2022-2023學(xué)年吉林省四平市實驗中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．圖書角有3本不同的散文類圖書，4本不同的科幻類圖書，5本不同的小說類圖書，某位同學(xué)從中任取1本，則不同的取法共有（    ）A．12種 B．17種 C．23種 D．60種【答案】A【分析】由排列?組合及簡單計數(shù)問題，結(jié)合分類計數(shù)加法原理求解即可．【詳解】圖書角有3本不同的散文類圖書，4本不同的科幻類圖書，5本不同的小說類圖書，某位同學(xué)從中任取1本，則不同的取法共有種．故選：．2．某班舉辦古詩詞大賽，其中一個環(huán)節(jié)要求默寫《將進酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《將進酒》與《望岳》默寫次序相鄰，則不同的默寫次序有（    ）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】B【分析】根據(jù)排列中相鄰問題捆綁法即可求解.【詳解】可先將《將進酒》與《望岳》捆綁起來看作一個元素，與剩下兩首詩詞全排列，有種排法，然后捆綁的《將進酒》與《望岳》也有排列，有種排法，根據(jù)乘法原理，得種排法，即不同的默寫次序有12種.故選：B.3．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】對式子進行變形，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】根據(jù)題意，， ，則.故選：B.4．某質(zhì)點沿直線運動的位移與時間的關(guān)系是，則質(zhì)點在時的瞬時速度為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，求導(dǎo)即可得到瞬時速度.【詳解】解：，當(dāng)時，.故選：C.5．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)后，代入可求得，從而求得，代入即可得到結(jié)果.【詳解】，，解得：，，.故選：B.6．若曲線和曲線在交點處的切線相同，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)題意可建立關(guān)于，的方程組，解出即可．【詳解】設(shè)，由曲線，可得，由曲線，可得，則，解得（舍或．故選：D．7．下列各式中，不等于的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)的運算，逐一化簡選項即可．【詳解】選項，，正確；選項，，錯誤；選項，，正確；選項，，正確．故選：．8．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】可設(shè)，求導(dǎo)得出，從而判斷出在上單調(diào)遞減，從而得出，進而得出，而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，這樣即可得出，，的大小關(guān)系．【詳解】設(shè)，，時，，單調(diào)遞減，，，即，又，．故選：． 二、多選題9．下列運算錯誤的是（   ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，逐項計算判斷作答.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AC10．如圖，已知直線與曲線相切于，兩點，設(shè)，兩點的橫坐標(biāo)分別為，，是的極小值點，設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的有（    ）A．是的極大值點 B．（a）C．（c） D．是的極小值點【答案】BD【分析】由已知結(jié)合圖形可得（a），判斷錯誤；求得（a），知正確；求出（c），可知錯誤；再由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性判斷正確．【詳解】直線與曲線相切于?兩點，，兩點的橫坐標(biāo)分別為，，可得：（a）（b），（a），不是的極值點，故錯誤；，，（a），故正確；是的極小值點，（c），則（c）（c），故錯誤；由圖可知，存在，使，當(dāng)，時，，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，故正確．故選：．11．若一個三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“凸數(shù)”，如231?354等都是“凸數(shù)”，用這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（    ）A．組成的三位數(shù)的個數(shù)為30B．在組成的三位數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為36C．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個數(shù)為24D．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個數(shù)為20【答案】BD【分析】根據(jù)位置特殊限制的排列問題和“凸數(shù)”的概念分析，結(jié)合選項依次求解即可.【詳解】A：5個數(shù)組成無重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)為，故A錯誤；B：奇數(shù)為個位數(shù)是1，3，5的三位數(shù)，個數(shù)為，故B正確；C：“凸數(shù)”分為3類，①十位數(shù)為5，則有個；②十位數(shù)為4，則有個；③十位數(shù)為3，則有個，所以共有個，故C錯誤；D：由選項C的分析可知，D正確；故選：BD.12．已知函數(shù) 函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．的最小值為 B．有2個零點C．有且只有1個極值 D．有3個零點【答案】ABD【分析】求出函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，由值的正負探討單調(diào)性判斷AB；由函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷CD作答.【詳解】由 ，得，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此 ，A正確；因為，則存在，使得，因此有2個零點，B正確；當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時， 單調(diào)遞增，因此有2個極值，C錯誤；因為，，因此在R上有3個零點，D正確.故選：ABD 三、填空題13．已知函數(shù)，其中，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________．【答案】【分析】對求導(dǎo)，令，即可求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】由題意可知：函數(shù)定義域為，，令，可得或，因為，則，且，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．故答案為：．14．函數(shù)的最小值為___________．【答案】﹣2【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合x的范圍，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】函數(shù)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，2]時，，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，所以x∈（0，2]時，函數(shù)的最大值為2．所以函數(shù)，x∈[﹣2，2]的最小值為：﹣2．故答案為：﹣2．15．若函數(shù)在上存在極值，則正整數(shù)的最小值為___________．【答案】5【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在上有兩個不等實數(shù)根，再由判別式大于0求出實數(shù)的取值范圍，即可得到正整數(shù)的最小值．【詳解】，，函數(shù)在上存在極值，函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，可得有兩個不等的根，即，解得，或，正整數(shù)的最小值為5．故答案為：5．16．長征五號B運載火箭是專門為中國載人航天工程空間站建設(shè)而研制的一款新型運載火箭，是中國近地軌道運載能力最大的新一代運載火箭，長征五號有效載荷整流罩外形是馮?卡門外形（原始卵形）+圓柱形，由兩個半罩組成.某學(xué)校航天興趣小組制作的整流罩模型近似于一個圓柱和圓錐組成的幾何體，如圖所示，若圓錐的母線長為，且圓錐的高與圓柱高的比為1：4，則該模型體積的最大值為______．【答案】【分析】設(shè)圓錐與圓柱底面圓的半徑為r，根據(jù)題意將該模型的體積表示為r的函數(shù)，再由基本不等式求最值得答案.【詳解】設(shè)圓錐與圓柱底面圓的半徑為，又圓錐的母線長為，圓錐的高為，則圓柱的高為，該模型的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，該模型的體積最大值為.故答案為：. 四、解答題17．將一顆骰子（點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）連拋3次．(1)一共出現(xiàn)多少種不同的拋擲情況？(2)3次都不出現(xiàn)奇數(shù)點朝上的情況共有多少種？(3)恰有一次出現(xiàn)奇數(shù)點朝上的情況共有多少種？【答案】(1)216(2)27(3)81 【分析】（1）根據(jù)乘法原理求解即可；（2）根據(jù)乘法原理，3次都不出現(xiàn)奇數(shù)點朝上即3次都為偶數(shù)點，結(jié)合偶數(shù)有3個求解即可；（3）恰有一次出現(xiàn)奇數(shù)點朝上則拋的3次中有1次奇數(shù)朝上，2次偶數(shù)朝上，再根據(jù)乘法原理求解即可.【詳解】（1）將一顆骰子（點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）連拋3次，一共出現(xiàn)種不同的拋擲情況；（2）將一顆骰子（點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）連拋3次，3次都不出現(xiàn)奇數(shù)點朝上的情況共有種；（3）將一顆骰子（點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）連拋3次，恰有一次出現(xiàn)奇數(shù)點朝上的情況共有種．18．已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與軸，軸分別交于點，求的面積（為坐標(biāo)原點）；(2)求與曲線相切，并過點的直線方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，進而結(jié)合切線方程求得，由此可得三角形面積；（2）設(shè)切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得在切點處的切線方程，代入點可得，由此可得切線方程.【詳解】（1），，又，在處的切線方程為：，即，，，.（2）設(shè)過點的直線與相切于點，由，，切線方程為：，又切線過點，，解得：，所求切線方程為：，即.19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，的極大值為，的極小值為(2)最大值為，最小值為 【分析】（1）求得，分別令，，解得范圍，即可得出的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）求出區(qū)間端點的函數(shù)值與極值，比較即可得出函數(shù)在區(qū)間，上的最值．【詳解】（1）（1）因為，令，可得或，和隨的變化情況如下：300單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，的極大值為，的極小值為；（2）由（1）可知函數(shù)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，，，．函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，最小值為．20．已知函數(shù)在及處取得極值．(1)求a，b的值；(2)若方程有三個不同的實根，求c的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.進而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號，檢驗即可得出答案；（2）根據(jù)（1）求出的極值，結(jié)合三次函數(shù)的圖象，可知，求解即可得出c的取值范圍．【詳解】（1）由題意得，函數(shù)在及處取得極值，得，解得.此時，.當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，在處取得極大值，在處取得極小值，滿足題意.（2）由（1）知，在處取得極大值，在處取得極小值．又有三個不同的實根，由圖象知，解得，所以實數(shù)c的取值范圍是．21．設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．求證：(1)當(dāng)時，；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）令，轉(zhuǎn)化為求的最小值即可證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造新函數(shù)求解其最值即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故，即當(dāng)時，成立.（2）由（1）可得：當(dāng)時，，要證，即證，即證，令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，所以，即恒成立，所以．22．已知函數(shù)，，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的，恒成立，求整數(shù)a的最小值．【答案】(1)當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)2 【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論求原函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)題意分析可得在上恒成立，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點代換求的最大值.【詳解】（1）由題意可得：函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，在定義域內(nèi)恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，令，則或（舍去），當(dāng)時，， 當(dāng)時，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）對任意的，恒成立，即不等式恒成立，因為，則，所以原問題等價于在上恒成立，設(shè)，，則只需，可得，令在上單調(diào)遞減，因為，，所以存在唯一的，使得，即，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以即可，又∵，所以，故整數(shù)a的最小值為2．【點睛】方法定睛：破解不等式的恒成立問題的常用方法：（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解． 

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