定理得，，由余弦定理得21．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若____________.(1)求角B；(2)若，求△ABC周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)△ABC的面積.【答案】(1)(2)周長(zhǎng)的最小值為6，此時(shí)的面積 【分析】（1）分別選三個(gè)條件，結(jié)合三角恒等變換，以及邊角互化，化簡(jiǎn)后即可求解；（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周長(zhǎng)最小值，再利用面積公式求出面積.【詳解】（1）選①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.選②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.選③，∵，由已知結(jié)合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，即，∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，周長(zhǎng)的最小值為6，此時(shí)的面積.22．目前，中國(guó)已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣表平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測(cè)對(duì)面山項(xiàng)上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測(cè)得基站底部B的仰為37°，測(cè)得基站頂端A的仰角為45°.(1)求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)如圖（第二幅），當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測(cè)基站底部B的仰角為，觀測(cè)基站頂端A的仰角為β.試問當(dāng)x多大時(shí)，觀測(cè)基站的視角∠ACB最大？參考數(shù)據(jù):.【答案】(1)(2)，∠ACB最大 【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；（2）易得，分別在在和在中，求出，再根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式求出取得最大值時(shí)，的值，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由題意可知，，在中，，所以，在中，，所以出山高；（2）由題意知，且，則，在中，，在中，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以取得最大值時(shí)，，又因?yàn)?/span>，所以此時(shí)最大，所以當(dāng)時(shí)，最大. 

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