2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市第七中學(xué)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若向量，，則向量與的夾角為（    ）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】利用向量數(shù)量積的定義，直接計算即可.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，且，所以，，所以，故選：D2．若4名學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)、計算機(jī)、航模興趣小組，每人選報1項(xiàng)，則不同的報名方式有（     ）A． 種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】每個人選報一科，則每個人有3種報名方法，根據(jù)分步計算原理即可得解.【詳解】4名學(xué)生，每人有三種可選方案，根據(jù)分步計數(shù)原理，4人共有種方法.故選：A.3．在四面體OABC中，E為OA中點(diǎn)，，若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算即可求解.【詳解】 .故選：D4．被9除所得的余數(shù)是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由于，所以將其展開后可求出結(jié)果【詳解】,因?yàn)?/span>能被9整除，所以被9除所得的余數(shù)等于被9除的余數(shù)，因?yàn)?/span>除以9余2，所以被9除所得的余數(shù)是2，故選：C5．三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于(　　)A．－2 B．2 C． D．【答案】A【詳解】試題分析：【解析】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算6．疫情期間學(xué)校采用線上教學(xué)，上午有4節(jié)課，一個教師要上3個班的網(wǎng)課，每個班1節(jié)課，若不能連上3節(jié)，則這個老師的課有（    ）種排法.A．3 B．6 C．12 D．18【答案】C【分析】使用插空法，先排3個班的網(wǎng)課，然后在兩個空位中插入一節(jié)課.【詳解】將該教師的3節(jié)課排成一列，共有種排法，再在3節(jié)課產(chǎn)生的兩個空位中插入一節(jié)課有2種方法，所以該老師的課共有種排法.故選：C7．已知是所在平面外一點(diǎn)，是中點(diǎn)，且，則（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用向量減法的三角形法則進(jìn)行計算即可.【詳解】因?yàn)?/span>M是PC中點(diǎn)，，又，，∴.故選：A.8．設(shè)某工廠倉庫中有10盒同樣規(guī)格的零部件，已知其中有4 盒、3盒、3盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的．且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種零部件的次品率依次為，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一個零部件，則取得的零部件是次品的概率為（    ）A．0.06 B．0.07 C．0.075 D．0.08【答案】C【分析】由全概率公式計算．【詳解】依題意，任取一盒產(chǎn)品，分別來自甲、乙、丙三廠的概率分別是，所以任取一個零部件，則取得的零部件是次品的概率為，故選：C． 二、多選題9．從裝有個紅球和個藍(lán)球的袋中（均不小于2），每次不放回地隨機(jī)摸出一球. 記“第一次摸球時摸到紅球”為，“第一次摸球時摸到藍(lán)球”為，“第二次摸球時摸到紅球”為，“第二次摸球時摸到藍(lán)球”為，則下列說法中正確的是（        ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對AC，利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式求解判斷；對BD，利用條件概率公式求解判斷.【詳解】由題意可知，，，，，從而，故AC正確；又因?yàn)?/span>，，故，故D正確；，故，故B錯誤.故選：ACD.10．若x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+???+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，???，a5為實(shí)數(shù)，則（　?。?/span>A． B．a1+a2+???+a5＝1C．a1+a3+a5＝16 D．【答案】BD【分析】運(yùn)用賦值法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】在x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+???+a5（1+x）5中，令，得，故選項(xiàng)A不正確；令，得，而，所以，所以選項(xiàng)B正確；令，得，，得，因此選項(xiàng)C不正確；對x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+???+a5（1+x）5左右兩邊求導(dǎo)，得，令，得，而，所以，因此選項(xiàng)D正確，故選：BD11．現(xiàn)有6個志愿者排隊(duì)進(jìn)入社區(qū)服務(wù)，下列說法正確的是（    ）A．若甲乙丙順序固定，共有種站法B．若甲乙必須站在一起，共有種站法C．若甲乙不站在一起，共有種站法D．若6個人平均分成A、B、C三組分別進(jìn)入社區(qū)，共有種分法【答案】ABC【分析】根據(jù)選項(xiàng)當(dāng)中的情況，逐個選項(xiàng)采用合理的排列方法進(jìn)行求解即可.【詳解】對于A，對于某些元素順序固定的排列問題，可將所有元素全排列，然后除以順序固定的幾個元素的全排列，甲乙丙順序固定，即先對6個志愿者全排列，再除以順序固定的甲乙丙3個志愿者，所以，共有種站法，所以，A正確；對于B，某些元素要求必須相鄰時，可將這些元素看成一個，然后與其他元素排列；所以，若甲乙必須站在一起，共有種站法，所以，B正確；對于C，某些元素要求必須相離時，可將其他元素全排列，再將相離元素排入已排好的元素的左右空隙中；若甲乙不站在一起，共有種站法，所以，C正確；對于D，若6個人平均分成A、B、C三組分別進(jìn)入社區(qū)，共有種分法，所以，D錯誤.故選：ABC12．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)滿足，，則以下說法正確的是（    ）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，線段長度的范圍是C．當(dāng)時，直線與平面所成角的最大值為D．當(dāng)時，存在唯一點(diǎn)使得直線與直線所成的角為【答案】ABD【分析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷直線垂直，求線段長，線面角、異面直線所成的角，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，由得，即，選項(xiàng)A，時，，，，，A正確；選項(xiàng)B，，，，所以，，B正確；選項(xiàng)C，平面的一個法向量是，，設(shè)直線與平面所成角為，則，由選項(xiàng)B得，，，，C錯誤；選項(xiàng)D，，，，，，，又，∴，即點(diǎn)唯一，D正確，故選：ABD．. 三、填空題13．一個數(shù)學(xué)興趣小組共有2名男生3名女生，從中隨機(jī)選出2名參加交流會，在已知選出的2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為______．【答案】【分析】首先求出男女生各1名的概率，再應(yīng)用對立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后應(yīng)用條件概率公式求概率.【詳解】若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，所以2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為，而，，故.故答案為：14．現(xiàn)將6個相同的小球放在3個不同的盒子里，每個盒子至少一個，共有______種放法.（用數(shù)字作答）【答案】10【分析】利用隔板法求解，問題相當(dāng)于6個球排成一列形成5個空隙，5個空隙中插入2個擋板，分成3部分即可【詳解】由題意可得，6個球排成一列形成5個空隙，5個空隙中插入2個擋板，分成3部分，則共有種放法，故答案為：10 四、雙空題15．已知，的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為13，則當(dāng)________，含項(xiàng)的系數(shù)取得最小值，最小值為_________．【答案】     6或7/7或6     36【分析】先由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可得出，分當(dāng)中有一個為1和當(dāng)都大于或等于2進(jìn)行討論，從而得出答案.【詳解】展開式中通項(xiàng)公式為：，則含x項(xiàng)的系數(shù)為，展開式中通項(xiàng)公式為：，則含x項(xiàng)的系數(shù)為，由題意可得，當(dāng)中有一個為1時，不妨設(shè)，則，則的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)都大于或等于2時，則的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為， ，由于，當(dāng)或時，此時含的項(xiàng)的系數(shù)取最小值36，綜上，當(dāng)或時，含的項(xiàng)的系數(shù)取最小值為36. 五、填空題16．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD，，，點(diǎn)Q是側(cè)棱PD的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在邊AB，BC上，當(dāng)空間四邊形PMND的周長最小時，點(diǎn)Q到平面PMN的距離為______．【答案】/【分析】平面PAB沿AB展開到與平面ABCD共面，當(dāng)點(diǎn)P，M，N和共線時周長最小，計算得到，，，建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面的法向量為，根據(jù)距離公式計算得到答案.【詳解】要使得空間四邊形PMND周長最小，只需將平面PAB沿AB展開到與平面ABCD共面，延長DC至，使得，于是點(diǎn)N在線段的垂直平分線上，所以，因?yàn)?/span>PD為定值，故當(dāng)點(diǎn)P，M，N和共線時，空間四邊形PMND的周長最小，易得，即得，即，所以，，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，由題意可得，，，則，，設(shè)是平面PMN的一個法向量，則. 即得，令，得，，，，所以點(diǎn)Q到平面PMN的距離．故答案為：． 六、解答題17．計算:(1)求的值；(2)若，求n的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由組合數(shù)性質(zhì)求解即可；（2）由，化簡解方程即可得出答案.【詳解】（1）.（2），，解正整數(shù).故正整數(shù)的值為.18．在一個袋子里有大小一樣的5個小球，其中有3個紅球和2個白球．(1)現(xiàn)無放回地依次從中摸出1個球，求第一次摸出紅球且第二次摸出白球的概率；(2)現(xiàn)有放回地每次從中摸出1個球，連摸3次，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布及方差．【答案】(1)(2)分布列見解析； 【分析】（1）記“第一次摸出紅球”為事件A，“第二次摸出白球”為事件B，直接求出，，由概率乘法公式得；（2）先分析出，直接求出概率，寫出分布列，套公式求出方差.【詳解】（1）解：記“第一次摸出紅球”為事件A，“第二次摸出白球”為事件B，則，，由概率乘法公式得即第一次摸出紅球且第二次摸出白球的概率為．（2）由題意分析.所以，，，.分布列為：X.19．某班級甲組有5名男生，3名女生；乙組有6名男生，2名女生．(1)若從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任組長，則有多少種不同的的選法？(2)若從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任正副班長，則有多少種不同的的選法？(3)若從甲、乙兩組中各選2人參加核酸檢測，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有多少種？【答案】(1)64；(2)128；(3)51. 【分析】（1）利用分步原理即得；（2）利用先選后排可求；（3）先分類再分步即得【詳解】（1）利用分步原理可得從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任組長，共有種不同的的選法；（2）先選后排，可得從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任正副班長有種不同的的選法；（3）先分類再分步：第一類：甲組1男生：，第二類：乙組1男生：，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有51種.20．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，，，，平面．(1)求證：；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）利用余弦定理證得，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和判定推理作答.（2）以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的余弦計算作答.【詳解】（1）在中，，，由余弦定理得：，則，即，有，因平面，平面，則，而，平面，于是得平面，又平面，所以．（2）因?yàn)?/span>平面，平面，則，由（1）知，射線兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)為平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)二面角的大小為，則， 所以二面角的正弦值為．21．在的展開式中，第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列.(1)證明：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】(1)證明見解析(2)第二項(xiàng)和第三項(xiàng) 【分析】①根據(jù)二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，根據(jù)成等差數(shù)列列出方程，進(jìn)而解出，然后求出展開式中通項(xiàng)，假設(shè)有常數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而得到矛盾.②假設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，根據(jù)和，解出的范圍，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）證明：由二項(xiàng)式定理可知：第2,3,4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為依次成等差數(shù)列，，，（舍）或.二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)，令，所以展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)得證.（2）由（1）知二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則且，化簡得，又或2，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第二項(xiàng)和第三項(xiàng).22．李先生家住小區(qū)，他工作在科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有兩條路線（如圖），路線上有三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線上有兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為.（Ⅰ）若走路線，求最多遇到1次紅燈的概率；（Ⅱ）若走路線，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由.【答案】（1）（2）（3）選擇路線上班最好.【詳解】【試題分析】（1）走線路相當(dāng)于次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，按照二項(xiàng)分布的計算公式，計算恰好發(fā)生次和恰好發(fā)生次的概率，相加即可.（2）走線路，則遇到紅燈次數(shù)的可能取值為，按照獨(dú)立事件概率計算公式計算對應(yīng)的概率，寫出并求其期望.（3）線路是二項(xiàng)分布，利用公式計算出期望，由于的期望小，故選線路.【試題解析】（Ⅰ）設(shè)“走路線最多遇到1次紅燈”為事件， 則　　，　　　　　   所以走路線，最多遇到1次紅燈的概率為.　　　   （Ⅱ）依題意，的可能取值為0，1，2.　　　 　　       .  隨機(jī)變量的分布列為：012所以.　　　　　　   （Ⅲ）設(shè)選擇路線遇到紅燈次數(shù)為，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布～，所以.    因?yàn)?/span>，所以選擇路線上班最好.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的分布列即數(shù)學(xué)期望，考查相互獨(dú)立事件概率計算，考查期望值的在現(xiàn)實(shí)生活中的指導(dǎo)意義.對比兩條線路，第一條線路每次遇到紅燈的概率是一樣的，都為，所以可以看成是次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，符合二項(xiàng)分布的概念.線路二用的就是相互獨(dú)立事件概率公式了. 

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