2023屆吉林省四平市實驗中學(xué)高三下學(xué)期4月份模擬考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式得到集合，再利用交集的定義求解結(jié)果.【詳解】∵集合或，集合，則.故選：C．2．已知，，，則的大小關(guān)系是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和值域，以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可分別限定的取值范圍，即可比較出其大小.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)可得，，即；再由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)可知，，結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域可得；根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上為單調(diào)遞增可知，，即；所以.故選：A3．已知，則（    ）A． B． C．2 D．5【答案】B【分析】利用二倍角公式，進行弦化切代入即可求解.【詳解】.因為，所以.故選：B4．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，則（    ）A．15 B．1 C． D．【答案】D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為利用基本量代換求出，進而求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.∵，∴，解得：，．∴，∴．∴．故選：D．5．隨著我國經(jīng)濟的迅猛發(fā)展，人們對電能的需求愈來愈大，而電能所排放的氣體會出現(xiàn)全球氣候變暖的問題，這在一定程度上威脅到了人們的健康．所以，為了提高火電廠一次能源的使用效率，有效推動社會的可持續(xù)發(fā)展，必須對火電廠節(jié)能減排技術(shù)進行深入的探討．火電廠的冷卻塔常用的外形之一就是旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，它的優(yōu)點是對流快、散熱效果好，外形可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖1）．某火電廠的冷卻塔設(shè)計圖紙比例（長度比）為（圖紙上的尺寸單位：），圖紙中單葉雙曲面的方程為（如圖2），則該冷卻塔占地面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，可得出，可得出圓的半徑，乘以比例尺，可得出實際圓的半徑長，再利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】令，得方程為，這是一個半徑為的圓．乘上比例尺，即圓的實際半徑為，則建筑的占地面積為．故選：C.6．已知正實數(shù)，則“”是“”的（    ）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；當(dāng)時可得必要性不成立，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令滿足，此時；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D7．如圖，有8個不同顏色的正方形盒子組成的調(diào)味盒，現(xiàn)將編號為的4個蓋子蓋上（一個蓋子配套一個盒子），要求A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那么不同的蓋法總數(shù)為（    ）12345678 A．224 B．336 C．448 D．576【答案】B【分析】根據(jù)題意可得先分步，先蓋，再進行分類討論蓋上，利用分類加法和分步乘法基本計數(shù)原理即可得出其結(jié)果.【詳解】第一步：先蓋，有種方法；第二步：再蓋．①若C與A或B在同一列，則有2種蓋法，D就有3種蓋法，共種方法；②若C與A或B不在同一列，則有4種蓋法，D就有2種蓋法，共種方法．綜上所述，滿足要求的有種方法．故選：B．8．已知偶函數(shù)在上有且僅有一個極大值點，沒有極小值點，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)把函數(shù)的關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進一步利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出的取值范圍.【詳解】由題可知，為偶函數(shù)，∴，即．∵，∴．∴，令，由得，∴轉(zhuǎn)化為，．如圖，在上有且僅有一個極大值點沒有極小值點時，，∴．故選：A． 二、多選題9．若復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A．的虛部為 B．C． D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的特征逐一判斷各選項.【詳解】因為，對于A，的虛部為，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，故D錯誤；故選：BC．10．已知定義在上的奇函數(shù)對任意的有，當(dāng)時，．函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)是周期為4的函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．當(dāng)時，方程在上有2個不同的實數(shù)根D．若方程在上有4個不同的實數(shù)根，則【答案】ABC【分析】分析函數(shù)的周期判斷A；確定在區(qū)間上單調(diào)性判斷B；分析的最大值判斷C；由方程有4個根求出a的范圍判斷D作答.【詳解】對于A，，，則，因此函數(shù)是周期為4的函數(shù)，A正確；對于B，當(dāng)時，，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，B正確；對于C，因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，由得：，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此函數(shù)在上的值域為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即方程在上無解，當(dāng)時，令，，當(dāng)時有，即函數(shù)在上遞增，當(dāng)時，，即函數(shù)在上有唯一零點，當(dāng)時，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，因此函數(shù)在上有唯一零點，當(dāng)時，，即方程在上無解，所以當(dāng)時，方程在上有2個不同的實數(shù)根，C正確；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而函數(shù)的周期為4，則，，由選項C知，當(dāng)時，，即方程在上有一個根，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即方程在上有一個根，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，方程在上有兩個根，要方程在上有4個不同的實數(shù)根，必有，即，又，因此當(dāng)時，方程在上無解，所以方程在上有4個不同的實數(shù)根，，D錯誤.故選：ABC11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段過點，且，若，則下列說法正確的是（    ）A．點A的軌跡是一個圓B．的最大值為C．當(dāng)三點不共線時，面積的最大值為2D．的最小值為【答案】ABC【分析】由條件可得，設(shè)，由此可化得，即可判斷A，當(dāng)直線與圓相切時，最大，由此可判斷B，，求出的最大值可判斷C，當(dāng)三點共線且點位于之間時，最小，求出最小值可判斷D.【詳解】因為、，所以，設(shè)，則，化簡得，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故A正確，當(dāng)直線與圓相切時，最大，設(shè)直線的方程為，則有，解得，所以此時直線的傾斜角為，即的最大值為，故B正確，因為，所以，因為，的最大值為，所以的最大值為，的最大值為，故C正確，當(dāng)三點共線且點位于之間時，最小，最小值為，故D錯誤，故選：ABC12．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個有八個面的半正多面體．點、、是該多面體的三個頂點，且棱長，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．該多面體的表面積為B．該多面體的體積為C．該多面體的外接球的表面積為D．若點是該多面體表面上的動點，滿足時，點的軌跡長度為【答案】BCD【分析】計算出該多面體的表面積和體積，可判斷AB選項；作出圖形，根據(jù)幾何關(guān)系計算出該多面體的外接球半徑，利用球體表面積公式可判斷C選項；找出與垂直的直線，可求出點的軌跡長度，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，“阿基米德體”一共有八個面，其中有四個面是邊長為的正六邊形，有四個面是邊長為的正三角形，因此，“阿基米德體”的表面積為，A錯；對于B選項，如下圖所示，在棱長為的正四面體中，設(shè)頂點在底面的射影點為點，延長交于點，則為的中點，因為為等邊三角形，則，且，易知點為的中心，則，因為平面，平面，所以，，故，，即棱長為的正四面體的體積為，因為“阿基米德體”是在棱長為的正四面體上截去了個棱長為的正四面體，因此，“阿基米德體”的體積為，B對；對于C選項，設(shè)等邊的中心為，與平面平行的底面正六邊形的中心記為點，則平面，原正四面體（棱長為）的高為，則，由題意可知，“阿基米德體”的外接球球心在直線上，易知，即正的外接圓半徑為，底面正六邊形的外接圓半徑為，設(shè)，“阿基米德體”的外接球半徑為，則，解得，則，因此，該多面體的外接球的表面積為，C對；對于D選項，如下圖所示：由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，因為，則，所以，，即，同理可知，因為，、平面，則平面，因為平面，所以，，由余弦定理可得，同理可得，易知，所以，點的軌跡長度為，D對.故選：BCD.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解. 三、填空題13．已知，，，則__________．【答案】【分析】利用，展開計算即可求得答案.【詳解】由，，，可得，故答案為：14．已知函數(shù)，則___________．【答案】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運算法則求出導(dǎo)函數(shù)，令求解，再求.【詳解】已知函數(shù)，則，令可得：，解可得；，.故答案為：．15．中醫(yī)藥，是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是反映中華民族對生命、健康和疾病的認(rèn)識，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系，是中華民族的瑰寶．某科研機構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量（單位：克）與藥物功效（單位：藥物單位）之間具有關(guān)系．檢測這種藥品一個批次的個樣本，得到成分甲的平均值為克，標(biāo)準(zhǔn)差為，則估計這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為________________．【答案】【分析】設(shè)這個樣本中成分甲的含量分別為，平均值為，即可求出，即可求出，從而求出平均數(shù).【詳解】設(shè)這個樣本中成分甲的含量分別為，平均值為，則，所以，所以，所以，于是，則．故答案為：16．把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值即為黃金分割．黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值，這一比值能夠引起人們的美感，被認(rèn)為是建筑和藝術(shù)中最理想的比例，若橢圓的離心率為此比值，則稱該橢圓為“黃金橢圓”.若“黃金橢圓”的左，右焦點分別為，點P為橢圓C上異于頂點的任意一點，的平分線交線段于點A，則___________．【答案】【分析】根據(jù)的平分線的性質(zhì)及橢圓的定義求得結(jié)果.，【詳解】已知把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，設(shè)線段較大部分為，較小部分為，.則，，則，即，則.如圖，已知是的平分線，則由角平分性質(zhì)定理可以得出，下面證明角平分性質(zhì)定理：    證明：在三角形中，由正弦定理；在三角形中，由正弦定理. ，所以，所以.則由橢圓的定義得.故答案為：. 四、解答題17．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)與關(guān)系可得是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求解；(2)利用分組求和法與等比數(shù)列的求和公式直接求解.【詳解】解：(1)當(dāng)n＝1時，，∵，∴．可得，當(dāng)時，，，兩式相減，得，即，故數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則；(2)由(1)知，，故．18．如圖，在三棱錐中，底面．，D為中點，且．(1)求的長；(2)求銳二面角的余弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)得到方程組，解得、，即可求出的坐標(biāo)，再求出，即可得解；（2）利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）因為底面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，，所以，即，解得或（舍去），所以，所以，所以，即的長為.（2）因為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，由（1）可知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，即銳二面角的余弦值為.19．如圖，在四邊形中，已知，，．(1)若，求的長；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，繼而求得，再求得，在中利用余弦定理即可求得的長；（2）設(shè)，由正弦定理表示出，利用三角形面積公式表示出面積，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得最大值.【詳解】（1）在中，由余弦定理，得，∴，整理得,解得或（舍去）．∴，而,故,∴，故在中，，∴；（2）設(shè),則在中，,則，所以，當(dāng)，即時，面積取到最大值.20．周末可以去哪里？帶著挖沙桶、皮球、滑板車和野餐墊，踩踩沙灘、在草地上跑累了隨手拿起野餐墊上的蛋糕往嘴巴里塞，沙灘和野餐沒有哪個家庭會拒絕的．小蕓正在考慮購買一些物品，和父母一起在本周末去離家不遠(yuǎn)的度假村游玩．買挖沙桶需要40元，買皮球需要60元，買野餐墊需要100元，假設(shè)是否購買相互獨立，小蕓購買三種物品的概率依次為，只不購買野餐墊的概率為，至少購買一件物品的概率為．(1)求小蕓恰好購買兩件物品的概率；(2)求小蕓購買物品的總金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程組，解得，進而求出小蕓恰好購買兩件物品的概率；（2）X的所有可能取值為0，40，60，100，140，160，200，求出對應(yīng)的概率，得出分布列，進而計算數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意，可得，即，解得，由題意，可得小蕓恰好購買兩件物品的概率為：.（2）X的所有可能取值為0，40，60，100，140，160，200，，，，，，，，∴X的分布列為X04060100140160200P∴．21．已知拋物線過點，拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點為B，且．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點B的直線與拋物線C交于E，F兩點（異于點A），若直線分別交準(zhǔn)線于點，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由點在拋物線上得，由已知及兩點距離公式列方程求得，即得拋物線方程；（2）由題設(shè)令直線為，聯(lián)立拋物線得，，并寫出直線、求E，F兩點橫坐標(biāo)，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理求值即可.【詳解】（1）依題意，，則，故，又，∴，解得（負(fù)值舍去），∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）及題設(shè)，且直線斜率存在且不為0，令直線為，聯(lián)立拋物線并整理得：，且，所以，，而，直線為，直線為，令，則，，所以，而，則.22．已知定義在上的函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2，求k的值；(2)將的所有極值點按照從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，若成等差數(shù)列，求k的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，得出坐標(biāo)軸上的截距，利用三角形面積公式求解即可；（2）根據(jù)已知條件及正切函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值及函數(shù)存在性定理，再根據(jù)零點范圍及三角函數(shù)相等的角的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴切線方程為，令，可得，令，可得，∴，∴；（2）∵．當(dāng)時．，由函數(shù)在區(qū)間上遞增，且值域為，∴存在唯一時，使得，此時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，此時，，同理，當(dāng)時，使得，滿足，當(dāng)時，使得，滿足，∴．∵，代入可得．又，即，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，整理得，此時數(shù)列為常數(shù)列，又當(dāng)，可得，不成立，∴可知，此時．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題的關(guān)鍵，第一問根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及三角形的面積公式即可；第二問利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟，但此時無法解決導(dǎo)數(shù)函數(shù)的零點，只能通過函數(shù)零點存在性定理得出，再結(jié)合已知條件及零點范圍及三角函數(shù)相等角的關(guān)系即可. 

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