衡陽(yáng)市八中2021級(jí)高二下期第二次月考數(shù) 學(xué) 試 題 注意事項(xiàng)：本卷共4頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分，時(shí)量120分鐘.題號(hào)123456789101112答案BABACACDABACDBCDAB一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（    ）A．i                      B．－i                  C．1＋i                D．1－i【答案】B【詳解】因?yàn)?/span>，所以. 故選B. 2．已知集合，，則（    ）A． B． C．         D． 【答案】A【詳解】，所以，又，所以. 故選A. 3．某校5名大學(xué)生打算前往觀看冰球、速滑、花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)為（    ）A．72 B．60 C．54 D．48【答案】B【詳解】分類(lèi)：①甲獨(dú)自一人一組：;  ②甲與另一人并在一組：，相加共60人，故選B. 4．已知F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，A為C上的一點(diǎn)，且，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】由題意得，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由拋物線(xiàn)的焦半徑可知，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 故選A. 5．紅燈籠，起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個(gè)相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，所以cm，所以cm，所以?xún)蓚€(gè)球冠的面積為cm2，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：cm2，故選C.6．已知函數(shù)的最小正周期為，將其圖像向右平移個(gè)單位后得函數(shù)的圖像，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，故，．，，．故選A. 7．若，則（    ）A．是等比數(shù)列      B．是等比數(shù)列    C．是等差數(shù)列      D．是等差數(shù)列【答案】C【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，故是等差數(shù)列，故C正確.故選C. 8．設(shè)，則下列關(guān)系正確的是（    ）A．               B．              C．              D． 【答案】D【詳解】記，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，即，取，所以，記，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，即，取，所以，故，即；記，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，取，所以，即；所以.故選D. 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．下列命題中，真命題的是（    ）A．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8B．若回歸方程為，則變量y與x負(fù)相關(guān)C．甲同學(xué)所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為200的一個(gè)樣本，則甲被抽到的概率為D．在線(xiàn)性回歸分析中相關(guān)指數(shù)用來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好【答案】AB【詳解】對(duì)A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，A項(xiàng)為真命題；對(duì)B：由，可知，則變量y與x負(fù)相關(guān)，B項(xiàng)為真命題；對(duì)C：根據(jù)隨機(jī)抽樣可知每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等，與抽樣方法無(wú)關(guān)，某校高三共有5003人，抽取容量為200的一個(gè)樣本，則甲被抽到的概率為，故C項(xiàng)為假命題；對(duì)D：在線(xiàn)性回歸分析中相關(guān)指數(shù)越接近于1，則模型的擬合效果越好，故D項(xiàng)為假命題.故選AB. 10．對(duì)于兩條不同直線(xiàn)和兩個(gè)不同平面，下列選項(xiàng)中正確的為（    ）A．若，則 B．若，則或C．若，則或 D．若，則或【答案】ACD【詳解】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，則的方向向量垂直，所以的方向向量與的方向向量垂直，則，A正確；若，可平行，可相交，可異面，不一定垂直，B錯(cuò)；若，則或，與不相交，C正確；若，則或，與不相交，D正確．故選ACD．11．已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，則（    ）A．B不在圓C上 B．y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為3C．A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn) D．的最大值為【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，故在圓C上，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的圓心為，半徑為，圓心到軸的距離為2，由垂徑定理，得y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，故在圓上，又，即為半徑的2倍，因?yàn)?/span>在圓C上，故為直徑，過(guò)圓心，故A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，C正確；D選項(xiàng)，由C知為直徑，由于圓心為，半徑為，故軸為的一條切線(xiàn)，故的最大值為，D正確.故選BCD. 12．已知函數(shù)，則（    ）A．是偶函數(shù)                       B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在上有4個(gè)零點(diǎn)           D．的值域是【答案】AB【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，.令，由于函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由，得或，所以或或，所以偶函數(shù)在上有6個(gè)零點(diǎn)，C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.由于函數(shù)是偶函數(shù)，因此，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，D不正確.  故選AB. 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知向量，若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，，所以，所以，故答案為. 14．已知的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為___________．【答案】【詳解】由題意得，解得，因此的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為. 故答案為. 15．有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由甲、乙、丙三家工廠(chǎng)生產(chǎn)，其中甲、乙、丙工廠(chǎng)分別生產(chǎn)3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工廠(chǎng)的次品率依次為6%、5%、5%，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，則取到次品的概率為______．【答案】【詳解】設(shè)任取一件產(chǎn)品來(lái)自甲廠(chǎng)為事件、來(lái)自乙廠(chǎng)為事件、來(lái)自丙廠(chǎng)為事件，則彼此互斥，且,，，，設(shè)任取一件產(chǎn)品，取到的是次品為事件，則.故答案為. 16．不與軸重合的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，雙曲線(xiàn)C：上存在兩點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱(chēng)，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．若，則雙曲線(xiàn)C的離心率為____________．【答案】【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，即 ，所以，因?yàn)?/span>是AB垂直平分線(xiàn)，有，所以，即，化簡(jiǎn)得，故.故答案為. 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng).【答案】(1)  (2)【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因?yàn)?/span>為邊上的中線(xiàn)，所以，所以，所以，所以邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)為. 18．常言說(shuō)“病從口入”，其實(shí)手才是罪魁禍?zhǔn)?，它?dān)任了病菌與口之間的運(yùn)輸工具．洗手是預(yù)防傳染病最簡(jiǎn)便有效的措施之一，保持手的清潔衛(wèi)生可以有效降低感染新型冠狀病毒的風(fēng)險(xiǎn)．正確的洗手應(yīng)遵循“七步洗手法”，精簡(jiǎn)為一句話(huà)就是“內(nèi)外夾弓大立腕”，每一個(gè)字代表一個(gè)步驟．某學(xué)校在開(kāi)學(xué)復(fù)課前為了解學(xué)生對(duì)“七步洗手法”的掌握程度，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)上測(cè)試，滿(mǎn)分10分，具體得分情況的頻數(shù)分布表如下：得分45678910女生2914131154男生357111042(1)現(xiàn)以7分為界限，將學(xué)生對(duì)“七步洗手法”的掌握程度分為兩類(lèi)，得分低于7分的學(xué)生為“未能掌握”，得分不低于7分的學(xué)生為“基本掌握”．完成下面列聯(lián)表，并判斷可否認(rèn)為學(xué)生對(duì)“七步洗手法”的掌握程度與性別有關(guān)，且犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05？ 未能掌握基本掌握合計(jì)女生   男生   合計(jì)   (2)從參與網(wǎng)上測(cè)試且得分不低于9分的學(xué)生中，按照性別以分層抽樣的方法抽取10名同學(xué)，在10人中隨機(jī)抽取3人，記抽到女生的人數(shù)為X，求X的分布列與期望．附：，．臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見(jiàn)解析，沒(méi)有；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由得分情況的頻數(shù)分布表得列聯(lián)表如下： 未能掌握基本掌握合計(jì)女生253358男生152742合計(jì)4060100故，因?yàn)?/span>，所以沒(méi)有足夠證據(jù)認(rèn)為學(xué)生對(duì)“七步洗手法”的掌握程度與性別有關(guān)．（2）由得分情況的頻數(shù)分布表可知，參與網(wǎng)上測(cè)試且得分不低于9分的學(xué)生中，女生9人，男生6人，從而分層抽樣抽取的10人中，女生6人，男生4人．在10人中隨機(jī)抽取3人，記抽到女生的人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P所以． 19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（）．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【詳解】（1）由，得．當(dāng)時(shí)，，所以，所以，由于，所以，因?yàn)?/span>，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以．（2）由（1）知，，，，因?yàn)?/span>，所以．  20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，，且，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，．(1)證明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析  (2)．【詳解】（1）連接DB交AC于點(diǎn)O，連接PO．因?yàn)?/span>ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O為BD的中點(diǎn)．因?yàn)?/span>PB＝PD，所以PO⊥BD．又因?yàn)?/span>AC，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD． （2）取AB中點(diǎn)M，連接DM交AC于點(diǎn)H，連接PH．因?yàn)?/span>，所以△ABD是等邊三角形，所以DM⊥AB．又因?yàn)?/span>PD⊥AB，，平面PDM，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．由ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，在△ABC中，，．由AP⊥PC，在△APC中，，所以．以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為x軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面PAB的法向量為，所以，令得．設(shè)平面PBC的法向量為，所以，令得．設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為．所以．所以平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為． 21．已知橢圓E：過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)已知，過(guò)的直線(xiàn)l與E交于M，N兩點(diǎn)，求證：．【答案】(1)  (2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題知，橢圓E過(guò)，，所以，解得，，所以橢圓E的方程為．（2）證明：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，直線(xiàn)l的方程為，所以，或，．所以．當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，，，由，得，所以，，，所以，，所以，所以QP平分，因?yàn)?/span>，，所以，即．  22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為   (2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，令得，所以函數(shù)在上單遞遞增；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為．  （2）【解法一】恒成立，等價(jià)于恒成立，令，因?yàn)?/span>恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，等價(jià)于恒成立.令，問(wèn)題等價(jià)于恒成立。①若時(shí)，恒成立，滿(mǎn)足題意；②若時(shí)，則，所以，不滿(mǎn)足題意；③若時(shí)，因?yàn)?/span>，令，得，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，要使得，恒成立，只需，解得，綜上 【解法二】恒成立，等價(jià)于，令①若時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，即，滿(mǎn)足，②若時(shí)，則， ，所以在上單調(diào)遞增，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>；函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>；所以，使得，不滿(mǎn)足題意．③若時(shí)，令，∴，令，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span>；函數(shù)在上單調(diào)遞減，值域?yàn)?/span>；則，；，，；，，所以，，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，只需即可，∴，∴，令，，∴在上單調(diào)遞增，，∴時(shí)，，，，所以在上單調(diào)遞增，∴，即，綜上

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