2022-2023學(xué)年福建省福州市福清市高中聯(lián)合體高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部是（    ）A． B．4 C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2．下列結(jié)論中，正確的是（    ）A．零向量只有大小沒(méi)有方向 B．C．對(duì)任一向量，總是成立的 D．與線段的長(zhǎng)度不相等【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的概念，逐一判斷即可得出答案．【詳解】既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯(cuò)誤；由于與方向相反，長(zhǎng)度相等，故B正確；因?yàn)榱阆蛄康哪?/span>0，故C錯(cuò)誤；與線段的長(zhǎng)度相等，故D錯(cuò)誤．故選：B．3．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的概念判斷.【詳解】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.4．若，，與的夾角為，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，與的夾角為，所以.故選：C.5．已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，，，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以.故選：D6．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)上所有的點(diǎn)（    ）A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【分析】利用三角函數(shù)圖象的相位變換求解.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故D錯(cuò)誤.故選：C.7．已知向量，，若，則m的值為（    ）A．或2 B．或3 C．或3 D．或4【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，解得或.故選：A.8．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，又因?yàn)?/span>，由余弦定理得，又因?yàn)?/span>，所以.故選：C. 二、多選題9．設(shè)，復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若是實(shí)數(shù)，則 B．若是虛數(shù)，則C．當(dāng)時(shí)，的模為 D．當(dāng)時(shí)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A、B，根據(jù)復(fù)數(shù)的模判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>，，對(duì)于A：若是實(shí)數(shù)，則，解得，故A正確；對(duì)于B：若是虛數(shù)，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，所以，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．設(shè)向量，，則（    ）A． B．與的夾角為C．與共線 D．【答案】AD【分析】利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示、向量模長(zhǎng)、夾角公式以及向量共線、垂直的坐標(biāo)形式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，故A正確；因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)閮上蛄繆A角的范圍為，所以與的夾角為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，，所以，又，所以，所以，所以與不共線，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.11．如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓O上以點(diǎn)P為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，每3s轉(zhuǎn)一圈.則該質(zhì)點(diǎn)到x軸的距離關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)記為.下列說(shuō)法正確的是（    ）A． B．C．的周期為 D．的周期為3【答案】AC【分析】根據(jù)角速度的概念、任意角的三角函數(shù)定義以及三角函數(shù)的周期公式計(jì)算.【詳解】由題可知，質(zhì)點(diǎn)的角速度為， 因?yàn)辄c(diǎn)P為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間之后所成角為，則，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義有：，所以該質(zhì)點(diǎn)到x軸的距離為，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以的周期為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.12．已知向量，，（），則下列命題正確的是（    ）A．若，則B．存在，使得C．與共線的單位向量只有一個(gè)為D．若在上的投影向量為，則向量與夾角為【答案】ABD【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可判斷B；根據(jù)單位向量的定義判斷C；根據(jù)投影向量的定義求出，再根據(jù)向量夾角的公式即判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，，，故A正確；對(duì)于B，由，，得，，若，則，所以，由，得，所以，所以，所以存在，使得，故B正確；對(duì)于C，與共線的單位向量為，故為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，所以，則，又因?yàn)?/span>，所以，即向量與夾角為，故D正確.故選：ABD. 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則__________．【答案】.【分析】在等式兩邊同時(shí)除以，再利用復(fù)數(shù)的除法法則可得出復(fù)數(shù).【詳解】，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵就是從等式中得出的表達(dá)式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算律得出結(jié)果.14．已知與不共線，是一組基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】由是一組基底，可得兩個(gè)向量不共線，利用平面向量共線定理結(jié)合平面向量基本定理求出時(shí)的值，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，所以，解得，因?yàn)?/span>是一組基底，所以兩個(gè)向量不共線，所以.故答案為：.15．一艘輪船按照北偏東40°方向，以18海里/小時(shí)的速度直線航行，一座燈塔原來(lái)在輪船的南偏東20°方向上，經(jīng)過(guò)20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來(lái)的距離為_______海里.【答案】4【分析】先結(jié)合條件找出已知角及線段長(zhǎng)，然后結(jié)合余弦定理即可直接求解．【詳解】設(shè)輪船的初始位置為A，20分鐘后輪船位置為B，燈塔位置為C，如圖所示由題意得，，，， 由余弦定理得 ，即 ，解得．則燈塔與輪船原來(lái)的距離為4海里故答案為：4．16．將函數(shù)的圖象沿x軸向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合題意的，則______.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求得，因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得到，列出方程，即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象沿x軸向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)，因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得，即，解得，即，所以符合題意的可以是.故答案為：（答案不唯一）. 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，，且是純虛數(shù).(1)求；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，若四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到方程（不等式）組，即可求出的值，從而求出復(fù)數(shù)，再求出，即可求模；（2）首先表示出、的坐標(biāo)，依題意可得，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>是純虛數(shù)，所以，解得，所以，則，所以.（2）復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，則，因?yàn)樗倪呅?/span>是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，所以，所以，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.18．已知，，.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接展開(kāi)，代入即可求解；（2）先分別求出，再直接代入向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以；（2），，所以，即向量與夾角的余弦值為.19．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求角A；(2)若，，求b，c的值.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）先用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)求解即可；（2）先利用正弦定理找到邊的關(guān)系，然后根據(jù)條件利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）已知，由正弦定理得，，顯然，所以有，得，又，所以；（2）因?yàn)?/span>，由正弦定理可知，由余弦定理可得，，即，解得，所以.20．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：     (1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并求出函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變可得函數(shù)的圖象.求函數(shù)在區(qū)間的最大值以及取得最大值時(shí)的集合.【答案】(1)表格數(shù)據(jù)見(jiàn)解析，(2)答案見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得出關(guān)于、、的方程組，可解得這三個(gè)參數(shù)的值，即可得出函數(shù)的解析式，金額可完善表格中的數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)的解析式，由可求得的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的取值集合.【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，解得，所以，.表格數(shù)據(jù)如下表：（2）解：將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變可得函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，且，所以，函數(shù)在區(qū)間取最大值時(shí)的的取值集合為.21．如圖所示，在中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AD靠近A的三等分點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E的直線與邊AB，AC分別交于點(diǎn)P，Q.設(shè)，，其中，.(1)試用與表示，；(2)求證：為定值，并求此定值.【答案】(1)，.(2)證明見(jiàn)解析；定值為. 【分析】（1）根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形法則，即可求解；（2）由題意求得，結(jié)合三點(diǎn)共線，得到，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，由向量的平行四邊形法則，可得，在中，由向量的三角形法則，可得.（2）證明：在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)，且所以,因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，解得，即為定值.22．已知函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)B，D，F為與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C，E分別為的最低點(diǎn)和最高點(diǎn).(1)求參數(shù)和的值；(2)若點(diǎn)M為函數(shù)圖象上D，E間的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)D，E），恒成立，求A的取值范圍.【答案】(1)，；(2)． 【分析】（1）由周期求得，由最大值點(diǎn)求得；（2）設(shè)，求得，由函數(shù)的單調(diào)性得其最小值，由最小值可得的范圍．【詳解】（1）由題意，，，又，所以；（2）由題意，，設(shè)，則，，，，，時(shí)，是增函數(shù)且，又是減函數(shù)，所以是減函數(shù)，，恒成立，則，又，所以． 

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