吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年度上學(xué)期高二年級(jí)期末考試（一卷）數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷4至5頁(yè).注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.2.請(qǐng)認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)，在答題卡上與題號(hào)相對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題，寫(xiě)在試卷、草稿紙上或答題卡非題號(hào)對(duì)應(yīng)答題區(qū)域的答案一律無(wú)效.不得在答題卡上做任何標(biāo)記.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).4.考試結(jié)束后，答題卡要交回，試卷由考生自行保存.第I卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若,,且,為共線向量,則值為（）A. 2 B.  C. 6 D. 8【答案】A【解析】【分析】由,為共線向量,建立等式,解出即可.【詳解】解:由題知,,為共線向量,因?yàn)?/span>,,所以有,解得,故.故選:A2. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，，則公差等于（）A. 3 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】通過(guò)已知條件得出，即可由等差數(shù)列通項(xiàng)得出答案.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，，，，解得，故選：D.3. 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的解析式可能為（）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)，求導(dǎo)后得到，為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求導(dǎo)后，為非奇非偶函數(shù)，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，求導(dǎo)后，不是偶函數(shù)，舍去；D選項(xiàng)，求導(dǎo)后為偶函數(shù)，滿(mǎn)足題意.【詳解】A選項(xiàng)，定義域?yàn)?/span>R，且，故為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，定義域?yàn)?/span>R，由于，故不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，定義域?yàn)?/span>R，由于，故不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，定義域?yàn)?/span>R，則，故關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，D正確.故選：D4. 圓與軸相切于，與軸正半軸交于兩點(diǎn)，，且，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【詳解】設(shè)圓心，則有，因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選A.5. 已知，，則（）A.  B.  C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)值即可求解.【詳解】由，得，又因?yàn)?/span>，所以，解得.故選：B.6. 在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. 1 B.  C. 1或 D. 或3【答案】A【解析】【分析】設(shè)公比為，而，由求出，再由求出，即可求出得解.【詳解】設(shè)公比為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，同號(hào)，故舍去.故選：A.7. 如圖所示，在三棱柱中，底面，，，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線和所成的角是（）A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求異面直線所成角的余弦值即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>底面，底面,所以，且，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建系如圖，則所以,設(shè)直線和所成的角為，則,因?yàn)?/span>，所以，故選:B.8. 設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值分別為（）A. 8，11 B. 8，12 C. 6，10 D. 6，11【答案】C【解析】【分析】求出兩圓圓心和半徑，得到圓心和剛好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，從而利用橢圓定義求出，可得的最大值為，的最小值為，求出答案.【詳解】的圓心為，的圓心為，兩圓半徑均為，由于，，所以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，由橢圓定義可知：，所以的最大值為，的最小值為.故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 某物體的運(yùn)動(dòng)方程為（位移單位：m，時(shí)間單位：s），若，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A. 18m/s是物體從開(kāi)始到3s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度B. 18m/s是物體在3s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度C. 18m/s是物體從3s到s這段時(shí)間內(nèi)某一時(shí)刻的速度D. 18m/s是物體從3s到s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度【答案】ACD【解析】【分析】由瞬時(shí)速度定義可得答案.【詳解】因表示秒這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，則表示在3s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，故不選B，選ACD.故選：ACD10. 給出下列命題，其中正確命題是（）A. 垂直于同一平面的兩直線平行 B. 平行于同一平面的兩直線平行C. 平行于同一直線的兩直線平行 D. 空間中不相交的兩直線平行【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)線線、線面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，垂直于同一平面的兩直線平行，A正確，B選項(xiàng)，平行于同一平面的兩直線可能相交、異面、平行，B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，平行于同一直線兩直線平行，C正確.D選項(xiàng)，空間中不相交的兩直線可能是異面或平行，D錯(cuò)誤.故選:AC11. 已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上的射影為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. 若，則B. 以為直徑的圓與軸相切C. 設(shè)，則D. 過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】AC【解析】【分析】已知拋物線的方程，利用拋物線的性質(zhì)，焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合判斷各選項(xiàng)．【詳解】取的中點(diǎn)，在上的投影為，在的投影為，如圖所示：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B， 根據(jù)拋物線的性質(zhì)，，為梯形的中位線，故，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故B不正確； 對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?/span>，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，顯然直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)過(guò)的直線方程為，聯(lián)立可得，令，解得，所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)有三條直線符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12. 若數(shù)列滿(mǎn)足，，，則稱(chēng)數(shù)列為斐波那契數(shù)列，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列．則下列關(guān)于斐波那契數(shù)列結(jié)論正確的是（）A.  B. C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】由遞推公式，利用累加法得到AB選項(xiàng)，計(jì)算出前6項(xiàng)，從而判斷CD選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，，…，．又由，，可得，即，累加可得，， 故A正確；又，，，…，，累加可得，故B錯(cuò)誤；∵，，，所以，，，，所以C正確；又，所以D正確；故選：ACD．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為_______.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)后代入切點(diǎn)的值得出切線的斜率，即可由點(diǎn)斜式得出切線方程.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，又切點(diǎn)為，所求切線方程為，故答案為：.14. 平面直角坐標(biāo)系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)的直線方程是________．【答案】y＝2x－3【解析】【分析】首先在直線上任取兩個(gè)點(diǎn)，，分別求出兩點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式即可求出對(duì)稱(chēng)的直線方程.【詳解】在直線上任取兩個(gè)點(diǎn)，，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為.由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱(chēng)直線的方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，同時(shí)考查了點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題.15. 若曲線存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的最大值為________.【答案】3【解析】【分析】首先求導(dǎo)，根據(jù)題意得到在有解，再設(shè)，，根據(jù)求解即可.【詳解】，因?yàn)榍€存在與直線平行的切線，所以在有解.即在有解.設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即.所以，即的最大值為.故答案為：316. 已知點(diǎn)是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則該雙曲線的離心率為___________【答案】【解析】【分析】結(jié)合已知條件，利用對(duì)稱(chēng)關(guān)系表示出點(diǎn)坐標(biāo)，然后將其代入雙曲線方程即可求解.【詳解】過(guò)焦點(diǎn)且垂直漸近線的直線方程為，即聯(lián)立漸近線方程與，可得，，故對(duì)稱(chēng)中心的點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，將其代入雙曲線的方程可得，即：，故，,故.故答案：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 設(shè)直線的方程為.（1）求直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）將方程變形為，解方程組，就可得到直線所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).（2）首先根據(jù)直線方程求出過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足題意的的值；再根據(jù)它在兩坐標(biāo)軸上的截距相等(不過(guò)原點(diǎn)時(shí))，求出的值，進(jìn)而分別得出直線的方程.【小問(wèn)1詳解】因直線的方程為，可得，，解得，即直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，在軸和軸上的截距為零.符合題意，∴，方程即為.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由截距存在且均不為，∴，即.∴，方程即為.因此直線的方程為或.18. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，，，.（1）求、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由可求得數(shù)列的公比，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而得到；由可求得數(shù)列的公差，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得；（2）由（1）可得，采用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式可得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，；又，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：；.19. 已知圓經(jīng)過(guò)，，圓心在直線上，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓有公共點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）求直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為把，代入方程，圓心代入，列方程求解.(2)直線與圓相交滿(mǎn)足圓心到直線的距離小于半徑.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，則依題意，得解得，∴圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意可知，直線的方程為，圓心到直線的距離為，，解得20. 如圖，四棱錐中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E為PC中點(diǎn)．（1）求證：DE⊥平面PCB；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件先證BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可證明DE⊥平面PCB.（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明:PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD＝CD，E是PC的中點(diǎn)，DEPC，PCBC＝C，且面，面∴DE⊥平面PCB【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：則，設(shè)平面BDE的法向量為，則，令，得到，又，則，且AC⊥平面PDB，∴平面PDB的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為．21. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，后可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，后可由錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又滿(mǎn)足上式，∴，∴.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，，∴，∴，∴，①①×2得，②①②得，∴.22. 已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【詳解】（Ⅰ）因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為，所以，又橢圓的離心率為，即，所以，所以，. 所以，橢圓的方程為. （Ⅱ）不妨設(shè)直線的方程.由消去得，設(shè)，，則有，. ① 因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以.由，得. 將代入上式，得.將 ① 代入上式，解得或（舍）. 所以（此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)），所以. 設(shè)，則.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.  
 

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