?2022-2023學(xué)年江蘇省南京市第一中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．已知是空間的一個基底，若，，若，則（????）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】由，可得存在實(shí)數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結(jié)果
【詳解】，，
因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使，
所以，
所以，
所以，得，，
所以，
故選：C
2．已知函數(shù)，則該函數(shù)的圖象在處的切線方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再賦值法求出，然后得到的函數(shù)解析式可得切點(diǎn)，后將數(shù)據(jù)代入點(diǎn)斜式方程可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，解得?br /> 所以，
即切點(diǎn)
所以切線方程為：，即.
故選：A.
3．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（????）
A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；
B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；
C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；
D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，分別按照選項(xiàng)說法列式計(jì)算驗(yàn)證即可做出判斷.
【詳解】選項(xiàng)A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯誤；
選項(xiàng)B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯誤；
選項(xiàng)C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項(xiàng)錯誤；
選項(xiàng)D，先將6本書分為2-2-1-1的4組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項(xiàng)正確.
故選：D.
4．在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個方向向量為的直線方程為．已知：在空間直角坐標(biāo)系中，，經(jīng)過點(diǎn)的平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定定義求出平面的一個法向量和直線的一個方向向量，再利用線面角的向量求法計(jì)算即得.
【詳解】依題意，平面的一個法向量為，而直線的一個方向向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
故選：A
5．將標(biāo)號為的個小球放入個不同的盒子中，若每個盒子放個，其中標(biāo)為的小球放入同一個盒子中，則不同的方法共有
A．12種 B．16種 C．18種 D．36種
【答案】C
【詳解】試題分析：根據(jù)題意：首先從3個盒子中選一個放標(biāo)號為1，2的小球，再從剩下的4個小球中選兩個放一個盒子，余下的2個放入最后一個盒子，由組合數(shù)公式計(jì)算每一步的情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
先從3個盒子中選一個放標(biāo)號為1，2的小球，有3種不同的選法，
再從剩下的4個小球中選兩個，放一個盒子有 種放法，余下放入最后一個盒子，∴共有
故選C．
【解析】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題
6．直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意得直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，且，從而得點(diǎn)在以為直徑的圓上，又點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，從而可得的最大值為與兩圓半徑之和，再計(jì)算即可得解．
【詳解】解：由題意可得直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，當(dāng)時，，
當(dāng)時，的斜率，的斜率，因?yàn)椋茫?br /> 點(diǎn)A在以為直徑的圓上（不包含O），且圓心，半徑，
又點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，且圓心，半徑，
的最大值為．
故選：C.
7．設(shè)等比數(shù)列滿足，，記為中在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，則數(shù)列的前50項(xiàng)和（????）
A．109 B．111 C．114 D．116
【答案】C
【分析】先求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合題意得到當(dāng)，2時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；從而求出數(shù)列的前50項(xiàng)和.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，，
解得，，故，
因?yàn)闉橹性趨^(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，
所以當(dāng)，2時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
故.
故選：C.
8．已知函數(shù)，關(guān)于的方程恰有兩個不等實(shí)根，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍，將用a表示，可得表示為以a為自變量的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最大值.
【詳解】解：作出函數(shù)的圖像如下圖所示：

由圖像可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖像有兩個交點(diǎn)，，
，則，可得，
，
構(gòu)造函數(shù)，，
則，
當(dāng)，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
，
故選：B.

二、多選題
9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（????）
A．若，則是等差數(shù)列；
B．若是等差數(shù)列，則三點(diǎn)、、共線；
C．若是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前項(xiàng)和有最小值；
D．若等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32：27，則公差為5．
【答案】BCD
【分析】A選項(xiàng)利用求出即可判斷；B選項(xiàng)根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式對點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行處理，同時利用斜率相等證明共線；C選項(xiàng)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，再結(jié)合首項(xiàng)和公差的正負(fù)判斷有無最小值；D選項(xiàng)根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的比值求出偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的和，從而作差求出公差.
【詳解】A選項(xiàng)：，當(dāng)時，，不符合，所以，故A錯；
B選項(xiàng)：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，
，，，
因?yàn)?，，所以三點(diǎn)共線，B正確；
C選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，，所以有最小值，?dāng)時取最小值，故C正確；
D選項(xiàng)：因?yàn)?，?2 項(xiàng)里偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32:27，所以偶數(shù)項(xiàng)和為192，奇數(shù)項(xiàng)和為162，偶數(shù)項(xiàng)和-奇數(shù)項(xiàng)和==30，所以公差為5，D正確.
故選：BCD.
10．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（????）

A． B．
C．的長為 D．
【答案】BD
【分析】AB選項(xiàng)，利用空間向量基本定理進(jìn)行推導(dǎo)即可；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，平方后計(jì)算出，從而求出；D選項(xiàng)，利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對于A選項(xiàng)，，A錯誤，
對于B選項(xiàng)，，B正確：
對于C選項(xiàng)，，則，
則，C錯誤：
對于，則，D正確.
故選：BD.
11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（????）
A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有48種
C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種
D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種
【答案】ACD
【分析】對于A利用捆綁法可求，對于B分成甲在左和乙在左兩類進(jìn)行排列，對于C采用插空法求解，對于D按定序問題即解.
【詳解】對于A，如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，
可將甲乙捆綁看成一個元素，
則不同的排法有種，故A正確；
對于B，最左端排甲時，有種不同的排法，
最左端排乙時，最右端不能排甲，則有種不同的排法，
最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有24+18=42種,故B不正確；
對于C，因?yàn)榧滓也幌噜彛扰偶滓乙酝獾娜?，再讓甲乙插空?br /> 則有種，故C正確；
對于D，甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有種，故D正確．
故選：ACD．
12．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線E的方程為，E的焦點(diǎn)為F，直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)到x軸的距離為2，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．E的準(zhǔn)線方程為
B．的最大值為6
C．若，則直線AB的方程為
D．若，則面積的最小值為16
【答案】AB
【分析】直接求出準(zhǔn)線方程即可判斷A選項(xiàng)；由以及拋物線的定義結(jié)合即可判斷B選項(xiàng)；設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立拋物線，由解出點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷C選項(xiàng)；由求得直線恒過點(diǎn)結(jié)合即可求出面積最小值，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】由題意知E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故E的準(zhǔn)線方程為，A正確；
設(shè)AB的中點(diǎn)為M，分別過點(diǎn)A，B，M作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，N，
由題意得.
由拋物線的定義知，，
所以.
因?yàn)?，所以，所以B正確；
由題意得直線AB過點(diǎn)，直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程得，得，
則.
由于，所以，整理得，
得，所以，所以，
直線AB的方程為，故C錯誤；
此時，AB的中點(diǎn)到x軸的距離為2，得，由，得，兩式聯(lián)立，無解；設(shè)，，由，得，
所以，因?yàn)?，所?
又，故直線AB的方程為.
由于，所以，
則直線AB恒過點(diǎn)，所以，
所以面積的最小值為16，
此時，AB的中點(diǎn)到x軸的距離為2，得，
由，得，即，兩式聯(lián)立無解，故D錯誤.

故選：AB.

三、填空題
13．有5位學(xué)生參加3項(xiàng)不同的競賽，每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競賽，則不同的參賽方法有______種.
【答案】
【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.
【詳解】每位學(xué)生都有三種參賽方法，故5位學(xué)生有種參賽方法.
故答案為：.
14．設(shè)，是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與直線相交于點(diǎn)P，若為等腰三角形，則橢圓E的離心率e的值是______.
【答案】/
【分析】求出的坐標(biāo)，利用為等腰三角形，結(jié)合直角三角形的知識可得答案.
【詳解】由題可得直線l的方程為，
由，解得，則，
由于為等腰三角形，所以，
所以，
可得，，.
故答案為：.
15．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，若點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則的最小值為__________.
【答案】
【分析】先由題意，設(shè)，再由題中數(shù)據(jù)，得到，，，推出，，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動，可設(shè)，
因?yàn)?，所以，?br /> 又，，所以，，
因此，，
所以
，
所以當(dāng)時，取最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可，屬于?？碱}型.
16．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【分析】將化簡后得到，由于為正項(xiàng)數(shù)列所以可以得到是等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)以及前項(xiàng)和．代入后通過化簡作差求得實(shí)數(shù)的最小值．
【詳解】解：根據(jù)題意得，所以
為正項(xiàng)數(shù)列，，即.
，數(shù)列是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列．
①，②，
將①②代入得
即對于任意的恒成立．
令，則，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，
故或5時， 取得最大值．.
所以．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：

四、解答題
17．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線上過點(diǎn)的切線方程；
(2)若______，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
①在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)；
②在上存在減區(qū)間；
③在區(qū)間上存在極小值.
【答案】(1)或
(2)選①，；選②，；選③，

【分析】（1）討論點(diǎn)為切點(diǎn)和不是切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）若選①函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則在區(qū)間上恒成立，即，解不等式即可求出答案；若選②函數(shù)在上存在減區(qū)間，則有在區(qū)間上有解，令，轉(zhuǎn)化為求；若選③函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可得出答案.
【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，
則有①當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時，，
根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即為：；
②當(dāng)不是切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為，則可得切線方程為：，
因?yàn)?，?br /> 所以切線方程即為：，
代入點(diǎn)化簡可得，，
解之可得，，切線方程為：，
綜上可得，過點(diǎn)的切線方程為或.
（2）∵，
∴若選①函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則有：
在區(qū)間上恒成立，即在上恒成立，
∴，解之可得；
若選②函數(shù)在上存在減區(qū)間，則有：在區(qū)間上有解，
即得在區(qū)間上有解，
此時令，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，故有；
若選③函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，則有：函數(shù)的極小值點(diǎn)應(yīng)落在；
令，求得，，
此時可得，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，
即得，
所以當(dāng)時，不等式恒成立，
當(dāng)時，，解之可得，
綜上可得，.
18．若,且.
(1)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）首先根據(jù)求解出值,要求解展開式中的常數(shù)項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式定理求出中的,即可;
（2）令,求出,兩邊同時乘以即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?
依題意，，,
因此,解得,
當(dāng)時,,,
所以,,
展開式中的常數(shù)項(xiàng)為;
（2）當(dāng)時,,
因此,
所以,
所以.
19．已知數(shù)列；數(shù)列是等比數(shù)列，成等差數(shù)列.
(1)求、通項(xiàng)公式；
(2)若前n項(xiàng)和滿足，求證.
【答案】(1)，
(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意分析可得是常數(shù)列，進(jìn)而可求得，根據(jù)題意結(jié)合等差中項(xiàng)可求得，進(jìn)而可求得；
（2）先根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得，進(jìn)而可得，利用裂項(xiàng)相消法分析運(yùn)算即可.
【詳解】（1）由已知，，可知是常數(shù)列，
故，可得，
設(shè)數(shù)列的公比是，
由題意可得，則，
解得或（舍去），故.
（2）由（1）可得：，
則，
故，
所以，得證.
20．如圖，四棱錐中，已知，且與平面所成的角為.

(1)證明：；
(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意，如圖所示，過點(diǎn)作面交面于點(diǎn)，連，延長交于點(diǎn)，可得平面，即，再根據(jù)四邊形為平行四邊形，即可得證；
（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即可得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合法向量以及二面角的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）
如圖所示，過點(diǎn)作面交
面于點(diǎn)，連，延長交于點(diǎn).
因?yàn)榕c底面所成的角為；
所以，所以，.
因?yàn)?，則；
因?yàn)?，所以，?
又，所以平面，
所以.
又是等邊三角形，則；
則，且，所以四邊形為平行四邊形，故；
所以.
（2）
因?yàn)閮蓛纱怪?，則以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則
設(shè)平面的一個法向量為，
則，解得，令，則
即
設(shè)平面的一個法向量設(shè)，
則，即，
所以
所以平面與平面夾角的余弦值為
21．法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學(xué)》對世界各國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．在雙曲線-=1（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸長與虛半軸長的平方差的算術(shù)平方根，這個圓被稱為蒙日圓．已知雙曲線C：-=1（a>b>0）的實(shí)軸長為6，其蒙日圓方程為x2+y2=1．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)D為雙曲線C的左頂點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，且DG⊥EF于G，證明：存在定點(diǎn)H，使|GH|為定值．
【答案】(1)-=1
(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)雙曲線性質(zhì)與蒙日圓的定義即可求解；（2）設(shè)出直線與雙曲線聯(lián)立消，求出韋達(dá)定理的表達(dá)式，根據(jù)DG⊥EF求出的關(guān)系式，代入直線即可求出定點(diǎn)H.
【詳解】（1）由題意知a=3，因?yàn)殡p曲線C的蒙日圓方程為x2+y2=1，
所以a2-b2=1，所以b=2，
故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1，
（2）證明：設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=kx+m，
聯(lián)立方程組化簡得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，
則Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，
且
因?yàn)椤?（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，
所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9
=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，
化簡得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，
所以m=3k或m=51k，且均滿足m2-9k2+8>0
當(dāng)m=3k時，直線l的方程為y=k（x+3），直線過定點(diǎn)（-3，0），與已知矛盾，
當(dāng)m=51k時，直線l的方程為y=k（x+51），過定點(diǎn)M（-51，0）
當(dāng)直線l的斜率不存在時，由對稱性不妨設(shè)直線DE：y=x+3，
聯(lián)立方程組得x=-3（舍去）或x=-51，此時直線l過定點(diǎn)M（-51，0）．
因?yàn)镈G⊥EF，所以點(diǎn)G在以DM為直徑的圓上，H為該圓圓心，|GH|為該圓半徑．
故存在定點(diǎn)H（-27，0），使|GH|為定值24.
【點(diǎn)睛】（1）解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去或建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.
22．已知函數(shù)，．
(1)若的最值和的最值相等，求m的值；
(2)證明：若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，則．
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】(1)分別對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，結(jié)合最值相等即可求解；
(2) 設(shè)，，根據(jù)有兩個零點(diǎn)，，可得：函數(shù)是增函數(shù)，則，進(jìn)而將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)取出函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）對函數(shù)求導(dǎo)可得：，令，可得：，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
則，又，所以，，
令，可得：，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
則，
由題意可知：，，
所以m的值為．
（2）若有兩個零點(diǎn)，，不妨設(shè)，
，設(shè)，，
由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，
則，設(shè)，則，，
欲證，即證，即證，
只需證（*）
設(shè)，，
，在上，，單調(diào)遞減，
所以，所以，
令即得（*）成立，
從而，命題得證．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

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